1610840688-354d60f870aa4b4d07a90e025d5836ea (824169), страница 23
Текст из файла (страница 23)
879. Составить уравнение такой хорды эллипса хя уя 25 16 — + — =1, которая точкой (2, 1) делится пополам. 880. Лапа линия второго порядка бха+ 4ху+ Зуа — 32х — ббу+ ЗО О. Найти сопряженные диаметры этой линии, один из которых параллелен оси ординат. 881э. Ланы две линии второго порядка: Зха+ бху — уа — 13х — 10у = О, Оха+ бху+уа — 18х — 1Оу=О. Найман общий диаметр этих двух линий и направления тех хорд каждой из данных линий, когорым сопряжен этот диаметр.
882*. Найти диаметры, сопряженные одновременно относительно двух линий: х' + 2ху — уа = 1, х' — 10ху + 4уа = 1. 883*. В эллипс х' + 4уа= 26 вписан параллелограмм, одной из сторон которого является прямая х + 2у — 7= О. Найти остальные его стороны. 125 З а, цвнтж дилмятиы, лсимптоты з94 1 884в. Локазать, что прямые, соединяющие точки касания противоположных сторон параллелограмма, описанного около пснтральной деИствительной нераспадающейся линии второго порядка, являются ее диаметрами.
Когда эти диаметры бул)ч сопряженны»си? 885*. Показать, что если кривая второго порядка касается одной па сторон описанного около нее параллелограмма в середине эсой стороны, то остальных трех сторон параллелограмма она касается также в их серединах; кривая в этом случае есть эллипс. 886в. Локазать, что диагонали параллелограмма, все вершины которого принадлежат цен~ральной нераспадаюшейся линии второго порядка ( вписанныИ параллелограмм»), являются се двамеграми.
Когда эти диаметры будут гопрял есснымиР 887"'. Доказать, что лве касательные к эллипсу или к гиперболе параллельны тогда и только тогда, когдз точки касания принадлежат одному диаметру. 888. В эллипс вписан ромб так, что все четыре вершины ромба совпадают с вершинами эллипса. Локазать, что диаметры эллшюа, параллельные сторонам ромба, равны межлу собой. 889*. Лсказать. что диагонали параллелогра»в.а, описанного около центральноИ гсераспадаюсссейся линии второго порядка, являсотся ее сопряженными дизметрами.
890"'. Зная конец (х,, у,) диаметра эллипса х» д» вЂ” + — =1, а» Ь' найти концы диаметра, ему сопряженного. 891ж. Около линии второго порядкз, ззданной уравнением 2ха — 4ху+уа — 2х + бу — 3 = О, описан параллелограмм, одна из вершин которого находится в тошсе А.=(3, 4). Нанси остальные его вершины. ' 892з. Нзписать уравнение эллипса, зная его центр С.—. (2, 1) и концы двух сопряженных диаметров А=--(5, 1), В=...(О, 3).
893'. Локазать, что если Π— точка нераспаданипейсч линии второго порядка, ось Ох — проходясций через эсу точку диаметр, а ось Оу — касательная к лпшш в гсшке О, то в этоИ системе координат уравнение .линии имеет вид а ха+а туз+ 2а х=О. 894". Написать уравнение параболы, проходяшей через точку (О, 1), для которой прямая х — 2у = О служит диамегром, !26 ГЛ.Ш. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 1 885 а прямая х +у = Π— касательной в точке пересечения этого диаметра с параболой.
8968. Составить уравнение параболы, зная, что бе диаметры параллельны прямой х+У=О и что она проходит через точки (О, 0) и (О, 1). 896в. Лан треугольник АВС: А=-(4, 2), В=(8, 2), С=.(4, 6). Написать уравнение параболы, описанноп около этого треугольника так, чтобы медиана АВ, проведенная из вершины А, была ее диаметром. 897з. Три вершины параллелограмма находятся в точках ()=(О, О), А=(4, 0), В=.(2, 2); А и  — противоположные вершины. Написать уравнение эллипса, вписанного в этот параллелограмм и касающегося стороны ОА в ее середине.
898". Написать урзвнение эллипса, зная, что пентр его находится в точке С=-(2, 1) и что прямые у — 2=0 и х — у=О служат касательными в копнах двух сопряженных диаметров этого эллипса. 899"'. Ланы вершины треугольника АВС: А=(6, 0), В=(О, 4), С=(6, 4). Написать уравнение линии второго порядка, описанной около этого треугольника, зная, что ее пентр находится в точке А4=(4, 3). 900*. Найти геометрическое место середин хорд гиперболы, высекаемых на прямых, проходящих через точку, лежащую на асимптоте гиперболы.
901". Зная угловые коэффипиенты 155=.1,188=2 асимптот гиперболы и угловой коэффипиент 18= 0 ее диаметрз, наяти угловоя коэффипиент /т' диаметрз, ему сопряженного. 902з. Найти асимптоты гиперболы, для которой оси координат образуют одну пару сопряженных диаметров, а прямые х — у = О и е — 4у = 0 — другую пару сопряженных диаметров.
903з. 1-!аписать уравнение эллипса, принимая за оси координат его сопряженные диаметрьп а за единичную ~очку системы координат — одну из вершин параллелограмма, описанного около эллипса, стороны которого параллельны этим сопрюкенным диаметрам. 9048. Написать уравнение гиперболы, принимая аа оси координат ее сопряженные диаметры, а за единичную то пту— любую из вершин параллелограмма, стороны которого параллельны взятым диаметрам, причем две из них касаются гиперболы, а диагоналями служат асимптоты гиперболы. 127 9!4 1 З 6.
це>>ТР, дилмгтиы, Асимг>готы 905в. Написать уравнение параболы, принимая за начало координат точку О, лежащую па параболе, за ось Ох — проходяпи>й через точку О диамегр, за ось Оу — касательную к параболе в точке О, а за единичную ~очку В системы— любую точку параболы.
906в. Написать уравнение гиперболы, принимая за оси координат ее асиз>пготы, а за единичную точку систеьпя координат — произвольную точку, лежащую на гиперболе. 907"'. Доказатгь что в общем уравнении линии второго порядка аых'+ 2а„ху+ а„у'+ 2а,х+ 2а,у+ а = О коэффициент а,я = О тогда и только тогда, когда середины хорд линии, параллельных овнов из осей координат, лежат на прямой, параллельной другой оси координат.
908в. Доказать, что точка пересечения касательных к линии второго порядка в концах какой-либо ее хорды лежит на диаметре, сопряженном с направлением этой хорды. 909 ". Пусть Π— центр эллипса, А и  — концы его сопряженных диаметров, С вЂ” середина хорды АВ, М вЂ” точка ОС пересечения луча ОС с эллипсом. Найти отношение —.... ОМ 910в. Докззать, что произведение длин отрезков М,Р, и МяРя, отсекаемых произвольной касателшюй Р,Р,к эллипсу или гиперболе ог двух фиксированных параллельных касательных М,Р, и М,Р, к рассматриваемой линии (Мт и Мя — точки касания), одно и то же для всех касательных к кр»вой. 911 еч Доказать, что произведение длин отрезков ЛИ', и МР, касательной Р,МР, к эллипсу или гиперболе в фиксированной точке М, где Р, и Р, — точки, в которых рассматриваемая касательная пересекается с двумя произвольными параллельными касательными к линии, постоянно.
912". Найти геометрическое место точек М пересечения прямых, проходящих через две данные точки А и В плоскости, при условии, что АМ и ВМ парзллельны двум сопряженным диаметрам эллипса или гиперболы. 913в. Найти геометрическое место центров гипербол, проходящих через две фиксированные точки А и В и имеющих данные асимптотические направления. 914з. Найти множество точек, которые могут служить центрами эллипсов, описанных около данного треугольника Гл. ть линии втОРОГО ИОРядкл 1 9!5 915».
11айнв угловые коэффипиенты и длину ~1 двух рзвхз уз ных сопрягяснных диаметров эллипса — + — = 1. аа ая 916. 11айти наименьший острый угол между сопряженными дг1аме~рами эллипса с полуосями а и Ь, и)Ь. 917. Локазать, что асимпготы равносторонней гиперболы являются биссектрисами углов между любыми двумя ее сопряжешпями диаметрами.
918 . Локаззть, что стороны прямоугольника, все вершины ко~ароса принадлежит действительной пентральной нераспадзю|пейся линии второго порядка 1«вписанный прямоугольник»), параллельны ее осям. 919"'. Л,оказать, что все параллелограммы, сторонами которых являются половины сопряженных диаметроз эллипса, нмоот одну и ту же площадь. 920а.
Локззать, что сумма квадратов двух сопряженных полудизметров эллипса одна и та же для каждой пары диаметров. 921". Локазагь, что гипербола хя уя — — — =1 дя ЬЯ может быть задана следующими параметрическими уравнениями: 922а. Локазатгч что если а( 1) Ь( — пзраметрические уравнения гиперболы хт уз — — —,— = 1, дя Ьу то параметрические уравнения гиперболы х' у' — — — = — — 1 аа Ьз сопряженной с данной, можно записать в виде 129 996 1 5 6. ЦЕНТР, ДИАМЕТРЫ, АСИМПТОТЫ 9239.
Доказатть что если диаметр гиперболы Х 91 — — -=1 ад Ьв пересекает эту гиперболу в точке (хд, уд), то сопряженный ему диаметр пересекает гиперболу ха ув -- — — = — 1 аа Ьв = сопряженную с данной, в точках !ауд Ьхд ) 1' ау, Ьхд '1 9249. Пусть М, и М,— точки пересечения двух сопряженных диаметров с сопряженными гиперболами (с общим центром О). Доказать, что: 1) плошадь параллелограмма со сторонами ОМ, и ОМ, одна и та же для любой пары сопряженных диаметров; 2) разность квадратов ! ОМ1 ~9 — ! ОМ, !в одна и та же для любой пары сопряженных диаметров. 926о. Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы две центральные линии второго порядка а„х +2а„ху+а,ву +а=О, Ьддхя+ 2Ьдвху+Ьвву +Ь=О имели одни и те же оси симметрии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
