1610840688-354d60f870aa4b4d07a90e025d5836ea (824169), страница 13
Текст из файла (страница 13)
433. Вершина равнобедренного треугольника находится з точке ( — 7, 15), а середина его основания в точке (1, 3). Составить уравнения сторон треугольника, зная, что тангенс угла при основании равен 4. 434о. Основанием равнобедренного треугольника служит прямая 2х — 5у+ 1 =О, а боковой стороной — прямая 12х— — у — 23=0. Написать уравнение другой боковой стороны треугольника, зная, что она проходит- через точку (3, 1). 435. Основанием равнобедренного треугольника служит прямая 2х+Зу=О, а боковой стороной †прям 5х — 12у=О. Написать уравнение другой боковой стороны треугольника, зная, что она проходит через точку (2, 6). 436*. Зная уравнения двух сторон треугольника АВС: 2х+Зу — 6=0 (АВ), х+ 2у — 5=0 (АС) и внутренний угол при вершине В, равный —, написать уравнение высоты, опущенной из вершины А на сторону ВС. 437о.
Концы основания равнобедренного треугольника находятся в точках А=( — 3, 4), В =(6, — 2); тангенс угла 3 при основании равен —. Найти координаты вершины С, зная, 3 и. с. моленов, А. с, пархоменко гл пп пгямля нл плоскости ! ззв что начало координат н точка С лежат по разные стороны от прямой АВ.
438". Основанием равнобедренного треугольника служит прямая х+ 2у= О, а боковой стороной — прямая х — у+ 6=0. Написать уравнения: 1) прямой, проходящей через точку пере- сечения двух данных сторон треугольника параллельно третьей его стороне; 2) высоты, опущенной из точки пересечения дан- ных сторон на третью сторону треугольника; 3) медианы, про- веденной из точки пересечения данных сторон.
439в. Даны две прямые: х+ Зу = 0 и х — у+ 8 = О. 1-!айти третщо прямую так, чтобы вторая из данных прямых была биссектрисой угла между первой из данных прямых и искомой прямой. 440в. Даны две вершины треугольника АВС: А=(1, 2), В=(3, 4) и тангенсы внутренних углов при этих вершинах 1 ! 13 А = — .—, 13 В = —. Найти третью вершину треугольника, зная, что она лежит по ту же сторону от прямой АВ, что и начало координат. 441в. Дана вершина С=( — 3, 2) треугольника АВС, тан- 1 4 генсы его внутренних углов !ЗА = —, ГЗВ= — и уравне- 2' 3 ние 2х — у — 2=0 стороны АВ. Составить уравнения двух других сторон треугольника.
442ч. Зная уравнение стороны треугольника л + 7у — 6 = 0 и уравнения биссектрис х+у — 2 = О„х — Зу — 6 = О, выходящих из коннов этой стороны, найти координаты вер- шины, противолежащей данной стороне. 443*. Ланы уравнения сторон треугольника Зх+у — 3 =0, Зх+4у=О и уравнение х — у+5=0 биссектрисы одного ив внутренних углов этого треугольника. Составить уравне- ние третьей стороны.
444в. Ланы две точки А=(3, 3) и В=(0, 2). На прямой х+у — 4= 0 найти точку М, из которой отрезок АВ виден под углом — . 4' 445ч. Ланы две пересекающиеся не взаимно перпендику- лярные прямые А,х+Вту+Ст=О, Аях+Вяу+С,.=О. Ло- лазать, что Угол междУ вектоРами и,—.— (Ат, В,) и и,:= .=. !Аа, Вя! равен тому из углов между данными прямыми, внутри которого лежат точки, принадлежащие полуплоскостям, дав 1 1 т. рлсстояиие от точки до пгямон 67 определяемым данными прямыми, для координат точек которых левые чали данных уравнений имеют противоположные знаки.
.448*. Найти коеинус того угла между двумя прямыми х+5у=О, 10х+2у+1=0, в котором лежиг точка (1, 1). 447в. Ланы две пересекающиеся не взаимно перпендикулярные прямые Адх+ В,у+ С, = — О, А,х+ Вду+ Се= 0 и точка (хв, у,), не принадлежащая ни одной из этих прямых. Найти косинус того угла вд между данными прямыми, в котором лежит данная точка.
448". Трн прямые Адх+В,у+С,=О, А,х+В,у+С,=О, Авх+ Вву+ Св = 0 образуют треугольник. Найти косинус внутреннего угла этого треугольника, образованного первой и второй прямыми. ' 449"'. Ланы три прямые Адх+Вду+Сд=О, А х.+Вау-)- + С,=-О, Аах+Вву+Св — — О, проходящие через одну точку, При каком необходимом и достаточном условии третья прямая проходит в остром угле, образованном двумя первыми? ф 7. Расстояние от точки до прямой Александров, гл. д7, 44 7, 3.
Моде нов, гл. К, 8 63, 64. Постников, гл. 3, 4 1, и. 6. Во всех задачах этого параграфа система координат предполагается прямоугольной. 450. Составить уравнения прямых, параллельных прямой 5х+12у — 1=0 и отстоящих от нее на расстояние 5. 461. Найти расстояние медкду параллельными прямыми 12х — 1бу — 48 = О, Зх — 4у+ 43 = О.
462. Составить уравнения биссектрис углов между прямыми х+ 2у = О, 2х — ' 1 1у + ЗО = О. 463. Найти касательные к окружности с пентром (1, 1) и радиусом 3, параллельные прямой 5х — 12у=О. 454в. Написать уравнения касательных к окружности с пентром (1, 1) и радиусом 2, проведенных нз точки (7, — 1).
465"'. Найти общие касательные к двум окружностям, пентры которых находятся в точках (1, 1) и (2, 3), а радиусы соответственно равны 2 и 4. 3* 68 ГЛ. П!. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ [ 4ав 456"'. Написать уравнения сторон квадрата, описанного около окружности с центром (1, 9) и радиусом 5, зная, что одна из его диагоналей пзраллельна прямой х — 7у=О. 457. Основанием равнобедренного треугольника служит прямая х+ 2у+ 6 = О, а боковой стороной — прямая 2х + +у=О.
Написать уравнение другой боковой стороны треугольника, зная, что ее расстояние от точки пересечения данных сторон равно )' 5 . 458э. Написать уравнение биссектрисы того угла между прямыми х+ 7у=О, х †у 4 =-О, внутри которого лежит точка (1, 1). 469э. Ланы две пересекающиеся прямые Атх+ Вьу+ С! = = О, А,х+Вяу+С,=О и точка (хв, уэ), не принадлежащая ни одной из этих прямых. Нзписать уравнение биссектрисы того угла ме4кду данными прямыми, в котором лежит данная точка.
460э. Написать уравнения сторон прямоугольника, зная уравнения его диагоналей 7х — у+ 4 = О, х+у — 2 =-0 и внутреннюю точку (3, 5) одной из его сторон. 461. Ланы 'две прямые Зх+4у — 2=0, 5х — 12у — 4=0 и точка (1, 1). Внутри угла, образованного данными прямыми и содержащего данную точку, найти такую точку, чтобы ее расстояния до данных прямых были равны соответственно 3 и 1. 462*.
Локазать, что внутри треугольника, образованного прямыми 7х+у — 2=0, 5х+5у — 4=0, 2х — 2у+5=0, существует точка, равноудаленная от первых двух прямых и от- 3)'2 стоящая от третьей прямой на расстояние —. Найти эту 4 точку. 463э. Внутри треугольника АВС со сторонзми 2х+у— — 22=0 (АВ), 2х — у+18=0 (СВ), х — 2у — 6=0 (СА) найти точку, расстояния которой до прямык АВ, ВС и СА пропорциональны числам 20, 12, 15. 464в.
Найти центр и радиус окружности, проходящей через точку ( — 1, 3) и касающейся прямых 7х+у=О, х — у+ 8 =. О. 465э. Найти центр С и радиус г круга, вписанного в треугольник со сторонами Зх — 4у — 2 = О, 4х — Зу — 5 = О, бх+12у+27=0. 466.
Нзйти центр С и радиус г круга, вписанного в треугольник со сторонами х+у+12=0, 7х+у=О, 7х— — у+28=0, 477 1 $7. РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПРЯМОЙ б9 467*. Составить 'урзвнения биссектрис внутренних углов треугольника, стороны которого заданы уравнениями Зх — 4у=О, 4х — Зу=О, бх+12у — 10=0. 468в.
Написать уравнение биссектрисы наибольшего из внутренних углов треугольника со сторонами Зх — 4у — 2=0, 4х — Зу — 5=0. 5х+12у+27=0. 469в. Составить уравнение биссектрисы острого угла между двумя прямыми х — Зу=О, Зх — у+5=0. 470в. Ланы две пересекающиеся не взаимно перпендикулярные прямые Адх+В7у+С,=О, Аях+Вяу+Ся=О.
Написать уравнение биссектрисы острого угла между ними. 471*. Написать уравнения сторон ромба, знзя точку 7И = (1, 6) пересечения его диагоналей и по точке на трех его сторонах: Р=(3, 0) на стороне АВ, С?=(6, 6) на стороне ВС, 7?=(5, 9) на стороне СВ. 472в. Составить уравнения сторон квадрата, зная его центр (1, 6) и по точке на двух непараллельных сторонах (4, 9) на стороне АВ, ( — 5, 4) на стороне ВС. 473в.
Написать уравнения сторон квадрата, зная по точке на каждой из ннх: Р=(2, 1) на стороне АВ, С7=(0, 1) на стороне ВС, 1?=(3, 5) на стороне С0, 8=( — 3, — 1) на стороне РА. 474*. Вершины острых углов прямоугольных треугольников перемещаются по двум параллельным прямым, а вершина прямого угла — по прямой, к ням перпендикулярной. Какую линию описывает при этом основание перпендикуляра, опущенного из вершины прямого угла на гнпотенузу прямоугольного треугольника? 475в.
Найти геометрическое место точек, сумма рзсстояний которых до катетов СА и СВ равнобедренного прямоугольного треугольника АВС равна расстоянию до его гипотенузы АВ. 476"'. Лана вершина (3, 5) равнобедренного треугольника, уравнение х — 2у + 12= О его основания и площадь з= 15. Составить уравнения боковых сторон. 477. Стороны треугольннкз заданы уравнениями Аьм+ В,у+ Ст= О, Аях+ В„у+С, = О, Аах+Вау+ С,=О.
Найти длину высоты треугольника, опущенной на третью его сторону. то ГЛ. П1. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ [ 878 8 8. Метрические задачи на прямую в аффинных координатах 478в. Найти тангенс угла сс от осн Ох до прямой у =- Ьх+Ь, вная метрические коэффнпиенты Ат[, ета, еая базиса еп е,. 4798. Найти тангенс углз а от осн Ох до прямой у=йх+Ь, если (ет)=)еа(=1, е,, ея=-ги 480ес 1-1айти тангенс угла в7 От прямой у=йтх+Ь, до прямой у=йах+Ьа, зная метрические коэффнпиенты е11, чтя, Аяя базиса е„ея.
481а. Найти тангенс угла 1р от прямой у=йтх+Ьт До пРЯмой У=Ьях+Ьа, если ~ет(=(ея~=1, е„еа=в. 482"'. Найтн необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух прямых А,х+Вту+С,=О, А,х+В,у.+ + С,=О, зная метрические коэффициенты е11, ет„лая базиса е„е,. 483в. Найти необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух прямых у =йгх+Ьт, у =йах+Ьм если )ет(=(еа(=1, е,, е,=в. 4848.
1) Найти косинус, синус н тангенс угла гр от прямоу А„х+В,у+С,=О до прямой Аах+В,у+Ся=О, зная метрические коэффипиенты д„, ета, еяя базиса е„ея. 2) Какой вид примут эти формулы в случае ~ет(=(еа(=1, е,, е,=ву 485а. Написать уравнение перпендикуляра, опушенного из точки (х~, уа) па прямую Ах+ Ву+С= О, если (ег)=1е,)=1, е„еа=в. 486"'. Зная метрические коэффипиенты ет,, ат„еяа базиса е„ е„ составить уравнения семейства прямых: 1) перпендякулярных к осн Ох; 2) перпендикулярных к осн Оу 3) рассмотрегь частный случай: (ет(=)ея(=1, е[, е,=в. 488 1 % 8. МЕТРичеСКИп ЗАДАЧИ В АФФИН11Ь1х КООРДИНАтАК 71 487Ф. Найти расстояние 14 от точки (ха, ув) до прямой Ах+Ву+С=О, зная метрические коэффициенты лтт, л18, лая базиса ет, ея.
4888. Найти расстояние Ы от точки (ха, у,) до прймой Ах+ Ву+ С = О, если ) ет ~ = ~ ея ~ = 1, е„ея = еь 489Ф. Найти расстояние 14 от точки (2, 1) до прямой .10х+ббу — 37=0, если лат=4, лгя — — 8, л~,.=2б. 4908. 1) Составить уравнения биссектрис углов между кооодинатными осями, зная метрические коэффициенты лтт, ла„лаа базиса еп ем 2) Рассмотреть частный случай 1ет)=(ея1=1, ет, ея=вь ГЛАВА 1Н ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ 9 1. Составление уравнений прямых и плоскостей Александров, гл. Х, 61, пп. 1, 5; 44.
М оде нов, гл. Ч1, 8 68, 69, 71 — 76, 77, 78, 81. Постников, гл. 3, 4 2, пн. 1, 2; $ 3, н. 1. 491. Лана точка А=(1, 2, 3). 1) Составить уравнения плоскостей, проходящих через точку А и параллельных координатным плоскостям. 2) Составить уравнения прямых, проходящих через точку А и параллельных осям координат. 3) Составить уравнения плоскостей, проходящих через точку А и через оси координат. 4) Составить уравнения прямой, проходящей через начало координат и точку А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
