1610840688-354d60f870aa4b4d07a90e025d5836ea (824169), страница 19
Текст из файла (страница 19)
696в. Относительно прямоугольной системы координат даны уравнения координатным плоскостей новой сисгемы! х+ 2У+ ба+ 1 = О '(О'у'з'), 2х — у+ 2 = О (О'з'х'), х+ 2у — з — 3=0 (О'х'у'). Проверить, что эти плоскости попарно перпендикулярны, и написать выражения новыл прямоугольных координзт произвольной точки Л через ее старые координаты при условии, что стзрое начало О имеет в новой системе положительные координаты. 696а. Относительно прямоугольной системы координат даны координатные плоскости х+у+ з — 1 =.. 0 (О'у'в'), 2х--у — а+1=-0 (О'з'х'), у — з+ 2 =0 (О'х'у') новой системы О'х'у'з'. Проверить, что эти плоскости попарно перпендикулярны, и написать выражения новых прямоугольных координат произвольной точки Л через ее старые координаты, при условии, что точка, имеющая в старой системе координаты — 1, — 1, — 1, будет в новой системе имегь положительные координаты.
ГЛАВА И ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 9 1. Окружность П о с т и и к о в, гл. 4, 4 3. Во всех задачах этого параграфа система координат предполагается прямоугольной. .697. Составить уравнение окружности с пентром в ~очке (а, О) (ачЕ. О), касающейся оси Оу. 698. Составить уравнение окружности радиуса г, касающеися осек координат. 699. Составить уравнение окружности, для которой точки Мт=(хт, ут) и тИя=(х„ уа) являются конками ее диаметра.
700. Нанти координаты пентра С и радиус г каждой из следующих окружностей: 1) х'+у'+х=О; 2) ха+уз+ Зу= 0; 3) ха+уз+ 2х — 4у= 0; 4) Зх'+Зуа — Вх+4у — 1= — О. 701. 1(ентр окружности находится в точке (а, Ь), а радиус окружности равен г. Составить параметрические уравнения этой окружности, принимая за параметр 1 угол от положительного направления оси Ох до радиуса СтИ, где А4 — произвольная точка окружности. 702.
Охарактеризовать неравенствами следующие множества точек: 1) множество всех внутренних точек окружности ( — а)'+ (у — Ь)' = 2) множество всех внешних точек этой окружности; 3) множество всех точек плоскости, лежащих внутри кольна, образованного окружностями (х — а)а+(у — Ь)а= г,', (х — а)а+(у — Ь)в= г,'. 1ба [ 703 щ.
линни втогого погядкл 703. Охарактернэовагь геометрически множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют условиям: 1) (х — 3)'+ту — 3)а(8, х)у; 2) ха+уя+х+у) О, у) 2х; 3) ха+уа — 2х < О, )у ! < —. 704э. Дана окружность (х — а)а+(у — Ь)а=та и прямая, пересекающая эту окружность, но не проходящая через ее пентр. Найти условие, необходилше и достаточное для того, чтобы точка (х, у) лежала на большей из двух дуг данной окружности, на которые ее рассекает данная прямая.
705. При каком необходимом и достаточном условии уравнение Ах'+ Ауа+ 2йх+ 2Еу+ Е = О определяет действительную окружность. Предполагая это условие выполненным, найти центр этой окружности и ее радиус. 706. Составить уравнение окружности, проходящей через три точки (хт, у,), (х,, у,), (х„ уа), не лежащие на одной прямой. 707. Составить уравнение окружности, проходящей через точки М,=(хт, у,) и М,=(х„ у,) и через начало координат при условии, что прямая М,Ма не проходит через начало координат. 708*. Найти квадрат длины отрезка Л1~А касательной, проведенной из точки Ма=(ха, уа), внешней по отношению к окружности ха+уз+ ах+Ду+ с= О, где А — точка касания.
709. Составить уравнение окружности, проходящей через точки (1, 1), (О, 2) и касающейся окружности б)а ) ( б)а 710. Составить уравнение окружности, касающейся оси Ох в начале координат и касающейся окружности (х 6)а+(у 13)а=23. 711. Составить уравнение окружности, проходящей через точки (хи уг), (хя, у,), зная, что ее пентр лежит на прямой Ах + Ву + С = О. 105 718 1 $1. ОКРУЖНОСТЬ 712э. Найти необходиное и достаточное условие того, что прямая Ах+ Ву+С=О: 1) пересекает окружность (х — а)8+(у — Ь)'= гв; 2) не пересекает эгу окружность; 3) касается этой окружности. 713. Составить уравнение касалельной к окружности (х — а)'+(у — Ь)8= —.гв в точке (х,, у,), лежащей на этой окружности.
714. Состави~ь уравнения касательных к окружности (х — а)в+(у — Ь)а=г', параллельных прямой Ах+Ву+С=О. 715в. Составить уравнение окружноств с пентром в точке (х„ув) и пересекаюнгей оргогонально окружность х'+у'= г' при условии, что точка (хгл у„) лежит вне данной окружности. 716в. Степенью точки Л4 относительно окружности с деит— л ром С и радиусом г называется число о=)СЛ ( — г'. Нанти степень точки (х,, уа) олносительно окружности, задаинои уравнением ха+у'+ 2ах+ 2Ьу+ с = О, 717з.
Найти геометрическое место точек, для каждои из которых степени относигельно двух неконпентрических окружностей ха+ух+ а,х+ Ь,у+ с,= О, х'+у'+ а,х+Ь,у+с,-О равны между собой. 718е. 1) Доказать, что геометрическое место точек, степени которых относительно двух некоппентрических окружностей равны между собой, есть прямая. Эта прямая называется раднкальной осью двух окружностей. 2) Доказать, что если окружное~и пересекаются, то их радикальная ось есть прямая, проходящая через точки пересечения этих двух окружностей; если окружности касаются, то их радикальной осью является общая касательная к эгилл двум окружностям в их общей точке.
3) Если окружности не пересекаются, то их радикальная ось не пересекается ни с одной из окружностеи. 4) Если окружности лежаг одна вне другой, то радикальная ось делит пополам отрезок каждой из четырех общих касательных к этим двум окружностям, ограниченный точками касания. !06 ГЛ У1.
ЛИННИ ВТОРОГО ПОРЯДКА [ 719 719з. Даны три окружности, пентры которых не лежат на одной прямой. Доказать, что три радикальные оси дзнных окружное~ей, взяпях попарно, пересекаю~ся в одной точке. Эта точка называется радикальным пентром трех окружгюстей. 720.
Составить уравнение окружности, пентр которой лежит на прямой х+2у+ 2=0 и которая пересекает орго- гональпо кзжду1о из двух окружностей х'+у' — 6х=О, ха+уа+6х=О. 721. Составить уравнение окружности, пересекающей ортогонально три окружное~и: ха+уз+ х + 2у = О, х'+у'+ 2х+ 2у+ 3 = О, х'+у'+ Зх+у — 1 = О. 722. Найти условие, необходимое и достаточное для того, чтобы две действительные и пересекающиеся окружности х'+у'+ 2а,х+ 261у+ с, = О, ха+уз+ 2аах+ 2Ьяу+ ся= 0 были ортогопальны.
723. Составить уравнение окружности, проходящей через точку (1, — 2) и точки пересечения прямой х — 7у+10=0 с окружностью ха+уз — 2х+ 4у — 20 = О. 724з. Окружность С задана уравнением ха+уз=г'. Дана точка Л,=(хя, уа), лемгащая вне этой окружности. Из точки Ля к окружности проведены две касательные Л9Т1 и Л9Т, (Т, и Т, — точки прикосновения). Составить уравнение пря- мой Т1Т9. 726з. Составить уравнения касательных к окружности х'+у = г', проведенных к ней из внешней точки (х„ у ). 726.
Дана окружность радиуса г и ее диаметр АВ. В точ- ке В к данной окружности проведена касательная 6 Найти радиус окружности, которая касается прямой г и проходит через А, зная, что пентр искомой окружности лежит на дан- ной окружности. 727з. Дано уравнение семейства окружностей Ср = ха+у — 2р (х — а) = О, (') где а чь-0 — фиксированное число, а р — параметр.
1) Найти все действительные значения параметра р, для каждого из которых уравнение (1) является уравнением дей- ствительной окружности; найти ее венгр и радиус. % С. ОС1РУЖНОСТЬ 72а 1 2) Доказать, что все окружности Ср имеют общую радикзльную ось, и найти ее уравнение.
3) Доказать, что через каждую точку (хм уа) плоскосси, не лежащую на радикальной оси окружностей Ср и отличную от точек 0=(0, 0) и А=(2а, 0), проходит окружность Ср и притом только одна. Найти для этой окружности значессие параметра р. 4) Доказатдч что если р~ 2а, то точка А=(2а, 0) лежит внутри окружности Ср, а начало координат 0 — вне ее. Вели же р<0, то наоборот. б) Доказать, что степень а любой точки М=(а, Ь) радикальной оси относительно любой окружности Ср не зависит ог р и равна квадрату длины отрезка ОМ=-АМ.
Какой геометрический смысл этого результата? 6) Докасать, что если или 2а<рд<уз или уз<рд< О, то окружносгь Ссч вложена внутрь окружности Ср,. 7) Доказать, что если к любой окружности, проходящей через точки 0 и А, в любой ее точке Т, не лежащей нз рздикальной оси, провести касательную ТР (Р— ~очка пересечения касадельной с осью Ох), то окружность с центром Р и рздиусом РТ есть окружность Ср. Каков геометрический смысл этого результата? 8) Доказать, что если М вЂ” любая точка окружности Ср, то о сношение ) ОМ ): ~ А И (= 1с не зависит от М. Найти выражение ?с через параметр р. 9) Доказать, что любая окружность Ср пересекает ось Ох в точках й и Р, гармонически сопряженных относительно точек О и А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
