1610840688-354d60f870aa4b4d07a90e025d5836ea (824169), страница 18
Текст из файла (страница 18)
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ АФФИНЛ!ЬЛХ КООРДИНАТ 97 б7Я 1 точку новой системы координат О'х'У', пай~и выражения новых координат х, у' произвольной точка через ее старые коордииагы х и у. 668"'. Написать формулы преобразования координат, принимая за новые оси О'х' и О'у' прямые 2х+у — 4= О и х — у + 2= О, а за единичную точку в точку (3, 7).
669. Написать уравнение прямой х — У вЂ” б= 0 в сисгеме координат, осями которой служат прямые 2х — у+7=-0 (ось О'у'), х+у — 4=0 (ось О'х'), а единичной точкой — точка (О, 0). 670'". Через точку Р=( — 3, — 5) провести прямую, отрезок которой между прямыми 2х + Зу — 15= О, 4х — 5у — 12=0 в точке Р делился бы пополам. 671 о. 11ана точка (О, 2) пересечения медиан треугольника и уравнения двух его сторон 5х — 4у + 15=0, 4х+у — 9 = = О. Найти уравнение третьей стороны. 672о.
Ланы уравнения 4х+ бу=- О, х — Зу= 0 л7едиан треугольника и его вершйна (2, — 5). Составить уравнения сторон треугольника. 2. Преобразование аффинных ноординагп в проспяранстве 673. Ланы две системы координат Охуе и О'х'у'а'. По отношению к первой системе начало второй" находится в точке О'=(2, 1, 3), а базисные векторы второй системы суть е,'=(2, 4, 11, ее=(0, 4, 4), еб=(1, 1, О(. 1) Написать выражения координат точек относительно первой системы через их координаты во в~арой системе. 2) Выразить координаты точек относительно второй системы через их координаты в первой системе.
3) Найти координаты начала О и координаты базисных векторов ем еб, ез первой системы относительно второй. 674. Координаты х, у, з точек в системе Охуз выражаются через координаты х'„у', з' в системе О'х'у'г' соотношениями х = — 2х' — у' — г' — 1, л У= У х'+ Зу'+е'+ 1. 1) Вырззить координаты х', у', г' через координаты х,у, ш 4 П С. Молевое, А, С. Пврхолвенно гл ч. пгеоьглзовлнпи коогдинлт [ ата 2) Найти координаты начала О' и координаты базисных векторов е,', ея, е,' второй системы относительно первой. 3) 1!айти координаты начала О и координаты базисных векгоров вм е,, еа первой системы относительно второй. 675. Написать формулы преобразования координат, принимая за начало первой системы вершину параллелепипеда н за бааис — три ребра, выходящие ив этой вершины; за начало вгорой системы — противоположную вершину и за базис — три ребра, соочве~стве[шо параллельные и направленные противоположно векторам первого базисж 676.
1!айти координшы вершин теграэдра ОАВС в системе координат с началом в пер[пине О, базпсными векторамн которой являются медианы ОР, ОЕ, ОВ граней ВОС, СОА, ЛОВ. 677. Найти координаты вершин параллелепипеда ЛВСРЛ'В'С'Р' в системе координат, началом которой служит вершина Л, а базнсными векторами — направленные отрезки, соедипя оигие вершину Л с иегырами граней ВСС'В', РСС'Р', А'В'С'Р'.
678. !!айти выражения прямо!гольных коордянат х, у, а произвольной точки М через ее аффинные координаты х', у', а', если начала обеих спсгем совпадают, положительное направление оси Ох' есть биссектриса угла между пологкительныл~и направлениями осей Ох и Оу, положительное направление оси Оу' — биссектриса угла между положительными направлениями осей Оу п О „ось Ог' перпендикулярна к осям Ох' и Оу' и ее поло[кительное направление выбрано так, чтобы обе системы были одинаково ориентированы; базисные векторы е,', е,', е; аффинной системы таковы, что ,'е,')==(ея'(=(е,,'(.=1.
679. Выразить аффинные координаты х, у, л произвольной точки М через ее прямоугольные координаты х', у', л', если начала обеих систем совпадают, базисные векторы аффинной системы нме[от длину 1 и углы между ними равны — оси Ох и Ох' обеих сне.гем совпадают, ось Оу' лежит 3) в плоскости Оху и угол между осями Оу и Оу' равен —; положительные лучи осей Оа и Ол лежат по одну сторону от плоскости Оху. 680*. Даны две системы координат Ох,хяха и Ох;х;х,' с общим началом О и одинаковыми по длине базисными век- аю1 $2 пРБОБРАЗОВАнив пРямОуГОльных ХООРдинат торами по всем осям обеих систем.
Косинусы углов между осями первой системы суть соответственно соз ~ х,Ох,=юиь соз ~ хзОхз=юю, сов ~ х,Ох,=юли Косинусы углов между осями первой и второй систем даны таблицей Оз,' ) Ох. '~ Ох,' Ох, а„ агз Ох, Охз азг азз а, Написать формулы, связываюшие координаты хт хз хз и х'„х', х,' одного н того же вектора в обеих системах. 6Ь81а. По отношению к аффинной системе координат Охуг координатшяе плоскости новой системы О'х'у'г' заданы уравнениями х+ 1 = 0 (О'у'г'), 2х — у = 0 (О'г'х'), х+ 2у+ Зг — 6 = 0 (О'х'у'), а единичная точка Е' новой системы имеет в старой системе координаты 1, 3, б. Выразить новые координаты произвольной точки А4 через ее старые координаты.
682*. Относительно системы координат Охуг плоскость О'х'у' задана уравнением 2х+Зу — ба+6=0, а плоскосяи О'у'г' и О'х'г' совпадают соответственно с плоскостями Оуг и Охг. Написать выражения новых координат произвольной точки А4 через ее старые координаты, зная, что точка А в обеих системах имеет одни и те же координапя 2, 4, 6.
8 2. Преобразование прямоугольных координат иа плоскости и в пространстве Е Преобразование прямоугольных координат на плоскости А л е я с а и д р о в, гл. 7111, 4 3, п. !. Моде нов, гл. зг11, 4 99. 683. Написать формулы преобразования прямоугольных координат, если начало новой системы находится в точке О'= — ( — 4, 2), угол от положительного направления осн Ох 4* Гл.ж ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ [884 2л до положительного нзправления оси 0'х' равен — и обе системы одинаково орненгированы. 684. 1-!аписать формулы преобразования прямоугольных коорчпнзт, если начало новой системы накоди4ся в точке О'=1 — 3, — 2), угол от оси Ох до оа4 Ох' равен 41 — агссоб( — --) и обе системы имеют проп|воположную ори- 5) енгапию.
685. В системе Оху дана точка 16, — 2); найти ее координзты в систебге Огх'1~', йолучаюшейся пз системы Оху переносом начзла в точку 0'=(3, — 4) и поворотом на 12 угол — дгссоа --. 13' 686. Ланы дзе прямоугольные системы координат Оху и 0'х'у'. Начало второй системы находится в точке 0' = = 12, 3). Зз положительное направление оси О'х' принимается направление вектора 0'Л, где А = 16, 0) — точка пересечения осей Ох и 0'х'; за положительное направление оси 0'у' принимается направление вектора ОВ, где  — точка пересечения осей Оу и 0'у'.
Выразить координаты п)1шиззольной точки относительно первой системы через ее координаты во второй системе. 687. За нзчало первой прямоугольной системы координзт Оху принимается вершина 0 прямоугольного треугольника АОВ, а зз положительные г~аправления осей Ох и Оу — направления катетов ОА и ОВ, причем (ОА (=3, ) ОВ1=.1.
За начало второй системы 0'х'у' принимается основание 0' перпендикуляра, опушенного из точки О на гипотег1узу АВ, за положительное нзправление оси 0'х — направление О'О, а положительное направление оси 0'у' выбирается так, чтобы обе системы имели одинаковую ориентапию. Выразить координ;ты произвольной точки относительно первой системы через ее координаты во второй системе. 688в. Относительно прямоугольной сисгемы координат Оху даны две взаимно перпендикулярные прямые: Атх + В У + С, = О, А,х+ Вьв+ С, = О.
Принимая эти прямые соответственно за оси 0'у' и 0'х', а за положительные направления осей 0'х' и 0'у' векторы 1ЛН В,) и 1Ля, Вб), найти выРажении новых КООРдинат х', Р' произвольной точки А4 через ее старые координаты х и у. 621 ! $2. ПРеОВРАЗОВАНИЕ пРЯНОУГОЛЬНЫХ КООРДИнАт 101 2. Преобразование лрялгоугольных координат в пространстве А.лексанлров, гл. Ч!11, 9 3, и.
2. М о д е н о в, гл. И1, 9 100. 689". Написать формулы преобразования прямоугольных координат, если обе системы име2от общее начало, а косинусы углов между осями координат даны таблпней: Ог' ! Оу' ~ Ог' о 3 !! !5 Ох 1 3 2 15 Оу 2 3 ! 3 2 3 Ог 699. Ланы две прямоугольные системы координат Охуг н Ох'у'г' с общим началом О. Ось Ох' второй системы прсхздит в первом октанте и образует с осями Ох и Оу углы, равные —, ось Оу' лежит в плоскости Оху и образует с положительным направлением оси Оу острый угол; ось Ог' направлена так, что обе сисгемы одинаково ориентированы. Выразить координаты х, у, г произвольной точки относи~ельно первой системы через ее координаты х', у', г' во второй.
691. Даны две прямоугольные системы координат Охуг и О'х'у'г'. Начало второй системы находится в точке О' = = !2, 1, 2)! ось О'х' проходит через точку О, а ось О'у' пересекзет ось Оу в точке А. За положительное направление оси О'х принято направление О'О, за положительное направление оси О'у" — направление вектора О'Л; положительное направление оси О'г' выбрано так, чтобы обе свстемы были одинаково ориентированы. Выразить координаты х, у, г произвольной точки относительно первой системы через ее координаты х', у', г' во второй. [О2 Гл. ж пРеОБРАВОВАние ЕООРдинлт [ 699 692. Найти формулы перехода от одной прямоугольной системы координат Охуг к другой, Ох'у'з', если (, ')= Ох, Ох') = агссоа —, (Ох, Оу') = агссоз ( — — ), (Ох, Ог') ( — „(Оу, Ох') = агссоз ( — -~ ), (Оу, Оу') ) 2, причем обе системы имеют противоположную ориентацию. 693а.
Найти формулы преобразования прямоугольных координат, если начала обеих систем различны, а концы соответствующих единичных векторов совпадают. 694'". Даны три плоскости Атх+Вьу+Стз+О,=[), Аах+Вяу+Саз+О9=0, Аах+Вау+Саз+Оа=О, кзждые две из которых перпендикулярны друг к другу. Принимзя эти плоскости зз координатные плоскости О'у'з', О'з'х', О'х'у' новой системы координат, а за положительные направления осей Ох, Оу', Ог' соответственно направления векторов (А„ВР С,), [А„В„С9), [Аа, Вж Сз), найти выРажениЯ новых координат х', у', з' произвольной точки пространства через ее старые координаты х, у, з.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
