1610840688-354d60f870aa4b4d07a90e025d5836ea (824169), страница 2
Текст из файла (страница 2)
147 155 160 164 169 169 174 176 178 178 180 186 186 190 193 193 195 198 201 201 209 209 215 219 219 224 229 229 ОГЛАВЛЕНИЕ ГЛАВА Х МНОГОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА (задачи 1595 — 1766) $ 1. Векторные пространства (задачи 1595 в !610) .: ...... й 2. Точечные аффинные пространства (задачи,1611 — 1632) ... 9 3. Евклидовы пространства (задачи 1633 в !675) 1. Векторные евклидовы пространства (задачи 1633 в 1651) 2.
Точечные евклидовы пространства (задачн 1652 — 1675) 9 4. Линейные операторы (задачи !676 в 172!) 1. Линейные операторы в произвольном векторном просгранстве (задачи 1676 в !705) 2. Линейные операторы в евклидовом векторном пространстве (задачи 1706 — 17!8) 3. Изометрические преобразования в точечном евклидовом пространстве (задачи 1719 в !72!) .......
„ ..., .. 9 б. Линейные, билинейные и квадратичные функции (задачи 1722 — !?42) 1. Линейные функции (задачи 1722 в !725) 2. Билинейные функции (задачи !726 — 1733) 3. Квадратичные функции (задачи 1734 в 1742) ........ 9 б.
Поверхности второго порядка (задачи !743 в 1766) 1. Поверхности второго порядка в точечном аффннном пространстве (задачи 1743 в !756) ..........., .... 2. Поверхности второго порядка в точечном евклидовом пространстве (задачи 1757 — 1766) ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ . 250 252 256 256 259 261 26! 268 268 268 269 270 272 272 2. Коллинеации (задачи 1539 — 1562) .......,...,, 235 3. Корреляции. Поляритет (задачи 1563 — 1568).......
24! 4. Поверхности второго порядка в проективном пространстве (задачи 1569 — 1594) 244 . ПРЕДИСЛОВИЕ В настоюцее время изложение аналитической геометрии все более проникается методами 'линейноя алгебры. Современные курсы аналитической геометрии начинаются с изложения векторной алгебры и векторного введения координат.
Ззтем следует линейная часть геометрии (прямая на плоскости, плоскость и прямая в пространстве). После изложения теории линий и поверхностей второго порядка большое внимание уделяется вопросу линейных геометрических преобразований (изометрические, аффинные и проективные преобрззования плоскости и пространства). Г!ри таком построении курса становится естественным расслютрение многомерных векторных и точечных пространств как обобщение двумерного и трехмерного случаев. Новое построение курса аналитическоя геометрии привело к изменению программы этой дисциплины и введению объединенного курса алгебры и аналитической геометрии. Такое построение курса принято сейчас в университетах и в педагогических институтах. Предлагаемый сборник задач написан в соответствии с новыми прогрзммами курса аналитической геометрии и объединенного курса аналитической геометрии и алгебры. По сравнению с имеющимися сборниками задач по аналитической геометрии нами введены новые разделы (ориентация, барицентрические координаты, метрические задачи в аффинных координатах), значительно расширен и введен новый материал, посвященный геометрическим преобразованиям (изометрические преобразования, инверсия); в главе ГХ вЂ” Проективная геометрия — главное место занимают задачи на проективные преобразованию содержание задач, связанных с понятиями инволюпии, гомологии, классификации проективных преобразования и др., выходит за пределы традиционного изложения этого ПРЕДИСЛОВИЕ материала.
В главе Х о многомерных пространствах основное внимание уделено геометрическим вопросам, поскольку задачи, связанные с чисто алгебраическим материалом (определители, системы линейных уравнений, матрипы и др.)„нашли свое отражение в сборниках задач по линейной алгебре. В дополнение к настояшему пособию авторы рекомендуют в первую очередь «Сборник задач по линейной алгебре» И. В. Проскурякова. Ввиду того, что за последние годы вышло несколько полных курсов аналитической геометрии, написанных в соответствии с новыми программами, авторы нз педагогических соображений не считали целесообразным давать перед каждой главой сбор.
ника аадач список основных определений, формул и теорель Вместо этого перед каждым параграфом, а иногда и перед каждым пунктом даны указания соответствуюших глав и параграфов из следуюших учебников: Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии, «Наука», 1968. Гельфанд И. М., Лекции по линейной алгебре, «Наука», 1971. Ефимов Н. В., Розе ндорн Э. Р., Линейная алгебра н многомерная геометрия, «Наука», !974. М о д е н о в П. С., Аналитическая геометрия, нзд во МГу, 1969.
Пост ни коз М. М., Аналитическая геометрия, «Наука», 1973. В указаниях эти книги кратко иыенуются фамилиями их авторов. Задачник разбит на большое число параграфов и пунктов, чтобы преподаватели и студенты могли легче ориентироваться в материале, выбирая те или иные задачи в зависимости от порядка иЗложения теоретического материала. В оглавлении рядом с названием каждой главы, параграфа и пункта указаны номера задач. Задачи, имеюшие теоретическое значение, и задачи повышенной трудности отмечены звездочкой.
К небольшой части задач, особенно в первых главах, даны указания. В задачах на доказательство ответы, естественно, не приводятся. В некоторых задачах даются определения тех понятий, которые связаны с этой задачей, но имеются не во всех учебниках. ГО пРедислОВие При составлении задачника нами использована следующая литература: Александров П.
С., Лекции по аналитической геометрии, «Наука», 1968. Атанасян Л. С., Атак асан В. А., Сборник задач по геометрии, «Просвещение», 1973. Бахвалов С. В., Бабушкин Л. И., Иваницкая В. П., Аналитическая геометрия, Учпедгиз, 1962. Б юш ген с С. С., Аналитическан геометрия, ч. 1 и П, Гостехиздат, 1946. Гельфанд И. М., Лекции по линейной алгебре, «Наука», 1971. Гл а г о лев Н. А., Проективная геометрия, ОНТИ, 1936. Делоне Б.
Н., Райков Д. А., Аналитическая геометрия, т. 1, Гостехиздат, 1947; т, П, Гостехиздат, 1948. Д ь е д о н и е Ж., Линейная алгебра и элементарная геометрия, «Наука», 1972. К о к с т е Р Г. М. С., Введение в геометрию, «Наука, 1966, Кокстер Г. М. С., Действительная проективная плоскость, Фнзматгиз, !959. М о де но в П. С., Аналитическая геометрия, изд-во МГУ, !969.
П ости и кое М. М.. Аналитическая геометрия, «Наука», 1973. Проскуряков И. В., Сборник задач по линейной алгебре, «Наука», 1974. Ход>к В., Пи до Д.,Методы алгебраической геометрии, тт. 1, П, ИЛ, 1954. Автори ГЛАВА 1 ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. КООРДИНАТЫ ВЕКТОРОВ И ТОЧЕК ф 1. Сложение векторов. Умножение вектора иа число.
Координаты вектора Александров, гл. П, 44 2, 4. М оден о в, гл. П, 4 !1; гл. 1Ч, 44 30 — 37. Постников, гл.!, 43, пп. 1 — 6. 1. Векторы АС=а и ВР==Ь служат диагоналямн параллелограмма АВСР. Выразить векторы АВ, ВС, СР и РА через векторы а и Ь. 2. В трапепии АВСР отношение основания АР к основанию ВС равно Л. Полагая АС=а, ВР=Ь, выразить через а и Ь векторы АВ, ВС, СР н РА.
3". Доказатгн для того, чтобы направленные отрезки АВ и СР были равны, необходимо и достаточно, чтобы сонпадзли середины отрезков АР и ВС. 4. В треугольнике АВС проведены медианы АР, ВЕ и СР. Представить векторы АР, ВЕ и Су в аиде линейных комбннапий векторов АВ и АС, Б. В треугольнике АВС проведены медианы АР, ВЕ и СР. Найти сумму векторов АР, ВЕ и СГ.
6. Точки Е и Р служат серединами сторон АВ и СР четырехугольника АВСР (плоского или пространственного). — В7:+Ад Доказать, что ЕР= 2 . Вывести отсюда теорему о средней линии трапепин. Т. Точки Е и Г служат серединами диагоналей АС и ВР четырехугольника АВСР (плоского нли пространственного). Доказать, что АВ+Ссг АР+СВ 2 2 12 [а ГЛ. Е ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА 8. Точки К и Е служат серединами сторон ВС и СР параллелограмма АВСР. Выразить векторы ВС и СР через векторы АК и АЕ.
9*. В плоскости треугольника АВС найти такую точку, чтобы сумма векторов, идущих из этой точки к вершинам треугольника, была равна О. 10*. Дан четырехугольник АВСР. Найти такую точку Л, чтобы ЛА+ЛВ+ЛС+ЛР=О. 11. На стороне АР параллелограмма АВСР отложен — !в — 1 —— отрезок АК= — АР, а на диагонали АС вЂ” отрезок АЕ = — АС.
5 Доказать, что векторы КЕ и ЕВ коллинеарны и найти отно- КЕ шение =-- ЕВ' 12*. 1) Доказать, что если точки К, Е, Л, И делят в одном и том же отношении г. стороны АВ, ВС, СР, РА параллелограмма АВСР, то четырехугольник КЕМИ есть параллелограмм. 2) Если Х ~ 1 и четырехугольник КЕМ1ч' — параллелограмм, то и четырехугольник АВСР— параллелограмм. 13Я.
Дан тетраэдр АВСР. Найти точку Л, для которой ЛА+ ЛВ+ МС+ МР= О. 14*. К точке Л приложены три ненулевых вектора х, у, л, сумма которых равна нулю. Зная углы а, р, у между векторами у и л, и и х, х и у, найти отношения модулей этих векторов ) х (: ! у (: ! л ~. 15*. К точке Л, лежащей в плоскости треугольника АВС, приложены три ненулевых вектора х, у, л, направленных по лучам ЛА, ЛВ, ЛС, причем сумма этих векторов равна нулю.
Найти отношение модулей этих векторов (х (:(у (:( л ), если: 1) точка Л является пентром окружности, описанной около треугольника АВС; 2) точка Л является пентром окружности, вписанной в треугольник АВС; 3) точка Л является точкой пересечения высот остроугольного треугольника АВС. 16*. Найти точку М, лежащую в плоскости треугольника АВС, если сумма трех ненулевых векторов с равными га 1 % е СЛОЖЕНИЕ ВекТОРОВ. УмнОжЕнИе ИА число !3 модулями, приложенных к этой точке и направленных по лучам МА, МВ, МС, равна нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
