1610840688-354d60f870aa4b4d07a90e025d5836ea (824169), страница 30
Текст из файла (страница 30)
1 162. Лано аффинное преобразование х' = 10х + 11у, у' = !Ох+ 9у. Найти вектор, который при этом преобразовании переходит в вектор, ему ортогональный. Система координат прямоугольная. 1163в. Найти неподвижную точку аффинного преобразования, переводящего точки А, В, С соответственно в точки В, С, А. 1164. Найти преобразование подобия, являющееся произведением поворота на угол — вокруг точки (1, 1) и гомоте- 2 тии с центром в этой точке и коэффициентом 3. Система координат прямоугольная. 1165».
Найти преобразование подобия с неподвижной точкой (2, 1), переводящее точку (2, — 9) в точку 1 в 2, — 2). Система координат прямоугольная. 1166в, Найти аффинное преобразование, являющееся произведением симметрии относительно прямой х+ Зу — 5 =0 и гомотетии с центром в точке 12, 1) на этой прямой и коэффициентом 3. Система координат прямоугольная. 1 167. Найги формулы аффинного преобразования, являющегося произведением поворота вокруг точки (2, 1) на угол 4 — агссоз-- и растяжения с центром (1, 2) и коэффициен- 5 том 5. Найти неподвижную точку этого преобразования. Система координат прямоугольная.
1168в. Найти аффинное преобразование, являющееся сжатием к прямой 2х+у — 2=0 с коэффициентом сжатия, равным 3. Система координат прямоугольная. 171 $ Ь АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ." 07Б1 1169*. Найти аффинное преобрааование, являющееся произведением сжатия к прямой х+у — 2=0 1 с коэффициентом — и сжатия к прямой х — у —.0 с коэф- 2 фициентом 2.
Система координат прямоугольная. 1170Ф. Найти аффинное преобразование, являющееся произведением сжатия к прямой х+у — 1=0 ! с коэффициентом — и симметрии относительно этой прямой. 2 Система координат прямоугольная. 117!в. Выяснить геометрический смысл аффипного преобразования, переводящего вершины треугольника АВС в середины противолежагцих им сторон. 1172*. Доказать, что преобразование х' = Зх+ 4у+ 6„ у' =4х — Зу — 12 является преобразованием подобия, меняюгцим ориентацию. Представить это преобразование в виде произведения симметрии относительно прямой и гомотетии, центр которой лежит на этой примой. 117ЗФ.
Доказать, что преобразование х' = Зх — 4у+ 10, у' = 4х+ Зу — 1О является преобразованием подобия, сохраняющим орвентацию. Представить это преобразование в виде произведения гомотстии и поворота вокруг центра гомотетип. 1174*. Выяснить геометрический смысл аффинного преобразования: 1) х' = ах — Ьу, у' =Ьх+ ау; 2) х'=-ах+Ьу, у'=Ьх — ау.
Система координат прямоугольная. 1176. Найти инвариантные точки и инвариантные прямые аффинного преобразования х'=7х — у+1, у'=4х+2у+4. Система координат аффинная. 172 1'л. РИ1. пРВОВРАЗОВАния плОскОсти и пРОстРАнстВА 1 1!76 1176. Найти инвариантные точки и инвариантные прямые аффинного преобразования 13 4 8 5 + "У 5' 4 7 4 5 +5- 5' Система координат аффинная. 1177в. Как запишется аффинное преобразование х'=х+ +2у, у'=4х+Зу, если ва новые оси аффинной системы координат принять инвариантные прямыеу Система координат аффинная. 1178в. Доказать, что если аффинное преобразование обладает единственной инвариантной точкой, то всякая инвариантная прямая проходит через эту точку. 1179. Найтн такое аффинное преобразование, для которого все точки оси Ох являются инварпаптнымв, а точка А=(2, 6) переходит в точку А' =-( — 1, — 4). Система координат аффипная. 1180*.
Определить такое аффинное преобразование, при котором каждая точка прямой х+2у — 1=0 является инвариантной и точка (1, 2) переходит В точку (2, 2), Система координат аффинная. 1181в. Определить аффинное преобразование, при котором прямые х+у+1=0, х — у+2=0 переходят в себя, а точка (1, 1) — В точку (2, 1), Система координат аффинная. 1182в. Найти такое аффинное преобразование, при кагором прямые бх — бу — 7=-0 и Зх — 4у=0 переходят соответственно в прямые 2х+у — 4=0 и х — у+ 1 =-О, а точка (6, 4) — в точку (2, 1).
Система координат аффинная. 1188. Дано аффинное преобразование 5, 5 4 ' -1 13.1 ' Найти такие прямые, которые этим преобразованием изометрически отображаются на свои образы. Система координат прямоугольная. 1184. Относительно прямоугольнои системы координат дано аффинное преобразование х'=7,х, у'=7,у, Д,~1~ 1,- 0. Найти такие прямые, которые этим преобразованием изометрпческп отображаются на своп образы.
209! 1 1 Ь ЛФФНННЫЕ ПРЕОБРЛЗОВЛНИЯ 1185. Дано аффинное преобразование х'= ггх, у'= — у. й Найти такие прямые, которые этим преобразованием изометрически отображаются на свои образы. Система координат прямоугольная. 11882. Доказать, 'по если 722 и ля — коэффициенты сжатия аффинного преобразования, а — произвольный вектор и а' †е образ при данном преобразовании, то ~1 '22' )а'! (а~ Ах+ Ву+ В=-О, А'х+ В'у+ Р' = — 0 1189Ф. Через точку Р=(М, 6) провссги прямую, отсекающую от прямых 5х — 2У вЂ” 5=-0, 2х+5у — 2=0 треугольник, плошадь которого равна 29.
Система координат прямоугольная. 1190. Через точку Р=( — 3, — б) прбвести прямую, отрезок которой между прямыми 2х+Зу — 16=.0, 4х — бу— — 12=0 в точке Р делится пополам. Система координат аффинная. 1191*. Дано аффинное преобразование Х = лттХ+ лтау + йт, У = лятХ+ ляяу + пя. Найти его каноническую запись в зависимости от корней лт и )2 характеристического уравнения 1,' ~ = Л вЂ” (аы+ а22) ) + атта22 — атаа22=0 ап — Л а,я а22 а22 — 1 ~ и ранга г матрицы (ан — а.
а; ) в случае кратного корня ),. рассмотреть следуюшне случаи: 11872. Относительно прямоугольной системы координат дано аффннное преобразование х'= 7х+у, у'= — 5х+ 5у. Найти два таких взаимно перпендикулярных вектора, кото- рые при этом преобразовании переходят во взаимно перпен- дикулярные векторы. 1188*. Определить площадь параллелограмма, стороны которого относительно прямоугольной системы координат 'определяются уравнениями Ах + Ву + С = О, А'х+В'у+С'=О, 174 ГЛ, УП!.
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ И ПРОСТРАНСТВА 1 Иат 1) корни Л, и Л, действительные различные, не равные 1; 2) корни Л, и Л, комплексные сопряженные: Лт,=а-+. 91, )) ~ О; 3) Л вЂ” крзтпый корень, не равный 1, и г=О; 4) Л вЂ” кратный корень, не равный 1, и г = 1; 5) Л„-~Л,=1; 6) Л=1 — кратный корень и г=О; 7) Л=1 — кратный корень и г=1. 2. Аффинные преобразовании пространства 1192.
Найман аффинное преобразование, при котором тайги Π— (О, О, 0), Е! — — (1, О, 0) и Е;=(О, 1, 0) остаются неподвимгными, а точка Еа=(0, О, 1) переходит в точку Е = = (1, 1, 1). Система координат аффинная. 1193. Вершины тетраэдра АВСЙ находятся в точках А =- (О, О, 0), В=- (1, О, 0), С= (О, 1, 0), Ю=(0, 0 1). Найти аффпнное преобразование, оставляюи!ее вершим!у А на месте и переводящее середины ребер АВ, АС, АВ и середины противоположных им ребер. Система координат аффинная.
1194. Вершины тетраэдра АВСЙ находятся в точках А = (О, О, 0), В= (1, О, 0), С= (О, 1, 0), В=(0, О, 1). Найти аффинное преобразование, переводящее вершины А, В, С, В соответственно в вершины В, С, В, А. Найти инвариантные точки, инвариангные прямые и инвариантные плоскости этого преобразования. Система координат аффинная. 1195а. Выяснить геометрический смысл аффинного преобразовзния, переводящего вершины тетраэдра в центры тяжести противолежащих им граней. 1196а. Выяснить геометрический смысл аффинного преобразования х'=Зх — 4у, у' = 4х+ Зу, а'=ба.
Система координат прямоугольная. 1197*. Доказать, что если аффинное преобразование обладает единственной неподвижной точкой, то все прямые и плоскости, инвариантные относительно этого преобразования, проходят через эту неподвижную точку. 176 $ Ь АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 1505 1 1198". Доказать, что через всякую неподвижную точку аффинного преобразования проходит ипвариангная плоскость, параллельная каждой инвариантной плоскости этого аффинного преобразования.
1199Ф. Найм» инвариантные точки, прямые и плоскости аффинного преобразования х'= 2х+у+ 1, У'=2У+г+2, г' = 2г+ 3. Система координат аффинная. 1200Ф. Найти инварианпп1е точки, прямые и плоскесп1 аффинного преобразования х' = Зх — 4у+ 6, у' = 4 х+ Зу — 8, а' = — 2а+ 9. Система координат аффинная. 1201'"'. Дано аффинное преобразование х'=х+у, У =У+а а'=а+1. Устагювить, обладает ли это преобразование инварианпюй точкой, инвариантной прямой или ипвариантной плоскостью.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
