1610840688-354d60f870aa4b4d07a90e025d5836ea (824169), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Локазать, что четыре тожи пеРесечениЯ пРЯмых А,А, и А,А4, А,Аа и А4АТ 44 и 44, гт и 1, ЛЕ1Кат На ОдНОИ прямой. 1456з. Пусть А„А„А, — три произвольные точки дей- ствительноИ нераспадаюшейся линии второго порядка, а 74, 74, уа — касательные к этои линии, пРоведенные к ней в этих точках. Локазать, что три точки пересечения прямых АяАа и 1„АзА1 и 14, А,А, и 14 лежат на одной пРЯмой.
1457"'. Около действительной нераспадаюшейся линии второго порядка описан шестиугольник А,А,А,А,А,А,. Локз. зать, что прямые А1А„ АЕА„ АаА, проходят через одну точку (теоре41а Брианшона). 1458*. Локазать, что если А,А,АаААА4 — произвольный пятиугольник, описанный около действительной нераспадающейся линии второго порядка, и А4 — точка касания прямой А,Аа с этой линией, то прямые А,А4, А4А4, А,А, проходят через одну точку. 1459в. Пусть А;, Ая, Аз, А4 — проиавольный четырехугольник, описанный около действительной нераспадаюшейся линии С второго порядка, а А,, Аа, А„, Аа — точки касания стоРон А,Ая, АяАа АаА4 АААд с линией С. Локазать, что четыре прямые АГАа, АаА4, А4А,, А4А, проходят через одну точку.
14604. Локазать, что если треугольник А,А,Аа описан около действительной нераспадщощейся линии С второго порядка, а Ая, Ам А,— точки касания сторон А1А„А,А,, А4А, с линией С, то прямые А1А4, А,А„АаА4 проходят через одну. точку. 146!в. Пусть 5 — семейство нераспадающихся линий второго порядка, каждая из которых касается четырех прямых 223 $4.
ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 74671 а,, ам аа, а4. Локазать, что пРЯмые, пРоходЯщие чеРез точки касания линий 8 со сторонами а,, а, и аа, а4, проходят через одну точку. 1462". Локазать, что если каждые две из трех линий второго порядка пересекаются в четырех точках, причем все они имеют общую хорду, то три другие их общие хорды проходят через одну точку (теорема Шгурма).
1463*. Лва пучка прямых с центрами 87 и 84 находятся в проективном соответствии, если между ними устзновлено взаимно однозначное соответствие, при котором четырем любым прямым пучка 8» образующим гармоническую четверку, соответствуют четыре прямых пучка О„также образующих гармоническую четверку. Доказать, что точки пересечения прямых, соответствующих дРУг дРУгУ пРи пРоективном соответствии пУчков От и Ь;, лежат на одноИ и той же линни второго порядка, проходящей через точки 84 и 8я, и обратно: если на линии Ь второго порядка взять две точки 87 и 84 и поставить в соответствие прямой ~т пучка 87 прямую ~я пучка 8„ которая пересекается с прямой 7, в точке М, лежащей на линии 1., то такое соответствие двух пучков будет проективным.
1464я. Найти геометрическое место точек пересечения соответствующих прямых двух проективных пучков хт= Аха, х, =- 7г еа. 1466з. Ланы четыре точки, из которых никакие три не лежат на одной прямой, и прямзя 1, не проходящая ни через одну из этих ~очек. Рассмотрим семейство линий второго порядка, каждая из которых проходит через четыре даш4ые точки. Доказать, что если М и М' — точки пересечения прямой 1 с произвольной линией семейства, то эти точки соответствуют друт другу при некоторой инволюции на прямоИ 1.
1466*. Рассмотрим семейсгво линий второго порядка, касающихся двух данных прямых в фиксированных точках. Доказатгь что пары точек пересечения этих линий с третьей фиксированной прямой Х соответствуют друг другу при некоторой инзолюции на прямоИ Х. 1467в. На проективно-аффинной плоскости введена аффинная системз координат Оху.
Найти в однородных координатах, а для собственных точек линий и в аффинных координатах, проективцое преобразование плоскости, которое переводит: ГЛ.1К ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 116В 1) эллипс х'+у'= 1 в гнперболу х' — у'= 1, дополненную несобственными точками ее асимптот; 2) гиперболу х' †уз= 1, дополненную несобственными точками ее асимптот, в параболу у=ха, дополненную несобственной точкой ее диаметров; 3) эллипс ха+уз= 1 в параболу у=ха, дополненную несобственной точкой ее диаметров; 4) пару пересекающихся прямых х' — уз=О, дополненную их несобственными точками, в пару параллельных прямых ха — 1=0, дополненную их несобственной точкой.
1468*. На проективно-евклидовой плоскосси относительно прямоугольной системы координат Оху задана гипербола ха уа — - — — =1. ая Ья 1) Найти проективное преобразование в однородных координатах, при котором эта гипербола инвариантна, а касательные в вершиная гиперболы переходят в ее асимптоты. 2) Как в декартовых координатах х, у преобразуются собственные точки этой гиперболы при этом проективном преобразовании? 1469.
Доказать, что действительная нераспадающаяся линия второго порядка инвариантна при гармонической гомологии, центр которой является полюсом ее оси. 1470з. Составить уравнение семейства линий второго порядкз, инвариантных при гармонической гомологии Ах1'= — хв Ххя'=-хя, )ха'=ха с осью АяАА=11: 0: 0) и центром А, =- =-11; О: О). 1471*. Найти проективное преобразование, при которои точка Ат ††(1: 0: 0) инвариантна, а точка Л линии аттх; 1+ азах', + азахаа = 0 переходит во вторую точку М' пересечения прямой АМ с этой линией.
1472*. Доказать, что если при проективном преобразовании действительной овальной лиани второго порядка в себя три точки этой линии инвариантны, то все точки этой линии инвариантны. 2. Полюсы и поляры 1473. Найти поляру точки (1, 0) относительно линии Зх' — бху + буа — 4х — бу + 10 = О. % 4. линни втогого Порядка !422 1 1474. Найти полюс прямой Зх — у+0=0 относительно линии второго порядка хз — 2ху+уз+ 2х — бу= — О. 1476. Составить уравнение прямой, проходящей через точку (2, 1), полярно сопряженную прямой 4х — у+30=0 относительно линии хз — бху+ 9уе — 12х+ 14у — 7 = О. 1476.
На прямой х — бу+18=0 напри точку, полярно сопряженную с точкой ( — б, 4) относительно линии 2ху — бх + 4у — 1 = О. 1477. Составить уравнение линии второго порядка, для которой ось Оу является полярои точки (б, 0), ось Ох— полярой точки (О, 3) и которая проходит через точки (1, 2), (О .~~) 1478. Составить уравнение линии второго порядка, проходящей через точки А=(1, 1), В=(1, — 1), О=(0, 0) при условии, что точка (3, 1) является полюсом прямой АВ. 1479, доказать, что поляры любои точки плоскости опюсигелыю эллипса и гиперболы симметричны относителыю оси Ох.
1480. Доказать, что поляра любои точки асимптоты и!- перболы, отличная от ее пентра, параллельна этой асимнтоте. 1481. 1) Локазать, что поляра нентра нераснздающейся линии второго порядка, лежащей на проекп!вно-аффинной плоскости, есть несобственная прямая.
2) Доказать, что полюс диаметра нераспадающейся линии второго порядка есть несобственяая точка хорд, которым сопряжен этот диаметр. 1482". Нз проективно-аффинной плоскости зздана деиствительная овальная линия второго порядка. Локаззть, что если иэ внешней собственной точки этой линии пронести к ней касательные, то прямая, соединяющая эту точку с 8 П. С. Моленое, А, С. Пархоменко ГЛ.!Х ПРОЕКТИВНЛЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 1483 серединой хорды, граничными точками которой являются точки касания, будет диаметром линии, сопряженным направлению хорды. 1483в.
Доказать, что центр нераспадающейся линии второго порядка лежит пне треугольника, являющегося автополярным по отношению к этой линии. 1484. Докззать, что директриса линни второго порядкз являешься полярой соответствующего ей фокуса. 1485"'. Доказать, что если две прямые проходят через фокус линии второго порядка, то необходимым и достаточным условием полярной сопряженности этих прямых является их перпепдикулярность. 1486. Доказать, что если из каждой точки прямой, перпендикулярной к осн линии второго порядка, опустить перпендикуляр на поляру этой точки, то все такие перпендикуляры проходят через одну и ту же точку, лежащую на оси линии. 1487в. Доказать, что если треугольник АВС является автополярным для окруэкности, то точка пересечения высот треуголыщка АВС совпадаег с центром этой окружности.
1488"'. Пусть С вЂ” действительная овальная линия второго порядка на проектизно-евклидовой плоскости, а  — ее фокус. Доказзть, что при поляритете относительно окружности с центром В множество всех касательных к линии С преобрззуегся в множество точек окружности с центром Е 1489*. Найти геометрическое место полюсов Л хорд параболы, которые видны из фокуса под прямым углом. 1490в. 1) Доказать, что для всякого поляритета геометрическое место точек, инцидентных своим полярам, есть не- распадающаяся линия второго порядка (действительная или мнимая).
2) Доказать, что для всякой линии второго порядка существует поляритет, при котором геометрическим местом точек, инциденгных своим полярам, является эта линия. 1491". Пусть на проективной плоскости дана нераспадаюшаяся линия второго порядка аттх, "+ ааахз+ ам4ла + 2ааахахз+ 2аагхахг+ 2атахтха — — 0 и точка тИз=(х1': х,":ха). Найти геометрическое место точек, гзрмонически сопряженных с точкой ТИ8 оп1осительно точек А и В, в которых произвольная прямая, проходящая через точку А48, пересекает данную линию.
227 в с линни втоиого поиядка шоа1 1492*. Пусть С вЂ” линия второго порядка, являющаяся геометрическим местом точек, инпидентных соответствующим им прямым при поляритете П. Локазать, что если точка М лежит на линии С, то при поляритете П ей соответствует касательная к линии С в точке М. 1493*. Пусть А — произвольная точка, лежащая на нераспадаюшейся линии С второ~о порядка, а  — полюс любой прямой, проходящей через точку А. Локазать, что прямая АВ является касательной к линии С в точке А. 1494з.
Локазать, что если М вЂ” то~ха, внешняя по отношению к действительной нераспадающейся линии второго порядка, то ее поляра проходит через точки прикосновения касательных, проведенных к данной линии из точки М. 1495з. Локазать, что если М вЂ” внешняя точка для действительной нераспадаюшейся линии второго порядка, то любая пара полярно сопряженных прямых, проходящих через точку М, гармонически рзаделяет пару касательных к втой линии, проведенных к ней из точки М. 1496. Написать уравнение линии второго порядка, проходящей через вершины А,, А„ Аа базисного треугольника, зная, что единичная точка Е= †(1:1:1) проективной системы координат является полюсом единичной прямой е=-11:1: 1~.
1497з. Локаззть, что если в нераспадающуюся линию второго порядка вписан треугольник, то прямая, полярно сопряженная с одной из его сторон, пересекает две другие стороны в полярно сопряженных точках. 1498з. Пусть точки А и В полярно сопряжены относительно нераспадающейся линии второго порядка. Пусть прямая, проходящая через точку В, пересекаег зту линию в точках Р и Я, а АР и АЯ пересекают линию вторично в точках )т' и Я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
