1610840688-354d60f870aa4b4d07a90e025d5836ea (824169), страница 68

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 68)

(Хх+Ь, а)=0, где и — отличное от нуля собственное значение оператора А, а а — соответствующий ему собственный вектор. Ук аз а н и е. Воспользоваться уравнением диаметральной плоскости. 17бб. 1) Ук а ванне. При преобразовании гл квадратичная форма !3 многочлена Р преобразуется так же, как и при соответствующем однородном ортогональном преобразовании у. Инвариантность |1,..., )л следует из инвариантностн козффипиентов характеристического поли- нома ~р(А) квадратичной формы О относительно ортогонального преобразования у. Далее: 1765 ) ОТВЕТЫ И УКЛЗЛНИЯ Далее, воспользовавшись инваРианпьютью дискРнминан1а Ки+, дла многочлена Р при ортогональном преобразовании, получим: а' — )! ...

а,'и Ь' аы — Х... ахи Ь, а„'! .. а„'и — Х Ь„' = аи, ...а..— Х Ьи Ь; ...Ь„' с Ь! ".Ьи Остается приравнять коэффициенты при и при одинаковых степенях Х в левой и в правой частях этого тождества относительно л. 3) У к аз а н и е. Пусть при некотором однородном ортогональном преобразовании а многочлен Р преобразуется в многочлен Ри, не содержащий и — 1 и — 1 переменной хэ! Р' = ~~~ аи)к!их*+2 ~ Ь*х*+с.

Пусть при прод)=! невольном неоднородном ортогональном преобразовании м многочлен Р перейдет в многочлен Р'. Обозначим через Ки семиинвариант многочлена Р, а через К' — семиинвариант многочлена Р', Семиинварии авт К„* многочлена Р', который будет равен семнннварнанту Ки для миогочлена Р, имеет вид а!! ...а! и ! Ь1 э э э и Ки=Ки= а* ...а' Ь* и — 1,1''' и — !,и — ! и — ! Ьэ ,,Ьэ 1 с так как остальные и — 1 слагаемых, входящие в выражение для Кии, равны нулю. Рассмотрим ортогональное преобразование м!х '. Представим его в виде произведения однородного ортогонального преобразования б на перенос т: юсс 1= ))т! отсюда м= ртсс.

При преобразовании а многочлен Р переходит в многочлен Р*, не содержащий х„", а семиинвариант К„ переходит в рваный ему семиинвариант Ки!. При переносе т многочлен Ри перейдет в многочлен Рии, также не содерии Ф !каши й последнюю переменную хи, а семиинвариант Ки перейдет в равный ему семиинвариант Киэ*: Ьээ 1 \, и -1 э ии Ки =Ко аэа ... а*э Ьээ и — 1!" и — !и — 1 и — ! Ьии .. Ьээ с* 1 и — 1 *) Это обстоятельство является следствием более общего утвер.

ждения, доказанного выше, а именно: Ки, есть инвариант неоднородного ортогонального преобразования; мй применяем это положение для преобразования переноса т переменных х*, ..., к„*1, хэ многочлена Р', не содержащего к*„; К„" играет роль определителя К„ но для евклидова пространства размерности и†1.

384 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ ! 17бб Наконец, прн преобразовании !т многочлен Реэ перейдет в много- член Р', в который переходит многочлен Р при преобразовании ю = рта. А так как Кгеэ есть семиинварнант многочлена Р*", рассматриваемого кан функция от и переменных х"',", ..., хэ" 1,хэ*, а р — однородное ортогональное преобразование, то значение семиинварианта К„*э, вычисленного для многочлена Р", будет равно значению семиинварианта К„', вычисленному для многочлена Р', т.

е. К:„'* =К„'. Итак, К„= К;,. Остальные утверждения этого пункта доказываются аналоги чно1 надо рассл1отреть однородвое ортогональное преобразование а, переводящее многочлен Р в многочлен Р*, содержащий лишь переменные х*,, хэ, ..., х„", и заметитгч что для преобразованного многочлена Р' ° семнинвариант К,"+! равен одному определителю: а,* ...

а*, Ьэ КФ г+! а' ... аэ Ь* г! '" гг г Ь" ... Ь* с ! "" г (а не сумме нескольких определителей). .

Характеристики

Список файлов решённой задачи