1610840688-354d60f870aa4b4d07a90e025d5836ea (824169), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Если а„= а, = а, = а ~ О, то УРавнению аЛа+аЛ4+аЛя=О или Ла+Лт+Ля — — О не Удовлетворяют барицентрические координаты ни одной точкн плоскости. 3. Барицентрические координаты в пространстве 280в. Пусть Лм Лц Ля, Лз — барицентрическне координаты точки М относительно базисного тетраэдра АаЛтЛяЛа, т. е. Лп Ля, Ла — аффинные координаты точки М в системе координат с началом в точке Аа и базисцымн векторами АаАт, 4 и. влеицеитиичвскиг «оогдиилты ЛоЛз ЛоАз а Ло= — 1 — Лг — Л, — Л,. Доказать, что если го, и„ гз, гм г — радиусы-векторы точек А,, Л,, А,, А,, М отно- сительно полюса О, то к=Лого+Лги,+Лого+Лого. Обратно: ' каковы бы ни были числа Лм Л„Л,, Л,, сумма которых равна 1, Ло+Лг+Л,+Ля=!, точка М, определяемая,радиу- сом-вектором и= Лого+ Лггг+ Лзгз+ Лзгз, относительно ба- зисного тетраэдра АоАдАзЛз имеет барицентрические коор- динаты Ло, Ли Лз Лз.
281о. Пусть Ло, Лм Лз, Лз — барицентрические координаты точки М относительно базисного тетраэдра АоА,А,Аз. Дока- зать, что: 1) Ло, Лз, Лз являются аффинными координатами точки М в системе координат с началом в точке Ат и базисом Л,А„ АхАя, Л,Аз, а Л,=1 — Ло — Л,— Л,; 2) Ло, Л,, Лз являются аффинными координатами точнов М в системе координат с. началолз в точке Аз и базисом АзАо, Л,Л„ЛзАз а Л,=1 — Ло — Лт — Лз' 3) Ло, Лм Лз являются аффинными координатами точки М в системе координат с началом в точке Аз и базисом АзА„, АзЛ н АзАм а Лз = 1 — Ло — Лт — Лз 282о.
Локазать, что барицентрические координаты Л,, Л,, Л,, Лз точки М относительно базисного тетраэдра А,А,А,А, равны отношениям объемов ориентированных тетраэдров МЛгЛзЛз, АоМАзАз, ЛоАтМЛз, АоА,АзМ к объему ориенти- рованного тетраэдра АоА,ЛзА,. 283о. 11оказать, что: 1) если точка М с барицентрическими координатами Ло, Л,, Ля, Лзз принадлежиг грани АоАтАз базисного тетраэдра АоАтАзАз, то Лз — — О, а Л„Лт, Л, являются барицентрическими координатами точки М на плоскости АоА,А, относительно базисного треугольника АоАгА;, 2) если точка М принадлежит ребру А,А,, то Лз=Лз — — О, а Ло и Лт являются барицентрическими координатами точки М на прямой АоАг относительно базисного отрезка АоАм 284о.
Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы: 1) точка М лежала внутри базисного тетраэдра А„А,АзА.,; 2) точки М и Ао лежали по разные стороны от плос- копи АгАзАз: ! 2ВВ ГЛ. !. ВЕКТОРНЛЯ АЛГЕБРА 3) точка М лежала в плоскости АдАВА~ 4) точка М лежала на пРЯмой АВАВ! 5) точка М совпадала с вершиной Ао. 285. Относительно базисного тетраэдра АВА,АВАВ заданы две точки Мд(ЛВ, Л„ЛВ, Лз) и М,(ро, рм рз, рз) своими барипентрическими координатами. Найти барипентрические координаты точки М, делящей направленный отрезок М,М, в отношении Й. 286г. Относительно базисного тетраэдра АВА,Азйз заданы четыре точки своими бзринентрическими координатами: М (Л, Л, Л, Лз), Мз(то тм тз тз) Мд(ро р» рь рз) Мз(то ть тм тз) !до Рд 1дз 1дз оо тд тз оз то тд тз 'дз 287о.
Относительно аффинной системы координат заданы четыре точки, не лежащие в оддюй плоскости: Ао(хо, уо, го), А,(х,, уд, г,), Аз(хз,уз, г,), Аз(хз,уз, гз). Пусть М(х,у, г)— проиавольная точка. Доказать, что если Ло, Л„ЛВ, Лз — баринентрические координаты точки М относительно базисного тетраэдра АВАдАВАВ, то х = Лоло+ Лдхд+ Л.гхз+ Лзхз. У = Лоуо+ Лдуд+ "зуз+ Лзуз г = Лого+ Лдгд + Лзгз+ хоу. г 1 х у г 1 1 до Уз гз к у г 1 хд уд гд 1 кд Уз гз хз уз гз ко уо го 1 кд уд гд 1 хз уз гз 1 кз Уз гз ко уо го 1 к уз гд 1 хз Уз гз «з Уз гз Доказать, что если Ъ' — объем ориентированного тетраэдра МВМдМВМВ, а о — объем ориентированного тетраэдра АВА,АВА,, то 47 4 и. вляицзнтяичвскив коогдиилты заа ! хо Уо го х, у, гд 1 ха Уз гз х у г ! хо уо го хз уз г, ! х у г ! хз Уз гз хо Уа га х, уз г, ! х, у, г 1 хз Уз гз хо Уо го х, у г, ! хз уз гз ! хз Уз гз Бого+ ззгз + Багз+ Язгз г= за+за+аз+аз 288"'.
Относительно аффинной системы координат грани тетраэдра АаА,А,Аз заданы уравнениями: Аох+Воу+Саг+Ро=О (АзАзАз) А,х+Вту+Стг+Р,=О (АаАзАз), А ох+ Взу+ Сзг+ Рз — — О (АаА !Аз) Азх+ Вар+ Сзг+ Рз = О (АоАтАз). Принял!ая тетраэдр АаА,АзАз за базисный тетраэдр бари- центрической системы координат, выразить барицентрические координаты )ча Хн Ц, Хз точки А( через ее аффинные координаты х, у, г. 289о. Грани тетраэдра АаАзАзАз заданы уравнениями А;х+ В!у+ С!а+ Р! = О, ю = О, 1, 2, 3. Составить уравнение плоскости, проходящей через ребро АоАд и делящей объем данного тетраэдра пополам.
290а. Доказать, что если га, ги г„хз — радиусы-векторы вершин тетраэдра АаА,А,А,, а а„юи аз, аз — плошади его граней, противолежащих этим вершинам, то радиус-вектор центра М сферы, вписанной в этот тетраэдр, определяется соотношением ГЛАВА П УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ И ПОВЕРХНОСТЕЙ Александров, гл. 1Нз!, пп.3,4; 44,пп. 1,3; гл.
ХН,Я 1, пп. б, 3,9. Моде н он, гл. П1, Ц 2! — 23; гл. Х, 44 139, !40. Постников, гл. 2, 4 2. 9 1. Уравнения линий на плоскости 291. Ланы две точки А и В, расстояние между которыми равно 2с. Найти геометрическое место точек, сумма квадратов расстояний которых до точек А и В равна 2аа при условии, что а ) с. 292. Ланы две точки А и В, расстояние между которыми равно 2с. Найти геометрическое место точек, абсолютная величина.
разнос~и квадратов расстояний которых от точек А и В равна 4аа. 293. Найти геометрическое место точек, сумма квадратов расстояний которых до вершин острых углов равнобедренного прямоугольного треугольника вдвое больше квадрата расстояния до вершины прямого угла. 294. Найти геометрическое место точек, сумма квадратов расстояний которых до трех вершин равностороннего треугольника постоянна при условии, что этому геометрическому месту принадлежит середина одной из сторон треугольника. 295в.
Найти геометрическое место точек, сумма квадратов расстояний которых до двух вершин А и В треугольника АВС равна квадрату расстояния до его третьей вершины С. 296в Найти геометрическое место точек, сумма квадратов расстояний которых до трех вершин треугольника АВС равна ая.
297*. Найти геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух противоположных вершин прямоугольника равна сумме их расстояний до двух других противоположных вершин его. 808 1 4 ь уРАВнения линия нА плоскости 49 298*. Ланы две различные точки А и В и положительное число Ь~ 1. Найти геометрическое место точек, отношение расстояний которых до точек А и В равно Ь. 299. Ланы два отрезка ОА и ОВ, лежащие на одноп прямоп и расположенные по разные стороны от точки О, причем (ОА) = а, ~ ОВ~ = Ь и а)Ь. Найти геометрическое место точек, из которых отрезки ОА и ОВ видны под равными углами.
300*. Найти геол1етрическое место точек, из которых к двум окружностям можно провести равные касательные. 301. Лзна окружность с центром О и радиусом г и точка А, нахолящаяся нз расстоянии а от точки О. Найти геометрическое место точек, касательные из которых, проведенные к данной окружности, равны отрезкам, соединяющим эти точки с точкой А. 302. Ланы две окружности ха+уз — бх — 16 = О, ха+уз+ + 8х — 2=0. Найти геометрическое место точек, из которых к этим окружностям можно провести равные касательные.
303*. Ланы две окружности ха+уз — бх — 27=0, ха+ +уз+2х — 8=0. Найти геометрическое место точек, касательные из которых, проведенные к большей окружности, вдвое длиннее касательных к меньшей окружности. 304. 11айти геометрическое место точек, для которых квадрат расстояния до точки пересечения двух взаимно перпен- 1 дикулярных прямых в 2 — раза больше произведения их рзс- 2 стояний до этих точек. 303.
Найти геометрическое место точек, сумма расстояний которых до осеп координат постоянна при условии, что этому геометрическому месту принадлежит точка(2, — 1). 308*. Найти геометрическое место точек, призведение расстояний которых до двух противоположных сторон квздрата равно произведению их расстояний до двух других противоположных сторон. 307в.
Нанти геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух параллельных прямых вдвое больше расстояния до прямой, к ним перпендикулярной. 308э. Лан прямоугольник со сторонами 2а и 2Ь, причем а ) Ь; найти геометрическое место точек, сумма расстояния которых до двух противоположных сторон прямоугольника 50 Гл. н. уРАВнения линий и повеРхнОстей 1309 равна сумме их расстояний до двух других противоположных сторон. 309. Написать в полярных координатах уравнение прямой, перпендикулярной к оси Ох и отсекаюшей на ее положительном луче отрезок длины а.
310. Написать в полярных координатах уравнение окружности радиуса а, принимая за начало координат точку О на окружности, а за положительное направление осл Ох направление проходящего через эту точку диаметра. 311. На каждом радиусе ОА окружности с центром О и радиусом а откладывают от центра в направлении радиуса отрезок ОМ, равный расстоянию от точки А до фиксированного диаметра ВС. Найти геометрическое место точек М. 312. Дана точка О и прямая 1, находящаяся от точки О на расстоянии ~ ОА ~ =а. Вокруг точки О вращается луч, пересекаюший прямую 1 в переменной точке Р.
На этом луче от точки О откладывается отрезок ОМ так, что (ОР! (ОМ~=Ья. Найти линию, описываемую точкой М при вращении луча. 313*. В окружности радиуса а проведен диаметр ОА. Вокруг его конца О врашается луч, пересекающий окружность в переменной точке В. На продолжении хорды ОВ за точку В откладывается отрезок ВМ, равный АВ. Найти линию, описываемую точкой М при вращении луча.
314. Две вершины треугольника закреплены в точках А и В, причем ~АВ~=с; третья его вершина С перемешается по окружности радиуса Ь с центром в точке А. Какую линию описывает при этом точка О пересечения биссектрисы угла А со стороной ВС? 316*. Даны две точки Рт и Ря, расстояние между которыми 2с. Найти геометрическое место точек, сумма расстояний которых до точек Рд и Р, равнз 2а при условии, что а > с. 316. Найти геометрическое место точек, делящих в отношении Л ~ 1 хорды окружности ха+уз = аа, параллельные осн Оу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
