1610840688-354d60f870aa4b4d07a90e025d5836ea (824169), страница 7
Текст из файла (страница 7)
197о. Дэны три некомпланарных вектора ОА=а, ОВ=Ь, ОС=с, отложенных от одной точки О. Найти вектор ОР = = а(, отложенный от той же точки О и образующий с векторами ОА, ОВ, ОС равные между собой острые углы. 198'". Ланы три некомпланарных вектора а (хп ут, а,], Ь=(х„у„аа], а=(А, В, С]. Найти площздь параллелограмма, являющегося оргогональной проекцией на плоскость, перпендикулярную к вектору и, Параллелограмма, построенного на векторах а и Ь. 199.* В ориентированном пространстве даны два перпендикулярных друг другу вектора а и а, причем ]и] = 1. В плоскости, положительная ориентация которой определяется упорядоченной парой векторов а, [а, а], найти вектор 2 П.
С. Модемов, А. С. Пархомеахо Гл. е вектоРнля АлГеБРА 1 200 Ь, полученный из вектора а поворотом в этой плоскости на угол ~р. 200в. Доказать, что сумма векторов, перпендикулярных к граням тетрзэдра, равных по абсолютной величине площа. дям этих граней и направленных в сторону вершин, противолежащих граням, равна нулю. 201*. Доказать тождества: 1) [[а, Ь], с] = — а (Ь, с) + Ь (а, с); 2) [а, [Ь, с]]=Ь(а, с) — с(а, Ь). 202*.
Доказать тождества: 1) ([, Ь], [, й])=~(,;) (, „а, )~; 2) Ца, Ь], [с, й]]=с(а, Ь, й) — й(а, Ь, с)= =Ь(а, с, й) — а(Ь, с, 01); 3) (а, Ь, с)й=(й, Ь, с)а+(й, с, а) Ь+(й, а, Ь) с; / (х, а) (х, Ь) (х, с) ] 4) (а, Ь, с)(х, у, »)=1(у. а) (у. Ь) (у, с) ~; (».
а) (», Ь) (», с) [(а, а) (а, Ь) (а, с) 5) (а, Ь, с)2 = ~(ь, а) (ь, ь) (ь. с) . (с, а) (с, Ь) (с, с) 203*. Найти необходимое и достаточное условие для того, чтобы выполнялось равенство [[а, Ь], с] = [а, [Ь, с]]. 204*. Даны три некомпланарных вектора а, Ь и с. Найти вектор х, удовлетворяющий системе уравнений (а, х)=а, (Ь, х)=р, (с, х)=у. 205*. 1) Найти необходимое и достаточное условие того, чтобы уравнение [а, х]=Ь, где а ф О, имело решение.
2) Найти общее решение этого урзвнения. 206*. Даны три некомпланарных вектора; ОА=а, ОВ=Ь, ОС=с, отложенных от одной точки О. Найти вектор ОН, где Н вЂ” ортогональная проекция точки О на плоскость АВС. 207"'. Доказать, что площадь,параллелограмма, построенного на векторах а и Ь, 1 Г ~(а, а) (а, Ь)~ 5!5 ! $15. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ В АФФИН, КООРДИНАТАХ 2085. Доказать, что объем параллелепипеда, построенного на векторах а, Ь, с, / (и, а) (и, Ь) (а, с) 11 = $тт (Ь, и) (Ь, и) (Ь, с) . ~(с, и) (с, Ь) (с, с) 2095.
Найти вектор х из системы уравнений (а,, х)=а, (а„х)=Ь, где (ан а,) Фь О, (а,, Ь)=0. 2105. Решить относительно х систему уравнений (ап х(=Ь„(а„х)=Ь„причем (ат, ая] ~0, (ан Ьа) Ф О, (а„Ь,) ~ О, (ат, Ьт)=(аа, Ьа)=0. 2115. Найти векторы х и у из системы уравнений: х+у=а, (х, у)=р, (х, у(=Ь. Дано, что ао'О, Ь ~0, (а, Ь)=0. 212'. Даны плоские углы ~ ВОС=и, ~ СОА=Ь, ~ АОВ=с трехгранного угла ОАВС. 1) Вычислить косинусы его внутренних двугранных углов А, В, С, противолежащих граням ВОС, СОА, АОВ. 2) Даны внутренние двугранные углы А, В, С трехгранного угла ОАВС, противолежащие граням ВОС, СОА, АОВ. Вычислить косинусы его плоских углов а, Ь, с.
3) Доказать, что 5!и и 5!п Ь 5!и с 51П А 51П В 51П С 9 1О. Скалярное, векторное и смешанное произведение в аффииных координатах Моде нов, Дополнение П, пп. 1, 2. П о с т и в к о в, гл. 1, З 5, и. 2. 1. Скалярное произведение векторов ни плоскости 213"'. Выразить через метрические коэффициенты 5,51 — — (ет,е ), Ьта — — (ет,е 5) А55 =(еа, е,) базиса ет, еа длины базисных векторов, угол «1 между ними и площздь В параллелограмма, построенного на векторах ен еа. 214. Найти скалярное произведение векторов а= (хп ут( и Ь=(хь уа(, зная метрические коэффициенты Ь,"11, е;5, К55 базиса еп еа.
218. Найти длину вектора а= (х, у(, зная метрические коэффициенты я51, я1„555 базиса е„е,. 2* гл. !. вгктогнля алггви 1 2!а 216. Найти косинУс Угла <Р междУ вектоРами (ет, Ут» и»х„уя», зная метрические коэффипиенты лтт, етв езз базиса ет, ея. 217. Найти косинусы углов а и »1 которые вектор а= »х, у» образует с векторами базиса ет, е„ зная метрические коэффиниенты дгг, !гтя, дяа этого базиса.
218в. Найти косинус, синус и тангенс угла гр от вектора а=(х„у!» до вектора Ь=(хя, уя», зная метрические коэффипиенты ды, 8'тм е,я базиса еи е,. 219*. Найти косинус, синус и тангенс угла <р от базисного вектора е, до вектора а=»х, у», зная метрические коэффиниенты дтт, ет„еяя базиса е„е,. 220. Определить длину вектора а=»7, — 8», если т =4, я'тя — --.
8, я'ая — 25. 221. Дан вектор а=»7, — 8». Найти вектор Ь длины 1, перпендикулярный к вектору а и направленный так, чтобы пзра векторов а, Ь имела положительную ориентапию, если ет! — — 4, гггя=8, дат=25. 222. Зная длины базисных векторов»ет(=2, )еа(=3 и угол между ними ю= — --, найти длину вектор໠— 4, 6». 3' 223. Длины базисных векторов аффинной системы координат )е!)=4, )е,(=2, а угол между ними ы= —. Относи- 3' тельгю этой системы координат заданы вершины треугольника А=(1, 3), В=(1, О), С=(2, 1).
Определить длины сторон АВ и АС этого треутольника и угла А между ними. 224*. Длины бззисных векторов аффинной системы коор5л динат: (е! (=2, ( е, (=- »' 3, а угол между ними га= —. Отно- 6' сительно этой системы координат даны два вектора а=»1, 2», Ь= (2, 2». Найти угол от первого вектора до второго. 225з. Относительно аффинной системы координат дан треугольник АВС с вершинами в точках А= (1, 1), В=(5, 3), С=(3, 5), длины сторон которого суть (АВ(=)/52, (АС(= = — 4, »ВС~=)~28. Определить длины единичных векторов этой системы координат и угол между ними.
226"'. Относительно аффинной системы координат дан прямоугольный треугольник АВС с вершинами в точках А=(1, О), В=((1, 1), С=-(3, 2), прямым углом при вершине С и катетами (СА»=2, )СВ)=3. Определить длины базисных векторов этой аффинной системы и угол между ними. 234 1 5 !О, ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ В ЛФФИН КООРДИНЛТЛХ 37 227Ф. Стносительпо аффинной системы коордипаг дап прямоугольный треугольник АВС с вершинами в точках А=(1, О), В=(0, 1), С=-(3, 2), прямым углом при вершине С и катетами (СА)=2, !~СВ)=З. Определить длины сторон А'В' и А'С' треугольника А'В'С' и угол А' между ними, если вершины этого треугольника имеют координаты А'=(1, 1), В' =(2, 2), С'=(2, 4). 228Ф.
Зная длины базисных векторов )ет)=)ея)=1 и угол в4 между ними, найти: 1) длину вектора а=(х, у); 2) Угол а междУ вектоРами а=(хт, У!) и Ь=(.ея, Уя); 3) площадь В ориенгированного параллелограмма, построенного на упорядоченной паре векторов а, Ь; 4) угол а* от вектора а до вектора Ь.
229Ф. Найти косинусы углов а и Р, которые вектор 47= 1х, у) образует с база!сными векторами, если ) е!) = =) ея(= 1, а Угол межДУ вектоРами е„ ея Равен а4. 230Ф. Найти косинус, синус и тангенс угла <р от базисного вектора е! до вектора а=(х, у), если (е!) = (ея) = 1, а угол между векторами ед и ея равен еь 231Ф. Базисы е„ ея и ет, ет называются взаимными, если (ем е!)=-(ея, еа)= — 1, (е„ еа)=-(ея, е') = О. Зная ме!.рические коэффипиенты етт, етм еяя базиса вм в„ найти: 1) метрические козффипиенты 77!!, 77!4, еаа базиса ет, е', взаимного с базисом е„ ея; 2) кооРдинаты вектоРов ет, е' в базисе вм вя; 3) длины векторов ет, ва; 4) угол 8 между векторами ег, еа.
232*. Найти скалярное произведение векторов а= (хт,ха) и Ь = 1Ут, Уя), пеРвый из котоРых задан своими кооРдинатами в базисе ет, ем а второй во взаимном с ним базисе ет, ва. 233Ф. Зная длины базисных векторов ! ет!= ~ ея~ = 1 и угол а4 между ними, найти: 1) координаты векторов ет, еа базиса, взаимного с базисом е„ея; 2) длины векторов ет, е'! 3) угол между векторами ет, е'. 234*. 1) Найти векторы В!', в,', полученные поворотом на угол гр векторов ет и ея соответственно, зная метрические коэффипие!Пы лтт, етм лая базиса ет, ем 2) Рассмотреть частный случай гр=+ —. ГЛ.
!. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА [ ззз 235о. Найти вектор а', полученный поворотом вектора с[= [х,у) на угол ф, зная метрические коэффициенты атт, стз, кзз базиса е„е,. 236*. 1) Найти векторы е;, е;, полученные поворотом на угол [р векторов е! и е, соответственно, если [ ет[ = [ ез[ = 1, а угол между векторами ем Ез равен в. л 2) Рассмотреть частный случай [р=-+ —. 2' 2. Скалярное произведение векторов в пространстве; векторное и смешанное произведение 237 о. Выразить через метрические коэффициенты щ=(е[, е!) базиса ет, ез, ез длины базисных векторов, углы в! =ед е~ между ними и объем [с ориентированного параллелепипеда, построенного на базисных векторах е,, ез, ез.
238. Найти скалярное произведение векторов а = ~хт, хз, хз) и 0= [у!, уз,уз)„зная метрические коэффициенты К[т=(еь е!) базиса е,, е„е,. 239. Найти длину векторз а = [хт, хз, хз) в базисе с метрическими коэффициентами и[р 240. Найти угол гр между векторами [хт, хз, хз) и [ут, уз, уз) в базисе с метрическими коэффициентами А[р 241. Найти косинусы углов аъ ссз, аз, которые вектор сз=[хт, хз, хз) обРазУет с базисными вектоРами ет, ез, ез, зная метрические коэффициенты к[~ этого базиса. 242в.
Зная метрические коэффициенты е[[ базиса е„ез, ез, найти объем ~I параллелепипеда, построенного на векторах [х! хз хз) [у! уз уз) [«! «з «з) 243*. Найти косинусы углов грт, [р„ фз, образованных вектором а= [хт, х', хз) с базисными векторами е, е„ е,, если ~ет( = (ез! = [ез! = 1, е„ ез=взз, е„ е, =вам е,, е,=сопя 244о. Найти обьем [г ориентированного параллелепипеда, построенного на векторах ст 1х! хз хз) Ь [Р! [,з уз) с 1«! «з «з) если [ ет[ = [ ез[ = [ ез[ = 1, е„ ез о!23, Ез, Ет=Вз„Е2, Ез=втз. 245*. Зная углы ВОС=вмь СОА=взт, АОВ=вгм образуемые ребрами параллелепипеда, выходяшими из вершины О, 254 ! $!о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
