1610840688-354d60f870aa4b4d07a90e025d5836ea (824169), страница 36
Текст из файла (страница 36)
206 ГЛ. 1Х. ПРОЕКТИВИАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 1370 1370*. На проективно-евклидовой плоскости треугольник АВС с вершинами в собственных точках принят за базисный треугольник проектнвной системы координат. За единичную точку принимзется центр Е окружности, вписанной в треугольник АВС. Найти трилинейные координаты: 1) точки пересечения медиан треугольника АВС; 2) центра окружноспи, описанной вокруг треугольника АВС; 3) точки пересечения высот треугольника АВС. 1371 а. Написать уравнение несобственной прямой проектиано-евклидовой плоскости, принимая за вершины базисного треугольника АВС собственные точки, а аа единичную точку: 1) точку пересечения медиан треугольника АВС; 2) центр окружности, вписанной в треугольник АВС; 3) центр окружности, описанной вокруг треугольника АВС; 4) 1очку пересечения высот треугольника АВС.
1372"'. На проективной плоскости заданы два треугольника А,А,А, и В,В,В,, рзсположенные так, что прямые А,Ва, АТВ,, А,В, проходят через одну точку и прямые А,Ва, А,В„ А,В, также проходят через одну точку. Доказать, что тогда прямые АГВа АаВа АяВ1 проходят через одну точку. 1373"'. На проективной плоскости даны два треугольника А1АаАа и ВГВ7Вз. Доказать, что: 1) если прямые А,В,, А,В,, А,Ва проходят через одну точкУ, то точки пеРесечениЯ паР пРЯмых А,А, и В1Ва, АаАа и В,Ва, А,А, и В,В, лежат на одной прямой; 2) если точки пересечения пар прямых А,А, и В,Вм АяАа и ВаВа, АаА1 и ВаВ1 лежат на одной пРЯмой, то пРЯ- мые А,В,, АяВ,, АаВа проходят через одну точку (теорема Дезарга).
1374*. Два треугольника А,А,Аа и ВдВ,Ва, лежащие на проективной плоскости, называются гомологичными, если прямые А,В„А,Вя, АаВ, проходят через одну точку, называемую центром гомологии. В этом случае точки пересечения пар прямых А,А, и В1В„А,Аа и В,Ва, АаА, и ВаВ1 лежат на одной прямой (см. предыдущую задачу), называемой осью гомологии. Доказать, что если три треугольника попарно гомологичны и имеют один и тот же центр гомологии, то оси гомологии трех пар этих треугольников проходят через одну точку. 4 з.
пиоективнля плоскОсть 1379 ! 1375з. 1) На проективной плоскости даны две различные прямые а и Ь. На прямой а взяты точки 1, 3, 5; на прямой Ь взяты точки 2, 4, 6. Доказатдь что точки пересечения прямых 12 и 45, 23 и 56, 34 и 61 лежат на одной прямой. 2) На проективной плоскости даны дле точки А и В. Через точку А проведены три прямые 1, 3, 5; через точку В проведены три прямые 2, 4, 6. Доказа7ь, что прямые, проходящие через точки 12 и 45, 23 и 56, 34 и 61, проходят через одну точку (теорема Паппа). 2.
Ангпрлгон7дчепсое отношение. Гармон77зм 1376з. Найти ангармоническое отд7опдение: 1) (АВС0) четырех точек проектизной плоскости, лежа- щих на одной прямой: А=(хд.'хз:х ), В=(Уд:Уз:Уз)~ С=(( хд+~Уд):(з+[)Уз):( з+[)Уз)), 0 =(()ьхд+ ру,): (Ххз+ ру,): (Ххз+ )дуз)); 2) (пЬсг)) четырех прямых проектнвной плоскости, про- ходящих через одну точку: о = [7гд: пз: из] [д д ~з оз] е = [(ан, + [)од): (аиз+ [)оз): (апз+ рпз)], "=[( дд+)д д):()и +1 з):() з+1 з)]. 1377. На проективной плоскости заданы три точки, лежа- щие на одной прямой, А =- (ад: а,: оз), В = (Ьд: Ьз: Ьз), С =-- ((аз, + !7Ь,): (аз 9 + рЬ,): (ааз + рЬз)). Найти координаты точки О, лежащей на прямой АВ, зная, что ангармоническое отношение (АВС0) равно Х.
1378. На проективной плоскости задзны четыре точки А = (1: 1: 2), В = (3: — 1; 2), С.= (1 1: — 1; 10), О.= (3: 4; 10), Доказать, что эти точки лежат на одной прямой, и найти ангармоническое отношение (АВС0). 1379. На проективной плоскости зздзны четыре прямые а = [О: 1: — 1], Ь= [1: 2: †!], с =[1: 1: О], Ф = [4: 9: — 5] ГЛ. 1Х. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ [ 1300 Доказатть что они пРоходЯт чеРез однУ точкУ, и найти ангаР- моническое отношение (аЬсг[). 1380. На проективной плоскости заданы три точки А = = (1; 2: 3), В=( — 3: 2: 4), С=( — 2: 4: 7). Доказать, что эти точки лежат на одной прямой, и найти точку с), гармонически сопряженную с точкой С относительно пары точек А, В. 1381в.
Относительно проективной системы координат АдА,А,В задана точка М=(х",:х,"."х.,"), не лежащая ни на одной из прямых А,А1 и АаАв. Составить уравнение прямой АаМ и уравнение прямой 7, гармонически сопряженной с этой пРЯмой относительно пзРы пРЯмых АаА1, АзАя. 1382в. На плоскости введена проективная система координат А,А,АаЕ. ПУСть М = (хт:хя:хз) — точка плоскости, не лежащая ни на одной из сторон базисного треугольника.
Обозначим через Ев и Ма точки пересечения прямых АОЕ и АаМ с прямой АГА,. Найти ангармоническое отношение (А[А 0 ЕОМ0). 1383в. На проективной плоскости введена проективная система координат А,А,АвЕ. Пусть М=(хт.жа:ха) — точка, не лежащая ни на одной из сторон базисного треугольника А,А,А,. Обозначим через Мд, М„ Ма точки пересечения прямых А,М, А,М, АаМ со сторонами АвАз, АвА1, АГАХ базисного треугольника; пусть 1чд †точ, гармонически сопряжен- наЯ с точкой Мт относительно точек А„ Аз;.Д[в — точка, гаР- монически сопряженная с точкой Мв относительно точек Аэ А,; 7ча — точка, гзрмонически сопряженная с точкой Мв относительно точек А„ Аа.
Доказать, что точки Лг, Л10, [110 ЛЕжат на ОДНОЙ пРямой, и найти координаты этоЙ прямой. 1384*. Полным четырехугольником называется совокупность четырех точек Р, [,[, тс, $, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Сторонами полного четырехугольника РОК$ нззываются шесть прямых 90, Р$, КР, [,1$, РЯ и [[$. Стороны, не проходящие через одну и ту же вершину, называются противоположными: ["~гс и Р$, КР и Я$, РО и Ю.
Точки А, В, С пересечения пар противоположных сторон называются диагональными точками, а треугольник АВС называется диагональным. Доказать, что: 1) точки А„В1, С, пересечения сторон ВС, СА, АВ диагонзльного треугольника со сторонами фс, КР, РО лежат на одной прямой; 4 а.
пРОектиВные пРеОБРАВОВАния 209 !Заа 1 2) стороны Я~ и Рьг пересекаю~ сторону АВ дна~онального треугольника в точках А4 и АГ, гармонически сопряженных относительно пары точек А, В. 1388в. Полным четырехсторонником называется совокупность четырех прямых р, д, г, а, из которых никакие три не проходят через одну точку.
Вершинами полного четырехшоронника называются шесть точек пересечения его сторон: д н г, р и з, г и р, д и а, р и д, г и ж Вершины, не лежащие на одной и той же стороне четырехсторонника, называются противоположными. Прямые а, Ь, с, соединяющие противоположные вершины, называются диагональными прямыми. Доказатгь что: 1) пРЯмые а„Ьт, с„пРоходашие чеРез веРшины диагонального треугольника и соответственно через вершины, в которых пересекаются стороны д и г, г и р, р и д, проходят через одну точку; 2) вершины, в которых пересекаются прямые г и г, р и и, гармонически разделяются точками, в которых стороны а и Ь пересекаются с прямой, соединяющей эти вершины.
1388. Найти диагональные точки четырехугольника, вершины которого (1:1:1), (1:1: — 1), (1: — 1;1), ( 1.1.1) 1387е. Доказать, что шесть сторон четырехугольника пересекают три стороны его диагонального треугольника в шести вершинах четырехсторонника с тем же,самым диагональным треугольником. 5 3.
Проективные преобразования проективной плоскости 1. Коллинеаг4ии Алекса н д р о в, гл. Х Х1, 4 6. Моде н о в, гл. Х'1Г, 44 194 — 196. П о с т н и к о в, гл. 7, 4 1, п. 4. 1388е. На проективно-аффинной плоскости задано в однородных координатах проективное преобразование Хх,'=ха — 2хя+ Зх, Ххя' = 2хт+ ха + 2 ха, Хх'=4х — 2х +бх. 2!О ГЛ 1Х. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ! 1882 Найти несобственные точки, которые пр нии переходят в несобственные точки. 1389*. Найти проективное преобр а всех собственных точек (х, у) проект скости, образами (х', у') которых яв е точки, если точка (О, 0) — инвзриантная тивного преобразования, а прямые х+у+2=0, х — у — 4=0, л х' + 2у' — 3 = О. 1390. Найти проективное преобразование проективно-аффинной плоскости, переводящее начало аффинной системы координат в точку ( — 7, 4), несобственную точку оси Ох— /1 3! в точку ~ †, — р несобственную точку оси Оу — в точку 'г4 ' Ет" ( —— ! 51 3' 9т" — —, — ь а точку (! 1) — в несобственную точку прямой х+у =О.
1391. Найти образ прямой (ит; а,: иэ! при проективном преобразовании, для которого стороны базисного треугольника А1А,Аэ инвариантны, а точка (а,: аз: аэ), не лежащзя ни нз одной из сторон базисного треугольника, переходит в то~ну (а,':а,':а,'), также не лежащую ни на одной из сторон базисного треугольника. 1392. Нано проективное преобразовэние: ) т8 — — аыхт+ атзхз+ атзхз ) хз' = амхт+ а„хз+ а,эхз, 7 хз = аэтх, + аззхз+ аззхэ. найти координаты: 1) образа прямой !ит.а,:из1; 2) прообраза точки (х,':х,':х,'); 3) прообраза прямой (и,:112':и,') 1393. 7(ано проективное преобразование множества прямых проективной плоскости: Ь!,' = а,та,+ а,уз+атзим )а12 а2гм1+ аззаз+ азэггз )лз = аюгг1+ азУсз+ аззнэ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
