1610840688-354d60f870aa4b4d07a90e025d5836ea (824169), страница 26
Текст из файла (страница 26)
1006. Написать уравнение плоскости, параллельной плоскости Оух и пересекающей однополостный гиперболоид х. у — +-'- —, 1 4 по гиперболе, действительная полуось которой равна 1. 1007а. Локазать, что проекция эллипса, получающегося при пересечении плоскостью параболоида вращения, на плоскость, перпендикулярную к оси параболоида, есть окружность. 1008*. Найти условие, необходимое и достаточное для того, чтобы плоскость х=ах+Ьу+с пересекала параболоид вращения ха+уа= 2р» (р ~ 0) по действительному эллипсу. 1009*. По какой линии пересекаются гиперболический параболоид хя уа — — — =2х 9 4 и плоскость 2х+ Зу — 6=0? ха уя 20 1010. Ланы однополостный гиперболоид — + — — — = 1, аа ЬЯ с' ха уя ХЯ хя конус — + — — — = 0 и двуполостный гиперболоид — + ая Ья са ая уа ха + — —, — --= — 1.
В каком отношении находятся соответст- Ь' са вуюшие полуоси эллипсов, получающихся в сечении однопо- лостного гиперболоида и конуса плоскостями, касательными к двуполостному гиперболоиду в его вершинаху 1011 *. Локааать, что если п и н — полуоси эллипса, полу- чающегося при пересечении эллипсоида ха уя ха —,+ —,,+ —,,=-1, а)Ь'- г~б, люш 1 ю з, эллипсоиды, гипвгволоиды, плглволоиды 143 плоскостью, проходящей через его пентр, то а~из:Ь)п)с. 1012. Написать уравнение эллипсоида с вершинами (О, О, 6) и (О, О, — 2), зная, что плоскость Оху пересекает его по окружности радиуса 3. 1013. Написать уравнение двуполостного гиперболоида с вершинами (О, О, 6), зная, что плоскости Охх и Оул являются его плоскостями симметрии и пересекают его по гиперболам, асимптоты которых образуют с осью Ол углы, соответственно равные — и 6 3' 1014.
Написать уравнение эллиптического параболоида с вершиной (2, 3, 6) и осью, параллельной оси Ох, зная„ что плоскость Оху пересекает его по эллипсу, оси которого параллельны осям Ох и Оу, причем эллипс касается этих осей координат. 1015. Написать уравнение гиперболического параболоида, проходящего через гиперболу хл ул —,— — =1, Ьл вная, что его плоскости симметрии совпадают с двумя плоскостями координат Охг и Сух и что третья координатная плоскость пересекает его по паре прямых, 10!6. Написать уравнение эллиптического параболоида, зная, что плоскости х=а, у=Ь пересекают его по параболам с вершинами (а, О, с) и (О, Ь, с), плоскость Оху касается параболоида в его вершине, а плоскости Охх и Сух являются его плоскостями симметрии.
1017. Написать уравнения гиперболического параболоида, проходящего через точку (10, 6, 11), зная, что плоскости Охл и Оул являются его плоскостями симметрии, а плоскость Оху пересекает его по паре прямых, углы между 2и которыми, содержшцие ось Ох, равны — —. 3 ' 1018в. Составить ураянение эллипсоида, оси ко~араго сонпадают с осями координат, если известно, что он проходит через окружность ха+уз+ха=9, л=х и точку (3, 1, 1), 1019*. Написать уравнение однополостного гиперболоида С равными полуосями, проходящего через прямые у=.+ х.
144 Гл. чп, пОВеРхнОсти ВТОРОГО ПОРядка 1 1020 г=О и через точку (1, 2, 3), для которого ось О» является осью симметрии. 1020*. Написать уравнение гиперболического параболоида; проходящего через прямые у= + х, »= О и через точку (1, 2, 3), для которого ось О» является осью симметрии. 1021*. Доказать, что прямые, по которым плоскость Оху пересекает гиперболический параболоид х' — у'= 2рг, являются его осями симметрии. 1022. Написать уравнение поверхности второго порядка, проходящей через три окружности хя «уя ха+уз= 9, ха+у'= 25, «=О; »=1; »=2, 1020*. Написать уравнение поверхности второго порядка, пересекающей плоскость Оху по параболе, а плоскости Охг и Оу» по окружностям радиуса г, касающимся положительных полуосей координат. Нользуясь преобразованием прямоугольных координат, привести полученное уравнение к наноническому виду.
1027. Дан эллипсоид и привести полученное уравнение к каноническому виду. 1023в. Составить уравнение поверхности второго порядка, зная, что она пересекает плоскость Оху по окружности ха+уз — 12х — 18у+ 32 —. О, г =- О, а плоскости Ох» и Оу» — по параболам, оси которых параллельны положительному направлению оси О», причем параметр параболы, лежащей в плоскости Охг, равен 1. 1024*.
Найти геометрическое место точек, отношение расстояний которых до двух скрещивающихся прямых есть одно и то же число /2. 1025в. Даны две скрещивающиеся прямые АВ и А'В'. Определить вид поверхности, состоящей из прямых СС', соединяющих точки С и С' прямых АВ и А'С', для которых АС А'С' АВ А'В1 1032 ! $3 эллипсОиды, ГипеРБОлОиды, пАРАБОлоиды 145 и плоскость — + — + — = О. х у г а Ь с Написать уравнение эллипсоида, проходящего через линию пересечения данного эллипсоида и плоскости, оси которого были бы параллельны осям данного эллипсоида и имели бы длину„ вдвое большую, чем оси данного эллипсоида. 1028. Локазать, что если плоскость Ах+Ву+С»+В=О пересекает эллипсоид хя уя гг — + — + — =1, аг Ьг сг то уравнение — „, + Ь, + —,— ! — Х(Ах+Ву+С»+В)=о хг уг гя при всех значениях Х определяет эллипсоид, оси которого параллельны осям данного эллипсоида и проходят через линию пересечения данного эллипсоида и плоскости.
1029. Найти геометрическое место фокусов гипербол, получающихся при пересечении гиперболического параболоида хг уг — — — =2» р а плоскостями, параллельными плоскости Оху. 1030*. Доказать, что параболоид вращения и круглый цилиндр, оси которых параллельны, пересекаются по эллипсу, большая ось которого лежит в плоскости, проходящей через оси данных поверхностей, а малая ось перпендикулярна к этой плоскости. !031'".
По какой линии пересекаются однополостный гиперболоид хг уг гг г+ Ьг Са 1, а)Ь, и сфера ха+уа+»а=ааг 1032в. Найти линию пересечения поверхностей х'+у' — »' = а', ха — у'= 2а», 146 ГЛ.ШГ. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА [ ~озз 1033в. Г(оказать, что эллиптический параболоид — - + ха 25 уЗ + -1--= 2» и сфера х +у +»Я=50» пересекаются по двум окружностям. Найти центры и радиусы этих окружностей. 1034в.
)(оказать, что линия пересечения параболического цилиндра »'=х +у с эллиптическим параболоидом вращения ха+уз=» лежит на сфере. 1033е. По какой линии пересекаются эллиптический параболоид хя уз — + — =2», р) а) О, Р ч и сфера ха+уз+ з 2р ? 1036. Г1о какой линии пересекаются два эллипсоида х' уз хя хя ух хх — + — + — =1, — + — + — =1, а' Ьз с' ' Ьх а' сх где а)Ь? 1037в. Написать уравнение эллипсоида с полуосями 4, 2, 1, для которого плоскости х+у+» — 1=0, х — у— — 2»=О, х — у+! =0 служат плоскостями симметрии, причем большая ось эллипсоида лежит на линии пересечения первой и второй плоскостей, средняя ось лежит на линии пересечения первой и третьей плоскостей, малая ось лежит на линии пересечения второй и третьей' плоскостей. 1038*. Состзвить уравнение поверхности второго порядка, проходящей через точки (О, О, О), (1, 1, вы!), (О, О, 1), для которой плоскости х+у+»=О, 2х — у — »=О, у»+1 — (1 являются плоскостями симметрии.
Нзписать каноническое уравнение этой поверхности. 1039*. Составить уравнение поверхности второго порядсз, для которой плоскости х+у+»=О, 2х — у — » — 2=0, у»+1 — 0 являются плоскостями симметрии и которая проходит через точки (1, О, О), (О, — 1, О), (1, 1, — 1). 1040*. Написать уравнения поверхности, состоящей из прямых, по которым пересекаются взаимно перпендикулярные Плоскости, проходящие через две данные прямые. !0ча ! 1 е тип и РАсположение поВерхности.
инВАРиАнты 14? 0 4. Определение типа и расположения поверхности второго порядка по ее общему уравнению. Применение инвариантов А л е к с а н д р а в, гл. Х 1Х, 4 5; гл. Х Х, 44 6, ?, Моде нов, гл. Х11, $ 166; Дополвеяие !1, я. 6. Во всех задачах этого параграфа, где нет указания на характер системы координат, координатная сиетема предполагается прямоугольной. 1041.
Определить вид поверхности и ее расположение относительно начальной системы координат, пользуясь преобразованием левой части ее уравнения: 1) ха+ 2ху +уз — га+ 2г — 1 = О; 2) Зха+Зуа+Зг' — бх+4у — 1=0; 3) Зх'+Зуа — 6х+4у — 1.=0; 4) Зх'+ Зу' — Зг' — бх+ 4у + 4г + 3 = О; 5) 4ха+уа — 4ху — 36=0. 1042. Определить вид и расположение поверхности, пользуясь переносом системы координзт: 1) ха+ 4уа+ 9га — бх+ 8у — Збг = О; 2) 4х' — у' — г'+32х — 12г+44=0; 3) Зха — уа+ Зга — 18х+ 10у+ 12г+ 14 = О; 4) бу'+ 6га+ 5х+ бу+ ЗОг — 11= О.
1043*. Определить вид поверхности и ее расположение относительно системы координат, пользуясь поворотом системы координат вокруг одной из ее осей." 1) г'=2ху; 2) г=ху; 3) гЯ=Зх+4у; 4) гЯ=Зха+4ху; 5) га=ха+2ху+уа+1, 1044е. Определить вид поверхности второго порядка и ее расположение относительно исходной системы координат, пользуясь переносом и поворотом системы координат вокруг одной из ее осей: 1) х'+4у'+5г'+4ху+4г=О; 2) ха+2х+Зу+4г+5=0; 3) г=х'+2ху+у'+1. 1045. Доказать, что каждая из следующих поверхностей является поверхностью вращения, определить ее вид, 148 гл.
тп, повепхностн втопого поиядка 1 пие написать каноническое уравнение и найти расположение поверхности относительно исходной системы координат: 1) ха — 2уа+ га+ 4ху — 4у» — 8»х — 14х— — 4у+ 14»+ 18 = 0; 2) 5ха+ 8уа+ 5га — 4ху+ 4уг+ 8»х — бх+ бу+ +6»+10=0; 3) 2уг+ 2»х+ 2ху+ 2х+ 2у+ 2г+ 1 = 0; 4) Зх'+ Зуа+ 3»а+ 2ху — 2х» — 2у» — 2х — 2у— — 2г — 1=0; 5) 2ха+ буа+ 2»а+ 8хг — 4х — 8у+ 3= 0; 6) 5ха+ 2уа+ 5»а — 4ху — 4уг — 2»х+ 1Ох — 4у+ +2»+4=0; 7) х'+у'+»а — ху — уг — »х — 1 = 0; 8) 4ху+4у»+4»х+4х+4у+4»+3=0. 1046.
Определить вид каждой из следующих поверхностей, написать ее каноническое уравнение и найти каноническую систему координат: 1) 4ха+уа+ 4га — 4ху+ 4у» — 8гх— — 28х+ 2у + 16г+ 45 = 0; 2) 2ха+ 5у'+ 2»а — 2ху — 4х»+ 2уг+ + 2х — 10у — 2» — 1 = 0„ 3) 7ха+ 7у'+ 16»а — 1Оху — 8у»вЂ” — 8»х — 16х — 16у — 8»+ 72 = 0; 4) 4ха+ 4у' — 8»а — 10ху+ 4уг+ + 4»х — 16х — 16у+ 10» — 2 = 0; 5) 2ха — 7уа — 4»а+ 4ху+ 20у»вЂ” — 16»х+ 60х — 12у+ 12» — 90 = 0", 6) 7х'+ 6уа+ 5»' — 4ху — 4у»вЂ” — бх — 24у + 18»+ 30 = 0; 7) 2ха+2уг 5»а+2ху — 2х — 4у — 4»+2=0. 8) 2х'+ 2уа+ 3»а+4ху+ 2уг+ + 2»х — 4х + бу — 2»+ 3 == 0; 9) х'+5уа+га+2ху+2у»+6»х — 2х+бу+2»=0; 10) ха — 2уа+ га+ 4ху+ 4у» — 10»х+ +.2х+ 4у — 10» — 1 =0; 11) 2х'+уа+2»а — 2ху+2уг+4х+4»=0. 1048 ! 4 з. тип и глсположенив повегхности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
