1610840688-354d60f870aa4b4d07a90e025d5836ea (824169), страница 3
Текст из файла (страница 3)
17". Доказать, что сумма векторов, идущих нз центра правильного многоугольника к его вершинам, равна О. 18. Доказать, что вектор, идущий из произвольной точки пространства в центр правильного многоугольника, есть среднее арифметическое векторов, идущих из этой точки к вершинам многоугольника. 19. Дан тетраэдр ОАВС. Выразить через векторы ОА, ОВ, ОС вектор ЕГ, началом которого служит середина Е ребра ОА, а концом — середина Р ребра ВС. 20.
Дан тетраэдр ОАВС. Выразить через векторы ОА, ОВ, ОС вектор ЕГ с началом в середине Е ребра ОА н концом в точке Е пересечения медиан треугольника АВС. 21. Даны два треугольника АВС и А'В'С'. Выразить вектор ММ', соединяющий точки пересечения медиан этих треугольников, через векторы АА', ВВ', СС'. 2ж Из точки О выходят два вектора, ОА=а, ОВ=Ь. Найти какой-нибудь вектор ОМ, идущий по биссектрисе угла АОВ. 23. Дан правильный шестиугольник АВСРЕГ. Принимая за базисные векторы АВ н АС, найти в этом базисе координаты векторов АВ, ВС, СР, РЕ, ЕЕ, Е'А, 24. В трапеция АВСР отношение основания ВС к основанию АР равно Х.
Принимая за базис векторы АР н АВ, найти координаты векторов АВ, ВС, СР, РА, АС, ВР, 26. Дан параллелепипед АВСРА'В'С'Р'. Принимая за базис ем е„еа векторы АВ, АР, АА', найти в этом базисе координаты векторов, совпздающих с ребрами, диагональю параллелепипедз н диагоналями его граней, для которых вершина А' служит началом.
26. Дан тетраэдр ОАВС. Принимая за базисные векторы ет, еа, еа вектоРы ОА, ОВ, Ос,', найти в этом базисе кооР- динаты: 1) векторов АВ, ВС, СА; 2) вектора РЕ, соединяющего середину Р ребра ОА с серединой Е ребра ВС; 3) вектора, соединяющего середину Р ребра ОА с точкой Е пересечения медиан грани ВОС; 4) вектора АЕ, соединяющего вершину А с серединой ребра ВС; 5) вектора ОМ, 14 ГЛ. Ь ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА ! ат соединяющего вершину 0 с точкой пересечения М медиан грани АВС. 27. Ланы четыре вектора а=(1, 5„31, Ь=(6, — 4, — 2(, с==(0, — 5, 7(, г1=( — 20, 27, — 35(. Подобрать числа а, и 7 так, чтобы векторы аа, РЬ, ус и Ф образовывали замкнутую ломаную линию, если начало каждого последующего вектора совместить с концом предыдущего. 28.
установить, в какнд из нижеследующих случаев тройки векторов а, Ь и с будут линейно зависимы, и в том случае, когда это возможно, представить вектор с как линейную комбинацию векторов а и Ь: 1) а=(5, 2, 1), Ь=( — 1, 4, 2(, с=( — 1,— 1,6(; 2) а=(6, 4, 2(, Ь=( — 9, 6, 3(, с=( — 3, 6, 3(; 3) а=(6,— 18, 12(, Ь=( — 8,24,— 16),с=(8, 7, 3(. 29. Показатгь что, каковы бы ни были три вектора а, Ь и с и три числа а, р, 7, векторы яа — рЬ, уЬ вЂ” ас, рс — уа компланарны. 30".
Ланы лва вектора а = (2, 5, 14(, Ь = (14, 5, 2). Найти проекцию вектора а на плоскость Оху при направлении проектирования, параллельном вектору Ь. 31. Ланы четыре вектора а= (1, 2, 3(, Ь=(2, — 2, )), с=(4, О, 3(, !7=(16, 10, 181. Найти вектор, являющийся проекцией вектора с! на плоскость, определяемую векторами а и Ь, при направлении проектирования, параллельном вектору с. ф 2. Радиус-вектор Постников, гл. 2, $ !. 32. ЗнаЯ РадиУсы-вектоРы Гм Гя, Га тРех последовательных веРшин паРаллелогРамма, найти РадиУс-вектоР Га четвертой его вершины. 33. Зная радиусы-векторы Гм Ги Га, Г,' четырех вершин А, В, С, А' параллелепипеда АВСОА'В'С'7)', найти радиусы- векторы четырех остальных его вершин. 34. Ланы радиусы-векторы Гт и Гя точек А и В.
Найти радиус-вектор Г точки С, делящей направленный отревок АВ в отношении )ь Найти также радиус-вектор г' середины А4 отрезка АВ. ЯЗ1 $2. РАДИУС-ВЕКТОР 88. Даны радиусы-векторы гн г,, га вершин треуголь- ника АВС. Найти радиус-вектор г точки пересечения его медиан. 38в. Доказать, что если ОА, ОВ, ОС вЂ” три ребра парал- лелепипеда, а ОР— его дизгональ, то точка Л пересечения прямой ОР с плоскостью, проходящей через точки А, В, С, является точкой пересечения медиан треугольника АВС и делит отрезок ОР в отношении 1:2.
Зув. В треугольнике АВС проведена биссектриса АР внутре~~него угла А. Выразить вектор АР через векторы АВ и АС. 38. В прямоугольном треугольнике АВС опущен перпен- дикуляр СН на гипотенузу АВ. Выразить вектор СП че- рез векторы СА н СВ и длины катетов ~ ВС ~=а и )СА)=Ь. 89в.
Зная радиусы-векторы и,', га, га вершин треуголь- ника АВС и длины а, Ь, с сторон, противолежащих этим вершинам, найти радиус-вектор г пентра круга, вписанного в этот треугольник. 40в. Зная радиусы-векторы г„ г,, га вершин треуголь- ника АВС и его внутренние углы, найти радиус-вектор г основания перпендикуляра, опущенного из вершины А нз сторону ВС, 41в. ЗнаЯ РадиУсы-вектоРы гп г„ га тРех последователь- ных вершин А, В, С трапепии АВСР, найти рздиус-вектор г четвертой вершины Р, радиус-вектор г' точки пересечения диагоналей и радиус-вектор г" точки пересечения боковых сторон, если отношение основания АР к основанию ВС равно ).
42в. Доказать, что отрезки прямых, соединяющих сере- дины противоположных ребер тетраэдра, пересекзются в одной точке и делятся этой точкой пополам; доказать также, что в той же точке пересекаются отрезки прямых, соединяющих вершины тетраэдра с точками пересечения медиан прогиво- положных граней, и делятся этой точкой в отношении 3:1 (считая от вершин). 43. В точках Мм Ла, ..., Л„, имеющих соответственно радиусы-векторы гм ка,..., г„, помещены массы шн ш,..., т„. Найти радиус-вектор пентра тяжести этой системы материаль- ных точек. 1О Гл.
е ВектоРнАя АлГеБРА 44*. Показать, что каково бы ни было конечное множество точек А„ А„..., А„ (на прямой, на плоское~и или в пространстве), сушествует и притом только одна такая точка М, что МАд+ МАа+... + МА„= О. ф 3. Прямоугольные и аффднные координаты точек на плоскости и в пространстве Александров, гл. П!, 4 1; гл. 1Ч, $ 1, и. 1. М о д е н о в, гл. П, 44 9, ! О. Постников, гл.
2, 4 1, пп. 1, 4. 1. 1<оордпнаты точек на плоскости 45. 11ан правильный шестиугольник АВСРЕЕ. Найти координаты его вершин, принимая эа начало координат вершину А, за положительное направление оси абсцисс — направление стороны АВ, за положительное направление оси ординат — направление диагонали Ай; а за единицу масштаба по обеим осям — сторону шестиугольника. 46. Основание АР равнобочной трапеции АВСР равно 8, высота равна 3, а углы, прилежашие к этому основанию, равны †. Принимая за ось абсцисс основание АР, а аа ось 4 ' ординат ось симметрии трапеции, направленную от большего основания к меньшему, найти в этой прямоугольной системе координаты вершин трапеции, точки М пересечения ее диагоналеи и точки 8 пересечения ее боковых сторон.
47. Относительно прямоугольной системы координат дана точка М=(х, у). Найти точку, симметричную точке М: 1) относительно начала координат; 2) относительно оси абсцисс; 3) относительно оси ординат; 4) относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов; б) о~носительно биссектрисы второго и четвертого координатных углов. 48. Дан правильный шестиугольник АВСРЕЕ. Принимая аа начало аффинной системы координат вер1нину А, а эа базис — векторы АВ и АС, найти в этой системе координаты вершин шестиугольника. 66 ! $ 3, пРямОУГОльнЫЕ И лФФинные коогдинлты точек 17 49. В трапепии АВСО отношение основапня АО к основанию ВС равно 3. Принимая за начало координат вершину А, а за базисные векторы — основание АО и боковую сторону АВ, найти координаты вершин трапепии, точки М пересечения ее диагоналей и точки 8 пересечения боковых сгорон. 60.
Ланы две смежные вершины А=( — 1, 3), В=(2, !) параллелограмма АВСО. Найти две другие его вершины при условии, что дизгональ АС параллельна оси Ох, а диагональ ВО параллельна оси Оу. 61. Ланы три последовательные вершины параллелограмма А =( — 2, !), В=(1, 3), С= (4, О). Найти четвертую его вершину Р. Система координат аффинная. 62Ф.
Даны две точки А=( — 3, 1) и В=(2, — 3). На прямой АВ найти точку М так, чтобы она была расположена по ту же сторону от точки А, что и точка В, и,чтобы отрезок АМ был втрое больше отрезкз АВ (система координат аффинная). 2. Координаты точек в пространстве 63. Относительно прямоугольной системы координат лана точка М=(х, у, е). Найти координаты точки, симметричной с точкой М 1) относительно начала координат; 2) относительно плоскости Оху; 3) Относительно оси Ож 64. Относительно прямоугольной системы координат Охуз дана точка М=(х, у, а). Найти ее ортогональную проекпию: 1) на ось Ох; 2) на плоскость Оуж 66.
Определить расстояния д, 6!а, д, точки М=(х, у, г) от осей координат Ох, Оу, Ое (система координат прямоугольная). 66. В третьем октанте найти точку, зная, что ее расстояния до осей Ох, Оу, Оз равны соответственно 5; 3 1' 5; 2 г"!3. Система координат прямоугольная. 67. Вершина А параллелепипеда АВСОА'В'С'Р' принята за начало координат, а три ребра АВ, АО, АА' — за базисные векторы. Найти в этой системе координаты всех вершин параллелепипеда.
68. Вершина О тетраэдра ОАВС принята за начало координат, а векторы ОА, ОВ, ОС вЂ” за базисные векторы. Найти в этой системе координаты точек пересечения медиан граней тетр аэдр а. 18 [ аз ГЛ. Г. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА 59е. Даны две точки А=(1, 2, 3), В=(7, 2, 5). На прямой АВ найти такую точку М, чтобы точки В и М были расположены по разные стороны от точки А и чтобы отрезок АМ был вдвое длиннее отрезка АВ. Система координат аффиннзя. 9 4. Расстояние между двумя точками. Длина вектора; направляющие косинусы Александров, гл.
!Т[,4 1, и. 2;42, и.2. А[оленев, гл. П, $!2. Постников, гл. 2, $1, и. 4. Бо всех задачах этого параграфа система координат является прямоугольной. 1. Расстояние между двумя точкалш на плоскости 60. Дана окружность с центром в точке (6, 7) и рздиусом 5, Из точки (7, 14) к этой окружности проведены касательные. Найти их длины. 61. Дана окружность радиуса 10 с центром ( — 4, — 6).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
