1610840688-354d60f870aa4b4d07a90e025d5836ea (824169), страница 34
Текст из файла (страница 34)
1306в. Доказать, что ангармоническое отношение(АВСВ) четырех точек, лежащих на проективной прямой, не меняется при проективном преобразовании. 1307в. Найти проективное преобрааование проективной прямой, при котором точки (1; О), (О:1), (1: 1) переходят соответственно в точки (ад 1 а,), (Ьд: Ь,), (ел 1 е,). 1308. Найти проективное преобразование проективной прямой, которое точку (1: О) переводит в точку (О: 1), точку (О; 1) — в точку (1; О), если точка (1; 1) инвариантна при этом преобразовании.
1309*. Найти инвариантные точки следующих проективных преобразований проективной прялюй: 1) Лх,'=хд+2хд, Лхд = 4хд+ Зха; 2) Лх,'=2хд+х,, 3) Лх;=хд — х,, Лх'=2х; Лхд=хд+х. 1310в. При каком необходимом и достаточном условии проективное преобразование проективной прямой Лхд = аддх1 + адахя; Лх, = ад,хд+ адяхя, 1)'не имеет инвариантных точек (эллиптическое преобразование); 2) имеет две инвариантные точки (гиперболическое преобразование); 3) имеет только одну инвариантную точку (параболическое преобразование); 4) является тождественным преобразованием? 7* ГЛ.
1Х. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 1а11 1313. Найти инвариантные точки следующих проективных преобразований: 1) Лх,'=2х,— Зхд, Лхя = Зхд+ Зхд; 3) Лх,'=х,+х„ Лх;=х,— х,; 2) Лх,'=бх +4х, Лхд = 4хд + 5Хя; 4) Лх;=х +2хя, Лх; = — 7хд+ 5ха. 1314'". 1) Кзкой вид примут формулы Лх; = аддх д+ а „хя, Лх; = аздхд+ адахь определяющие гиперболическое преобразование проективной прямой, если его инвариантные точки принять за базисные точки Ад=(1: О), Аа=(0: 1) проективной системы координат? 2) При каком необходимом и достаточном условии рассл1атриваемое гиперболическое преобразование сохраняет ориентацию проективной прямой? 3) Какой геометрический смысл имеет гиперболическое преобразование, если проективная прямая интерпретируется как собственный пучок прямых на аффинной плоскостиу 1315в.
1) Какой вид примут формулы Лхд = — пддхд+ птаха, Лхя = аддхд+ аддхд, 1311в. 1) 71оказать, что эллиптическое и параболическое проективные преобрааования проективной прямой не меняют ее ориентации. 2) При каком необходимом и достаточном условии гиперболическое проектизное преобрааование проективной прямой меняет ее ориентацию7 1312з.
Установить тип проективного преобразования проективной прямой в каждом из следующих случаев: 1) Лх,'~2хд — Зхд, 2) Лх,'= — 7х„ Лхя — — Зхд+ 8х; Лх'= — 7х; 3) Лх;=бх,+4х, 4) Л;=х,+х„ Лх,' = 4хд+ 5хд; Лхя = хд — хя; 5) Лх,'=х,+2хм Лх;= — 7х, + бхь 197 5 1. ПРОЕКТИВНАЯ ПРЯМАЯ 1311 1 определяющие параболическое проективное преобразование проективной прямой, если его инвариантную точку принять за бззисную точку Ад ††(1;0) проективной системы коор- динат? 2) Как интерпретируется это преобразование в собствен.
ном пучке прямых аффинной плоскости? 1316в. Какой внд примут формулы ?.х1' = аыхд+ атаха, Ххя' = аыхт+ а,ах„ определяющие параболическое проективное преобразование проективной прямой, если его инвариантную точку принять за базисную точку Ах= в (1: 0) проективной системы координат, а за единичную точку Е принять образ базисной точки Ая=(0: 1) при этом преобразовании? 1317в. При каком необходимом и достаточном условии проективное преобразование проективной прямой, переводящее точки (1: 0), (О: 1), (1: 1) соответственно в точки (а,: а,), (Ь,;Ь,), (с,:ся), сохраняет ориентапию этой прямой. 1318*.
На проективной прямой заданы три попарно раз- личные точки А, В, С. Локазать, что проективное преобра- зование, переводящее точки А, В, С соответственно в точки В, С, А, является эллиптическим. 1319*. Локазать, что гиперболическое преобразование проективной прямой с инвариантными точками Ат и Ая со- храняет ориентапию проективной прямой тогда и только тогда, когда ангармоническое отношение (АЕАяЕЕ') ) О, где Š†произвольн точка проективной прямой, отличная от точек Ат и Аа, а Е' — ее образ при этом гиперболическом преобразовании.
1320в. Пусть А, — инварнантная точка проективного пре- образования проективной прямой, Аз — произвольная точка этой прямой, Аа — образ точки Ая, а А; — образ точки Ая при рзссматриваемом проективном преобразовании. 11оказать, что преобразование будет параболическим тогда и только тогда, когда точки Ат и А; гармонически разделяют пару точек А„А,". 1321в. Проективное преобразование и называется пикли- ческим, если существует натуральное число л, для которого п" есть тождественное преобразование.
Наименьшее натуральное число и, удовлетворяющее этому условию, называется периодом преобразования. Пусть А, В, С, й — гармони- 198 11зяа гл. 1х. пговктнвнля Геометиня ческая четверка точек. Локззать, что проективное преобразование, при котором точки А, В, С переходят соответственно в точки В, С, Р, является пиклическим, и найти период этого преобразования. 1322Я.
Сколько существует параболических проективных преобрззований проектпвной прямой, при которых точки А и В переходят в точки А' и В'г 1323Я. Локазать, что существует и притом только одно парзболическое проективпое преобразование проективной прямой с ваданной инвариа~дтпой то дкой А, при котором данках точка А4 переходит в данную точку Л'. 3. Инволюции на проективной прямой 1324". Кзкой вид имеют формулы проективного преобрззования А: )дх1 —— аых, + а„х„ )'д д == аюхд + аадхд проективной' прямой, если это преобразование является инволюпионным, т. е. если А'=- Е, где Š— тождественное преобразование. 1325з.
При каком необходимом и достаточном условии инволюпионное преобразование проективной прямой лх; == аддх, + адах„е.х; = а,дхд+ а„хя 1) имеет две инвариантные точки (гиперболическая инволюпия); 2) не имеет инвариантных точек (эллиптическая инволюпия); 3) имеет одну инвариантную точкуг 1326*. Локазать, что эллиптическая инволюпия сохраняет ориентапию проективной прямой, а гиперболическая инволюпия меняет ориентапию проективной прямой на противоположную. 1327*.
Локазать, что всякое периодическое гиперболическое преобразование проективной прямой является инволюцией (иначе: имеет период 2). 1328з. 1) Как запишется гиперболическая инволюпия проектнвной прямой, если инвариантные точки этой инволюпии принять за базисные точки проекгивной системы координату 2) Каков будет образ единичной точки Е= †(1: 1) при этой инволюпии? 1333 1 $1. ПРОЕКТИВНАЯ ПРЯМАЯ 1329в. Как запишется в аффинных координатах гиперболическая инволюция множества собственных точек проективноаффинной прямой, для когорой инвзриантными точками являются начало координат и несобственная точка? 1330".
Каков геомегрический смысл гиперболической инволюции в случае, если проективная прямая интерпретируегся как пучок прямых аффинной плоскости? 1331". 1) Как запишется в аффинных координатах инволюционное преобразование множества всех собственных точек проективно-аффинной прямой, переводящее начало координат О аффинной системы координат в несобственную точку со этой аффинной прямой? 2) Прп каком необходимом и достзточном условии эта инволюция будет эллиппшеской? 3) При каком необходимом и дос1аточном условии эта инволюция будет гиперболической? Найти в этом случае ее инвариантные точки.
1332в. Доказать, что: 1) каковы бы ни были пары то чек Ат, А, и А;, А„' проективной прямой, существует пнволюция, переводящая точки Ат, А, соответственно в точки А;, А;; 2) если, кроме того, А, —, ' А, 'или Ат 4-. А'„, то такая инволюция единственная; 3) если пары точек А,, Ая и А;, А.; разделяют друг друга, то инволюция гиперболическая; если пары точек А,, А, и А;, А; не разделяют друг друга, то инволюция эллиптическая.
4) Найти формулы инволюционного преобразования, переводящего точки А,=(1:0) и А,=(0:1) в точки А; = =(ат:ая) и А;=-(Ьт:Ь,) в случае, если ах =,Е 0 (А; ~А,) или Ь, У О (А; ~ Ат). 1333*. Найти все инволюциош1ые преобразования проективной прямой, которые точку (1: 0) переводят в точку (О: 1).
Какие из этих инволюций будут эллиптическими и какие гиперболическими? 1334в. На проективной прямой 1 задана гиперболическая инволюция двумя нарами соответствующих точек А, А' и В, В'. Доказать, что (АА'ВВ')) О. 1335з. На проективной прямой Е задана эллиптическая инволюция двумя парами соответствующих точек А, А' и В, В'.
Доказать, что (АА'ВВ') (О. 1336в. Доказать, что проективпое преобразование проективной прямой, при котором точки А В, С переходят ГЛ.1Х. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 !337 в точки А', В', С', будет инволюционным тогда и только тогда, когда 1АВСС'1 = 1В'А'СС1. 1337в. Доказать, что если А и  — инвариантные точки гиперболической инволюции, то соответствующие друг другу точки М и М' гармонически разделяют пару точек А, В. Обратно: если на проективной прямой зафиксировать две произвольные точки А, В и считать соответствующими друг другу точки М и М', гармонически разделяющие пару А, В, то такое соответствие является гиперболической инволюцией с инвариантными точками А и В. 1338*. Пусть прямая 1, не проходящая через вершину полного четырехугольника РОР5, пересекает его противоположные стороны РО и тго" в точках А и А', противоположные стороны Р1с и ОВ в точках В и В' и противоположные стороны РВ и ЯО в точках С и С'.
Доказать, что проективное преобразование прямой 1, при котором точки А, В, С переходят в точки А', В', С', являются инволюцией. 1339в. Пусть прямая 1 является собственной прямой проекгивно-евклидовой плоскости; А и  — собственные точки, лежащие на прямой В Доказать, что гиперболический пучок окружностей с предельными точками А и В устанавливает на прямой 1 гиперболическую инволюцию, соответствующими точками которой являются точки М и М' пересечения окружности рассматриваемого пучка с прямой С Доказать, что А и  — инвариангные точки при этой инволюции. 1340в.
Пусть прямая 1 является собственной прямой проективно-евклидовой плоскости; А и В в собственные точки„ симметричные относительно прямой 1 Доказать, что эллиптический пучок окружностей с бззисными точками А и В устанавливает нь прямой 1 эллиптическую инволюцию, соответствующими точками которой являются точки пересечения окружности, проходящей через точки А и В, с прямой 1. 1341*. Пусть прямая 1 является собственной прямой проективно-евклидовой плоскости. Доказать, что если А, А' и В, В' — соответствующие друг другу точки при эллиптической инволюции на прямой 1, то окружности с диаметрами АА' и ВВ' пересекаются в точках Р и Р', прямая РР' пересекает прямую 1 в точке О, лежащей между соответствующими друг другу точками М и М', и ~ ОМ~. ~ ОМ' ~ = = сопай 201 $2.
ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ !Зяе ] 1342е. Собственная прямая 1 лежит на проективно-евклидовой плоскости. Пусть à — гиперболическая инволюция на прямой й Доказатгь что если А, А' и В, В' — пары соответствующих друг другу точек при инволюции Г, а Π— точкз пересечения с прямой ( рздикальной оси А окружностей с диаметрами АА' и ВВ', то точки М и М', соответствующие друг другу при инволюшяяя, лежат по одну сторону от прямой Х и ~ОМ! !ОМ')=сопя!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
