1610840688-354d60f870aa4b4d07a90e025d5836ea (824169), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Зная экспентриситет е эллипса, найти экспентриспте1 е' гиперболы, имеюшей с этим эллипсом обшпе фока1ьные хорды, т. е. хорды, проходящие через фокусы и перпендикулярные к фокзльной оси. хя уя 77б. Лзн эллипс — +-4-.— 1. Написать уравнение гипср- 16 болы, имеюшей с этим эллипсом общие фокальные хорды. 776. Лана равносторонняя гипербола ж' — у'=а'.
Нзппсать уравнение эллипса, имеющего с этой гиперболой обшие фокзльные хорды. 777. Дана парзбола уз,=2рх. Написать уравнение параболы с параметрам р', имеюшей обший фокус сданной параболой, при условии, что оси обеих парабол имеют протнвополозкные нзг;рзвления. 778. Лана пзрзбола у= — х.- Написать уравнение дру- 3 4 гой параболы, имеющей с данной параболой обшую фокальную хорду, т.
е. хорду, проходящую через фокус параболы а перпендикулярную к ее оси. 770. 1) Вычислить длину отрезка асимптоты гиперболы 2 2 ззключенного между ее пснтром и директрисой. 2) Найти рзсстояние от фокуса этой пшерболы до ее асимптоты. 3) Доказать, что основание перпендикуляра, опущенного из фокуса гиперболы на ее асимптоту, лежит нз директрисе, соответсгвуюшей этому фокусу. 780.
Доказать, что расстояние от любой точки Л гиперболы до фокуса Е равно о~резку прямой, проходяпгей через эту точку параллельно асимптоте, заключенному между точкой Л и директрисой, соответствующей фокусу Е 781. Написать уравнение гиперболы, зная четыре точки (-+. 4; -+ 2) пересечения ее директрис и асимптот. 78з. Написать уравнение линии второго порядка, пен1р . которой находится в точке (1, О), а одной из директрис служит прямая х= 2, зная, чго линия проходит через точку (5, 6). 783*.
Написать уравнение гиперболы, зная ее фокус ( — 2, О), уравнение х = 7 директрисы, соответствуюшей другому фокусу, и угол между асимптотами агс13 —, содержа- 3' ший фокус гиперболы. 114 ГЛ. Ч!. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКЛ [ 784 784в. Написать уравнение ливии второго порядка, верц[ииа которой находится в начале координат, ближайший к ией фокус в точке (2, 0), а одна из директрис кривой пересекает ее фокальпую ось в точке (12, 0). 7858.
Написать уравнение равносторонней гиперболы, зная ее фокус (1, 1) и асимптоту х+у=-О. 786. Написать уравнение равносторонней гиперболы, зная ее фокус (2, 0) и асимптоту х = 1. 787*. Составить уравнение эллипса, фокусы которого имеют координаты (1, 0), (О, 1) и большая ось равна 2. 788:"'. Составить уравиепие гиперболы, фокусы которой имеют координаты (1, 0) и (О, 1) и аспмптоты параллельны осям координат.
789"'. Найти радиус наибольшей окружности, лежащей внутри линии второго порядка и касающейся этой линии н ее вершине, принадлежащей фокальиой оси. 790. Найти геометрическое место точек, сумма расстояний которых от данной точки и данной прямой одна и та же для всех точек этого геометрического места 791. Найти геометрическое место пеитров окружностей, кзсаюп[ихся данной окружности и непересека!Ошей ее прямой. 792. Найти геометрическое место центров окружностей, касзющпхся двух окружностей: ха+уз+ 2х — 3 = О, ха+у РОх 89=О.
793. Найти геометрическое место центров окружностей, проходящих через точку (4, 0) и касающихся окружности ха+уз+ 8х — 84 = О, 7948. 1(ве вершины треугольника ззкреплены в фокусзх гиперболы, а третья перемещается по ее ветви. Какие линии описыва[от точки касания окружности, вписашюй в этот треугольник, с его сторопаь[иу 7958. Две вершины треугольника закреплены в фокусзх гиперболы, а третья перемещается по ее ветви. Какую линию описывает при этом центр окружности, вписанной в треугольник? 796. Составить урзвпеиие гиперболы, зизя одпп из ее фокусов ( — 2, 2) и асимгиоты 2х — у+1=0, х+2у — 7=0.
зза ! 4 с тип и гасположвнив линии втогого погядкл 115 2. Уравнение элл!лгеа, аилерболы и лпрпболы в полярных координатах 797. Составить уравнение гиперболы в полярных коордииа ах, ' ли дз о ее кано ическое уравнение 144 — 25= 1 798. Составить каноническое уравнение гиперболы, если 9 дано ее уравнение в полярных координатахр=4 4 — 5соз гр' 799. Составить уравнение параболы уз=8х в полярных координатах. 800. Составить каноническое уравнение параболы, опре- 6 делаемой уравнением р= ! — созга ' 801. Через фокус параболы проведена хорда, образующая с ее осью угол †. 1-!айги отношение, в котором фокус делит 3' эту хорду.
802». Через фокус пзраболы проводятся всевозможные хорды. На каждой из них от фокуса в направлении более удаленного конца хорды откладывается отрезок, равный разности отрезков, на которые фокус делит хорду. Найти геометрическое место концов этих отрезков. 803э. Доказать, что сумма обратных величин отрезков, на которые фокус линии второго порядка делит проходящую через него хорду, есть величина постоянная.
804е. Лве вершины треугольника закреплены в точках А и В, а третья вершинз С перемещается так, что угол при вершине А остается все время вдвое больше угла при вершине С. Найти линию, описываемую вершиной С. 9 4. Определение типа и расположения линии второго порядка по ее общему уравнению. Применение инвариантов Л л е к с а в д р о в, гл. Х'г'1, Я 1 — 4; гл.
ХЛ1, 4 11. Моде нов, гл. Х1, 44 141 — !44, !50. П о с т и и к о в, гл. 6, 4 1, пп. 1 — 3, 5, 8. Во всех задзчах этого параграфа система коордвнат является прямоугольной. 808. С помощью переноса осей координат установить, какзя линия определяется каждым из следующих уравнений, в найти ее расположение опюсительно данной системы .ие Гл. вь лг!ннн втояого повядкА [ ааб координат: 1) 9 ег+ 1Оуа — 54х+ 64и+ 1 =0 2) 4х' — уа — 16х — бу+ 3=-0; 3) Зуа — 12х — бу+ 11 =-0; 4) 25ха+-9уа — 100х+54у — 44=0; 5) 4ха — ув — 1бх+6у+23=0; 6) Зх'+! 2х+ 1(!у — 12 = О; 7) 9ха — 4уа+ 36х — 16у+ 20 0; 8) ха+ х — 6= — 0; 9) хя у ав Ь 10) ха уа 2х 2у — — — — — — + — =1; а' Ь' а Ь 11) ха уа 2х 2у — + —; + — + — =О. па Ьа а Ь 806в.
Линия второго порядка определяется уравнением хв — 2у + Х (ув — 2х) = О. Определить тнп лиши при изменении параметра 7, от — са до +оэ и найти ее расположение относительно данной системы координат. 807. Определить тип линни, написать ее каноническое уравнение и найти каноническую систему координат: 1) 5х'+ 4ху+ Зу' — 32х — 56у+ 80=0; 2) 5ха+! 2ху — 22х — 12у — 19 = О; 3) ха — 4ху+4уа+4х — Зу — 7=0; 4) х' — 5ху+4уа+х+2у — 2=0; 5) 4ха — 12ху+ 9уа — 2х+ Зу — 2 = 0; 6) 9ха — 4ху+ бу'+ !бх — 8у — 2= 0; 7) 8х'+ 6ху — 26х — 12у+ 11 = 0; 8) ха — 2ху -[-у' — 10х — бу+ 25 = — 0; 9) 2ха — 5ху — 12уа — х+ 26у — ! 0 = 0; ! 0) 4хв — 4ху+у' — бх+ Зу — 4 = 0; 1 !) 2ха+ 4ху+ 5уа — бх — 8у — 1 =0; 12) х' — 12ху — 4у'+ 12х+ 8у+ 5 =0; ап1 1 к тип н ялсположяние Липин втогоГО ПОяипкл 13) 9 кз+ 24ху+ 1Оуз 230х+ 110у 475 О.
14) Зха+ху — 2,з--ох+оу — 2 -0; 15) 4хз — 12хп+ 9уз — 2()х+ ЗОу+ 10= 0; 16) 5хз+ Охи+ 53 Я вЂ” Ох — 10у — 3 =0; 17) 12ху + 5уз — 12х — 22у — 19 = 0; 18) 4хз — 4ху+уа — Зх+ 4у — 7= — 0; 19) 4ха+ 16ху+ 15 аз — Вх — 22у — 5 = 0; 4х'+ 4ху+у'+ Рбх+ Зу+ 15 808в. Линия второго порядка определяется уравнением ' хз+ 2сгху+уз= — 1.
Определить тип линии прп изменении параметра а от — сю до + со и найти ее расположение относительно двиной системы координат. 809". 14айти фокусы и соответствующие им директрисы линий второго порядка: 1) Оху — Зу'+12х — 26у — 11=0; 2) х'+ 4ху+ 4у'+ 8х+ Оу+ 2 = О. 810. )(оказать, что если )т= — 0 то !з(0. 811"'. 1!ользуясь ннвариантзми )и 1а. 1з, найти условия, необходимые н достаточные для того, чтобы линия второго порядка была равносторонней гиперболой, и написать ее каноническое уравнение. 812 .. С помощью инваризнтов 1,,1з,!з выразить условие, необходимое и достаточное для того, чтобы ветви гиперболы лежали в острых углах, образованных ее асимптотами. 818з.
С помощью инвариантов (и7з, 1, выразить условия, необходимые и достаточные для того, чтобы линия второго порядка была парой взаимно перпендикулярных прямых. 814". Доказать, что всякая линия второго порядка, проходящая через четыре точки пересечения двух равносторонних гипербол, есть равносторонняя гипербола или пара взаимно перпендикулярных прямых. 815в. Выразить через инварианты 7„ )з,!з необходимое и достаточное условие того, чтобы общее уравнение линии НВ ГЛ.
Ч1. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА [ В!б второго порядка определяло действительный эллипс. Выразить через инварианты его площадь з. 816в. Общее уравнение Р' (х, у) = 0 второй степени определяет линию второго порядка, распадающуюся па две параллельные прямые. Найти условие, необходимое и достаточное для того, чтобы точка (хб, уб) лежала между этими прямыми. 817'"'. Линия второго порядка, заданная уравнением Ь'(хыу) = О второй степени, распадается на пару пересекающихся и не взаимно перпендикулярных прямых. Найти необходимое и достаточное условие того, что данная точка тИВ= †(х„ уб) лежит в остром угле, образованном этими прямыми. 818в. Выразить через инварианты 11,7„ 1В необходимое и достаточное условие того, чтобы общее уравнение линии второго порядка определяло окружность. 819в. ДоказатВИ для того, чтобы уравнение второй степени с двумя неизвестными определяло окружность (действительную, нулевую или мнимую), необходимо и достаточно, чтобы в этом уравнении коэффициенты при квадратах координат были равны, а коэффициент при произведении координат был равен нули).
820". Докааат1ь что линия второго порядка Зхя — 2ху + +уа+ Ох — 9=0 есть эллипс, и написать уравнение эллипса с теми же осями, полуоси которого вдвое больше, чем у данного. 821'"". Доказать: для того, чтобы две гиперболы имели одни и те же асимптоты, необходимо и достаточно, чтобы в уравнениях этих гипербол все коэффициенты, кроме, быть может, свободных членов, были пропорциональны. 822в.
Докааат1л для того, чтобы две параболы имели один н тот же параметр, одну и ту же ось и одно и то же направление оси в сторону вогнутости, необходимо и достаточно, чтобы в их уравнениях все коэффициенты, кроме, быть может, свободных членов, были пропорциональны.
823в. Общие уравнения двух гипербол имеют такой вид аттха+ 2атаху + ааауа+ 2атх+ 2аху + а = О, аыха+ 2атяху+ ая,у'+ 2атх+ 2аау+ Ь = О, При каком необходимом и достаточном условии они будут лежать в разных вертикальных углах, образованных их общими асимптотами? 434 1 $5 касательные к линиям ВТОРОГО пОРядкА 108 824а. Об[нее уравнение Р(х,у)=0 второй степени определяет гиперболу. С помощью инвариантов написать уравнение линии, распадающейся на пару ее асимптот.
826*. Доказать, что все ромбы, вписанные в один и тот же эллипс, описаны около одной и той же окружности. 826в. Доказать, что линия второго порядка, проходящая чсрез все вершины треугольника и точку пересечения его высот, есть равносторонняя гипербола, если треугольник не прямоугольный.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
