1610840688-354d60f870aa4b4d07a90e025d5836ea (824169), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Принять точки Р, ' ( хз хз хз ! (), Д за базисные точки (1: 0: 0), (О; 1; 0), .(О: 0: 1) проективной системы координат, а точку  — за единичную. 1386. (1: 0 ! 0), (О: 1: 0), (О:0: 1). 1388. Точка (1;2: 0) переходит в точку ( — 3: 4;0). — 1бх+ 43у, 7х — Зу 1389. х' = у = Зх — 9у+ !6 ' Зх — 9у+16 ' 1390. Хх', =2хз+Зх,— 7хз, Ххз' = Зхз — бхз+ 4хз, Хх„' = 8хз — 9хз -1- хз.
!391. Хи,'= —;-из, Хи[= —;ив, ди,= —; из, 1392. 1) Хи,'=Амит+Амит+А,зиз, )из'=Аз!и!+Азана+Агав, Хи., '=Аз!и!+Амиз+Аззиз где А — алгебраическое дополненве элемента аб в матрице (аО); 2) Ххз=Апх[+Аззхз+Аззхз Ххз=Атзх,'+Амх,'+Амх,', Дхз — — Адах!+А„х„'+ Аззх,'; 3) Хи!=.ами,'+аз!и,'+ими„', Хит = — а„и[+ амиз + азвио Хиз = а,зи', + ими.', + аззи[.
1409 1 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 1393. !) Лх,'=Аыхт+Алзхг+Алзхз Лх,' = А,лхд+ А ы~ -1- Аыхз. Лх,', = Аюхл+.4ззхз+ Аззхз, где А(( — алгебраическое дополнение элемента а1 в матрице (а;); 2) Лид — — А,ли,'+А,ли',+Аз,и',, Лиз=А„ил+ Аюиз+Аззи', Лиз=Аыи~+Аззи'+Аззи 3) Лхд — — а,лх', + алх,'+ аз,х'„ Лхз — — алзх, '+ а.„х„'+ аз,х'„ Лхз = алзх, '+ оых,'+ аззх'„..
1394. Лх,'=Лтхз, Лх'.=Цхз, Лх',=Лехе. В связке это три сжатия с коэффициентами Лл, Л„Лз к плоскостям АЗАз, АзАЗ, АЗАЗ связки по направлению прямых А» .Аз, Аз. 1395. Лх,'=хз, Лх)=х» Лх',=~. 1396. Лх,'=~+ха, Лх,'=хз+хл, Лх,'=хл+хз. 1397. Лх', =)ехз+Лзлз Лх,' = Ллхл+ Лзхз. Лх', = Ллхл+ Лзхз. 1398. Лх,'=елх» Лх„'=езх„Лх,'=езхз. !399. !) Лх',=ах14-()хз, Лх,'=ахз+Тхз Лх~=хз 2) 11рн аль 1 гомотетия с центром ~ — †) и коэффициентом сз; при и= 1— ! — а' 1 — а перенос. !400. 1) Лх',=а11Х1+а1зхз+аыхз Лх,' = а,дхд+ а,хз+ аззхз, Лх',=хз; х 2) х'=а,х-)-а у-!-а з, у'=азлх+~1у+ам (аффинное преобра- зование); (х, у) — координаты собственной точки М, а х', у' — коор- динаты ее образа з аффинной системе координат Оху, соответствую- щей данной однородной системе. 1401.
Лх, '= аыРдх, + алгрзхз+ алзРЗХЗ Лх,' = амр„хл + аз,рзх, + амРзхз, Лхз — азлрлхл+ аззрзхз+ аззрзхз' где Р» Рз рз определяются из системы амрг+алзрз+алзрз=Ь1, 1 амрл+ амрг+ амРЗ = Ь,, амрл+аззрз+аззрз=ЬЗ ) 1402. Лх,'=апх» Лх,з=амхз, Лхз=амхл+аззхз. 1403. !) Лх,'=Ьхл, Лл',=хл, Лх,'=хз! 2) хи=йх, у'=у (сжатие к оси Оу с коэффициентом й по направлению оси Ох); 3) хч=.йх, у»=йу (гомотетия). 1404. 2) Лх,'=ахл, Лх,'=хз, Лх,'=хз. 1405. 2) Лх',=— = — хл, Лх,'=хз, Лх„'=хз! 3) х'= — х, у'=у (симметрия относи- тельно осн Оу по йаправлению оси Ох); 4) х'= — х, у'= — у.
1406. Симметрия относительно плоскости и связки по направлению прямой связки, пересекающей плоскость и. 1409. !) Лх',=хз+ахз, 1 !(!з ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 1434. он аз! аз! и! или а,з а,з и, аы аы из !тзз азз из из из А„и*',-1- А и, '+ Аз,иг+ 2А„и,и, + 2А,„и,из+ 2Ая,ияит= О, где АΠ†алгебраическ дополнение элемента аб в определителе аы аы агя аз! аы атз ° аз! азз азз ~ 1436. Указание. Приписать точкам А! координаты 0: 1: ч 1, +-1 ! О: 1, 1: ж1: О.
1436. 1) ацх,-'+алх!+амх,'+(ам+ааххаха+ + (аз!+ агз) х,ха+ (ага+ аз!) х,хз = 0; 2) ам ха!+ ая!х';+ аззхзз+ 2аыхзхз+ + Замх,хг+ 2а„хтхз= О. 1439. 4х,' — 12х,ха+ 9х, '— 24х,хз — Збхяхз -(- +Збх,'=О. 1440. х,х,— х„'=О. 1441.
2х',— х,'— х,'=О. 1442. 2х,х,— — хгхз — х,хз — — О. 1443. !ьлх.„хз+ азтх„хг+ аыхгхз —— О. 1444. 1) Дейст- Лх,' = ха, Лхг = хз, а ~ 0; 2) Лх,' = хт+(й — 1),тз, Лх,' = ха, Лх,' =-хз! 3) х'=х+а, у'=у (перенос). 1410. Сдвиг относительно плоскости связки по направлению прямой связки„лежащей в этой плоскости. 1411. У к а э а н и е. 2) Пусть параболическая гомология задана осью о, центром О (лежащим на оси о) и парой соответственных точек М, М'. Пусть О,— точка, гармонически сопряженная с точкой О относительно пары точек М, М'. Тогда гармонические гомологии с центрамн О и О, и осью о являются искомыми, так как для первой гомологни точка М инвариантна, а вторая гомология переводит эту точку в М'. 1412.
(а„: аы ! 0). 1415. 1)йх,' =Л х„ йх,'= Лях„ йх„'= Ляха; 2) йх, '= Л,хг, йх,' = ахз — Охз, йх,' = ()ха+ ахз! 3) йх,' = = ях, + хз, йх,' = яхз, йх,' = Лзхз' 4) йх,' = яхь йх,' = яхз, йх,' = Лзхз! 5) йх',=ях,+хз, йх,'=яхз+х„йх,'=яхз; б) йх,'=яхт+ха, йх,'=я~, йх,'=яхз; 7) йх,'=хт, йх„'=хз, йх,'=хз.
1416. 1) Инвариантные точки: А,, Аз, А„инварнаинтнйе прямые: А,Аз, АзАь А,Аз: 2) инвариантная точна А,; инвариантная прямая АзАз; 3) инвариантные точки А и А„ инвариантные прямые А,Аз и А!Аз; 4) инвариантные точки! Аз и все точки прямой А!Аз, инвариантные прямые: прямая А!Аз и пучок прямых с центром Аз (гиперболическая гомология); 5) инвариантная точка А„ инвариантная прямая А!Аз; б) инвариантные точки: все точки прямой АзА, инварнантные прямые: пучок прямых с центром Аз (параболическая гомология); 7) тождественное преобра, зование. 1419. У к а за н не. Принять данные четыре точки за базисные точки А,=(1: 0: 0), Аз=(0: 1 ! 0), Аз —— (О: 0! 1) и единичную точку Е=(1 ! 1: 1) просктивной системы координат. 1421. Ли,=2хн Л!а=ля+ха, Лиз — — 2х! — Зхз+5хз. 1422. (1: 1 ! 1) и (7; 3: 5). 1423.
Ли,=хи Лиз=хм Ли,=х,. 1426. Ли,=йтхи Лиз=йзхз, Ли = =йх,. 1430. Указание. 1) Принять треугольник АВС эа базисный треугольник проектнвной системы координат; 2) принять треугольник АВС за базисный треугольник, а точку Π— за единичную точку проективной системы координат. 1433. 1) <р=аых',+азтх,'+ -(-а х,'+2а хзхз+Зазгхэтг+2аг,я!хе=О! 2) гр — положительноопределенная квадратичная форма; 3) гр — неопределенная квадратичная форма. 1471 ! ответы и указания внтельная нерзспадающаяся линия; 2) действительная нераспадающаяся линия; 3) две действительные прямые; 4) действительная не- распадающаяся линия; 5) пара мнимых прямых; 6) две совпадающие (7,(74 ' (74(7.
прямые. 1445. — — — = О, где (74=иддхз+идзх«+идах«, (74(74 (7«(74 1 4 Д 1 = 1, 2, 3, 4, 1446. 5х,'+1бх,хз+5х1 — 5х,х,— 5хдхз=О. У к а ванне. Составить уравнения прямых АВ: гд=О; С0: г =0; АС: гз=О; ВСи «4=0. Записать искомое уравнение в виде гдр +Ьгз«4=0 и потребовать, чтобы эта линия прошла через точку Е. 1448. !) хдхз— — х,'=0; 2) гипербола; 3) парабола. 1450. а,'+а„'— а, '(О. ид (О из 0 )дх' = х адз адз азз азз аде азз из из зх' аи б азд азд ид х,'.
1467. 1) 2) А=О; 3) Л)0. 1451 1464. хдхз= з д ь лх,'=хд; для собственных точек (х, у) эллипса х'+у'=1, отличных от точек (О, -«1), х' = — у' = —; точки (О, 1) и (О, — !) преобразуются в несобствен- 1, у х' х' ные точки (1: 1: 0) и .(1: — 1: 0) асимптот хз — уз=О гиперболы 1 х" — У =1; 2) лх =ха, лхд=хд — хз, лхд=хд+хз! х = —, У' х+у ' х — у =. —; несобственная точка (1: — 1: 0) асимптоты гиперболы х'— х+' — уз=1 переходит в несобственную точку (О: 1: 0) параболы у=хе; вторая несобственная точка (111: 0) гиперболы переходит в начало координат О, принадлежащее параболе у=х'! 3) лх,'=хд, лхз' = = — хз+хз.
Лхд'=ха+ха, .все собственные точки эллипса ха+уз=1, кроме точки (О, — !), преобразуются по формулам х'= —, у' = 1+у ' 1 — у = —; точка (О, — 1) переходит в несобственную точку параболы !+У' у=ха, однородные координаты которой (О: 1: 0); 4) )дх,'=Х„Лхд'= =ха, лхз'=хд; все точки данных пересекающихся прямых, кроме х, 1 точки их пересечения, преобразуются по формулам х'= — -, у'= —; У' У' точка (О, 0) пересечения данных прямых переходит в несобственную точку (О: 1:0), присоединенную к паре параллельных прямых х'— — ! =О.
!468. 1) лх,'=-+- аЬ(хдсЫ+ахзз!д 1), лхд = -1- Ь' (х, зп 1+ ахз сЫ), лх = ахд« с любым набором знаков +, —; 2) собственные точки данной гипер- болы, отличные от ее вершин, преобраэуютсн по формулам х'= Ь Ь' = -1- — (хсЫ+азЫ), у'=-1- — (хзЫ+ас(д 1); вершины (-1- а, 0) У ау гиперболы переходят в несобственные точки (а: -«Ь: 0) ее асимптот. 1470. аих', + аззх,'+ азах, '+ 2аззхзХз = О. 1471. Й, '= — Х„ДХ«' = хз, лхз' хз (гармоническая гомология с осью АзАз и центром Ад). ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЙ 1 !Зтз 1478. х — бу+8=0.
1474. ( — 3, 1). 1475. у=!. !476. ( — 28, — 2). 1477. 7х'+2ху — 6х — 1Оу+15 =0. 1478. 2хэ — ху+Уз — Зх+У.=О, 1482. У к а з а н и е. Диаметр линии второго порядка есть поляра несобственной точки сопряженных ему хорд. 1488. Ук а ванне. Проекпии фокуса Г на касательные к линии С лежат на окружности, если С вЂ” эллипс или гипербола, и на прямой, если С вЂ” парабола. 1489. Указание. Принимая за начало координат фокус Р параболы, можно записать ее уравнение в виде уз — 2рх — рз=О. Попара точки Р=(Х, У) имеет уравнение РХ вЂ” УУ+рх+РЗ=О. Отсюда рх — УУ Р= Х+р , и, значит, следующее уравнение будет следствием двух предыдущих (уравнения параболы и уравнения поляры точки относительно параболы): рх — УУ (рх — уУ)2 Х+ р (Х+ р)2 или ЯРХ+ рз) х2 2хуХУ+ [(Х+р)з УЗ[уз=О.
Но это уравнение однородное относительно х и у и, значит, оно является уравнением двух прямых, проходящих через начало координат и точки пересечения параболы с полярой. Условие ортогональности этих прямых (Х+р) — )' +2РХ+РЗ=О или (Х + 2р)' — Уз = 2рэ 1501. а11 агэ а!э и, ам аэз аы из аж аж азз из о1 о3 оз О =0 или А 11иэоэ+ Аыиэоз+ Аззизоэ+ А ы (изпз+ изсэ) + + 4 э! (изиэ+ и1из)+ Аж Оэгвэ+ иэиэ) = 0 где АΠ†алгебраическ дополнение элемента ау в определителе ам а,з аэз ам аэз азз азг аж азз — уравнение равносторонней гиперболы.
1491. Прямая [и,: и,: и [, координаты которой Аиэ =аээхээ+а!эх„"+аыхм зиэ= зэх[+аэзх[+аээхээ зиз = а3132~ + а3212+ аззхз (поляра точки Мэ). 1496. хэхз+хэх,+хэх2=0. 1499. х',+х[ — хз=О; А„А — внешние точки, Аз — внутре!!няя тЬчка. 1500. Уэ(а!эх, + + а„х, + аыхз) + уэ (а„хт + аззхз + аззхз) +уз (азэхэ+ амхэ+ аззхз) == .: — 31 (апуз+ ажуз+ ажуэ) + х2 (а21У1+ а22УЗ+аыуэ)+хэ (ам УЗ+ азэуз+ + аз,уз) == а,эх!у! + ацх,уз + а,зхзуз + э~з (хзуз + хзуД+ аз! (хзуэ + + хзуз)+аэ,(х,уз+х,уэ)=0. 365 ОТВЕТЪ] И УКАЗАНИЯ 1522 ] 1502. )Х>=Авда>+А>зад+А>зов, )дхв = А,ди, + Азвиз+ А зеив Ахз — — Аздид+ Амид+ Аззиз, где Ад — алгебраическое дополнение элемента аВ в определителе у или ид а,з аы )ам ид а>в~ ~а>1 аы ид~ )хд= ив авв адз > ).хв= азд ив аю, ]дхз= азд а,м из .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
