1610840688-354d60f870aa4b4d07a90e025d5836ea (824169), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Доказаттч что инвариантные точки при инволюции Г являются точками пересечения прямой я' с окружностью, центром которой является точка О, а радиус равен р ! ОМ(. ! ОМ' 1 1343е. Доказать, что если интерпретировать проективную прямую как собственный пучок прямых аффинной плоскости с центром О, то эллиптическая инволюция будет инволюцией сопряженных диаметров некоторого эллипса с центром О, а гиперболическая инволюцня будет инволюцией сопряженных диаметров некоторой гиперболы с центром О. Дока- вать, что асимптоты гиперболы будут инвариантными «точкалЯи» при рассматриваемой гиперболической инволюции. 1344*. Проективная прямая интерпретируется как собственный пучок прямых аффинной плоскости с центром в начале аффинной системы координат.
Дано инволюционное преобразование Хх! — а11Х1+ а12Х2, а ~2= аелх1+ а22Х2. Составить уравнение семейства линий второго порядка, для которых данное преобразование является инволюцией сопряженных диаметров. 1345е. Доказать, что всякое проективное преобразование проективной прямой можно представить как произведение двух инволюций. 2 2. Проективная плоскость Александров, гл. ХХ1, 14! — 5; 48, пп. 5, 6. М о д е н о в, гл. УЛ, 41 19 1 — !92, 202. По ст н и к он, гл.
9, $1, пн. 1, 2, 4 — 6; Дополнение. Д Проентивные координаты на лроектианой плоскости 1346е. На проективно-аффинной плоскости введена аффинная система координат Оху и проективная система координат А1А2АаЕ, в которой точками А„А,, Аз являются соответственно несобственная точка оси Ох, несобственная точка 202 ГЛ. 1Х. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 1атт оси Оу и начало О аффинной системы координат Оху.
Единичная точка Е проективной системы координат совпадает с единичной точкой Е аффинной системы координат Оху. Пусть х,: х,: ха — проективные (однородные) координаты, а х, у — аффинные координаты собственной точки А4 в указанньк системах. Найти выражения х и у через х„х,, х,, 1347. Сторонами АаАм А,А,, А,А, базисного треугольника проектпвной системы координат на проективно-аффинной плоскости являются прямые, заданные относительно аффинной системы координат уравнениями х — 4=0, у — 3= — О, Зх+4у — 12=0.
Единичной точкой Е проективной системы координат АГАаАаЕ является точка Е=(3, 2). Найти: 1) проективные координаты точки А4, аффинные координаты которой 1, 1; 2) аффинные координаты точки Ь7, проективные координаты которой 4: 3: — 6; 3) проективные координаты несобственной точки В оси Ох; 4) однородные координаты точки Р, проективные координаты которой 5: б: -- 7. 1343. Какая особенность в расположении двух прямых соответствует тому факту, что два коэффипиента уравнения одной прямой пропорпиональны соответствующим коэффипиентам уравнения другой прямой7 1349в.
При каком условии две прямые птхг+ паха+ паха — — О, птхт+ еяхя+ паха — — 0 1) пересекаются; 2) совпадают; 3) предполагая, что данные прямые пересекаются, найти координаты точки их пересечения. 1350. Найти координагы точки пересечения прямой 7х, — 2хя+ 4ха=О с прямой, проходящей через точки А =- (3: 1: б) и В.= ( — 2: 0: 7). 1351. Записать параметрические уравнения прямой, проходящей череа две точки А = (а,: аа ' .аа) и В= (Ь,: Ья . 'Ь,). 1352. Ланы две точки А=(3:0: — 1) и В= ( — 1:3:0) своими однородными координатамп.
1) Написать уравнение прямой, проходящей через этп две точки. 2ОЗ $2. ПРОЕКТИВИАЯ ПЛОСКОСТЬ дава ! 2) Написзть параметрические уравнения этой прямой. 3) Найти значения параметров, соответствующих несобственной точке этой прямой, и координаты этой несобственной точки. 1333. Нз проективной плоскости введены две системы координат А,А,А,Е и А;Л;А;Е'. Зная координаты базисных точек А;=(ад,:а„:азд) Ая=(адя:азд.ада), А,;=(ада:аяа.азз) и единичной точки Е'=(Ь,: Ья: Ьа) проективной системы А;А;А;Е' относительно системы А,А,А,Е, найти: 1) проективные координаты х,':х,':х; точки в системе А;А;А;Е', зная ее координаты хд.хя;хз в системе А,А,АБЕ; 2) проективные координаты х,:хя:ха точки в системе АдАБАБЕ, зная ее координаты х,': хя: х,'„в системе А,'Л'А,'Е . 1354.
Относительно проективной системы координат А,А,АБЕ на проективной плоскости даны координаты базисных точек А,'=(4:1:!), А;=(4:4;1), А;=(О:4;1) и координаты единичной точки Е' = (2: 1: !) новой проек- тивной системы координзт. Найти выражения координат про- извольной точки (хд:х,:хз) в первой системе через коор- динаты х;:хя:х,' той же точки во второй системе. 1365. Относительно проективной системы координат АТАБАБЕ заданы урзвнения сторон АБА;, А,'А;, А;А; базис- ного треугольника А;А;А; и координаты единичной точки Е': адхд+ Ьдхя+ сдха= О (А.;А;), а,х, + Ь,х, + с,хз — — О (А;Л;), азхд+ Ьзхя+ саха = — О (АдАБ) Е'=(с,:с,:сз). Выразить координаты х,': х,': х; произвольной точки проек- тивной.
плоскости в системе А;А;А,;Е' через ее координаты х,:х,:хз в системе А,А,АБЕ. 1336". На проективно-аффинпой плоскости введена про- ективная система координат: за стороны А,АБ, А,А„, А,А, базисного треугольника А,Л,АБ приняты собственные прямые Адх+Вду+Сд=О, А,х+В,у+С,=-О, А ах + В„у + Са = О, а за единичную точку принята собственная точкз Е=(х, ув). 204 1 азат Гл. Ие пгоективная ГеОметРия 1) Каковы будут проективные координаты ут:уя:уа собственной точки М= (х, у)7 2) Найти проективные координаты уд.'уя:уа несобственной точки, однородные координаты которой хт:ха; О.
3) Написать уравнение несобственной прямой в проективных координатах. 1367. На проективно-аффинной плоскости сторонами АтАа, АаАа, А,А, базисного треугольника проектнвной системы координат служаг соответственно прямая у=2, ось Оу и ось Ох, а единичной точкой — точка Е= (1, !). Найти в этой системе центр пучка прямых, параллельных оси Оу. 1358. Вершины базисного треугольника и. единичная точкз проективной системы координат на проективно-аффинной плоскости имею г следующие аффинные координаты: Ат — (1, 1), А =( — 1, 1), Аз — (О, 0), Е=~О, — ).
Найти в этой системе координат уравнения осей координат и уравнение несобственной прямой. 1339. На проективно-аффинной плоскости относительно аффинной системы координат даны четыре точки: Ат=(1, 2), А,= ( — 1, 2), Аа — (2, 3), Е= ( — 3, 4).
Найти проективные координаты точки ( — 2, 0) относительно проективной системы координат А,А,АаЕ. 1360*. Найти условие, необходимое и достаточное для того, чтобы: 1) тРи точки (х,: хз: ха), (Ут:Уя:Уа), (ат Г да г ва) лежали на одной ЕРЯмой; 2) тРЕ пРЯмые 1ит: и,: иа], [от: па: пз], (те,:яа:ша] проходили через одну точку. 1361, 1) Составить уравнение пучка прямых, центром которого является вершина Ат=(1:0:0) базисного треугольника А,А,Аа. 2) Найти точку пересечения произвольной прямой этого пучка с базисной прямой А,Аа. 1362*. Нз сторонах АаАэ АзАп АТАа базисного треугольника АтА,Аа взяты точки Лт — — (О:хз:хз), Ма=(хт:0:хз), Ла=(х,:ха:0).
Локазать, что прямые А,М„А,Ма, АаМа пересекаются в точке М=(х,: х,: х,). 1363. Относительно проективной системы координат АГА,АаЕ дана точка Л= (хт:ха:ха). Най|и точки МпЛ,, Ма пересечения прямых АТМ, А,М, АаМ.со сторонами базисного треугольника АТАаАа. 205 $ з.пгоективная плоскость 13691 1364; Какой вид имеет уравнение прямой, проходящей через одну из базисных точек Ат=(1: 0:0), А,=(0; 1;0), А,=(О;О; 1)7 1366. Найти точки пересечения прямой птхд+ и,хз + + изхз —— 0 со сторонами А,А„АзАз, АзАд базисного тре- угольника АдАзАз. 1366з. Относительно проективной системы координат А,А,А,Е дзна точка М= (х,:хз:хз). Пусть Е, и Мз — точки пересечения прямых А,Е и АзМ с прямой АтАм Найтя проективные координаты точки Мз на прямой АзА, в системе координат А,А,Е,.
1367. Пусть Е„ Е,, Е, — соответственно точки пересечения прямых АзЕ, АзЕ, АзЕ со сторонами А,Аз, АзАт, АтАз бззисного треугольника АтА,Аз проективной системы коор- динат А„АзАзЕ. Найти координаты прямых: 1) А,Е, А,Е, АзЕ' 2) ЕтЕз ЕзЕз ЕзЕт. 1368*. Проективная система координат нз проективной плоскости задана базисными пРЯмыми аз=11:0;0], аз = = (О: 1: 0], аз= (О: 0; 1] и единичной прямой е = 11; 1: 1]. 1) Найти координаты точек Ет, Ез, Ез пересечения еди- ничной прямой е с базиснымв прямыми ат, аз, аз.
2) Нзйтн координаты прямых АтЕм Азиз, АзЕз, где Ат, Аз, Аз — вершины базисного треугольникз. 1369*. Локазать, что если на проективно-евклидовой плоскости введена проективная система координат А,АзАзЕ, где все точки Аз, А„ Аз, Е собственные, то: 1) проективные координзты х,:хз:хз собственной точки М пропорциональны отношениям расстояний е(з,е(з, дз от точки М до сторон АзАз, АзА,, А,А, базисного треугольника к рас- стояниям ед, е„ ез от единичной точки Е до тех же сторон: ~1, Пз йз Ххт= —, есхз=, Ххз-- — -.— ез' ез ' , ' ез (трилинейные координаты точки); 2) проективные координаты ид.и,:из собственной пря- мой т пропорциональны отношениям расстояний бт, бз, бз от вершин Ад, Аз, Аз базисного треугольника до прямой т к рзсстояниям вт, ез, ез от тех же вершин до единичной прямой е=[1:1:1]: б, й, Е, е ит — — —, е,из )нез = аз ' з ез ' з (трилинейные координаты прямой).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
