1610840688-354d60f870aa4b4d07a90e025d5836ea (824169), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Относительно проекгивной сисгеьна координат А,А,А,ААЕ в проективном пространстве зздана точка М =— = (х,: х,: х,: х,). Найти точки Мь 4 = — 1, 2, 3, 4, пересечения прямых А;М с гранями, противоположными вершинзм АР 1630"'. Относительно проективнои системы координат А4А,А,ААЕ в проективном прострзнстве задана точка М =— =-(х,:х,:хз.х4). Пусть М4 — — (хд.х,:хз:0) — точка, в когоРой пРЯмаЯ А4М пеРесекает гРань А,А,Аз 1(оказатгь что х,:х,:хз — проективные координаты точки М4 на проективной плоскости А,АаА, в проективной системе координат А,А,А,Е4, где Е4 — точка пересечения прямой А,Е с плоскостью А4А4Аз. 234 [ 1ам . ГЛ.
1Х. ПРОЕКТИВНЛЯ ГЕОМЕТРИЯ 1531"'. Относительно проективиой системы координат А,АзА,А,Е в проективном пространстве аадзна точка М = = (х,: х,: х,: хг). Пусть М„=-(х,: х: О: 0) — точка пересечения площ<ости АаА4М с ребром А,А„а ń— точка пере. сечепия плоскости АзА,Е с той же прямой А,Аз л[оказать, что х,:х,— проективные координаты точки М„в проектиз.
иой системе координат на прямой А,Аа с базисиыми точками Ап А, и единичной точкой Егм 1532". Найти аигармоничесьое от~ошепие (4ВСО) четырех точек, лежащих в проективном врос>.рапстве иа одной прямой: А=(х,: х,: хз. ха), В=(уг . У> .Уз:Уа) С =-((с<х, + 1)у>) 1(ахя + [)уз) 1(аха+ Руа) 1(аха+ [)уа)), Р = ((Лхт + РУ>): (Лхз + РУЯ) ° ()'л а + [<Уз) ° (Лха + РУ4)). 1533":. В проективпом пространстве введена проективная система координат А,А,АЗА4Е.
1) Найти точки Еь [=1, 2, 3, 4, в которых прямые А;Е пересека<от противоположные трали базищюго тетраэдра А,АзАзАИ и точки Еь 1=-1, 2, 3, 4, гармонически сопряженные с точками Е; относительно точек А; и Е. 2) Нзйти точки Ег> в которых плоскости А;А.Е. пересекают ребра, противополо>киые ребру А>АР и точки Е;,, гармонически сопряженные с точками Еа относительно зерп1ви ребра, противополо>кпого ребру А<АР 3) Найти точки О„а„0>зяи 6>азз гаРмонически сопРЯ- женные с точкой Е относительно точек Е>м Ез,, Е,з, Еа4, Е11 Езз. 1534":. Пусть Š— произвольная точка проективпого про. странства, не лежащая ни на одной из граней тетраэдра А>А,АзАм Обозначим через ли плоскость, проходящую через ребро А>Ат и точку Е.
Пусть т;.— плоскость, которая проходит через ребро А<А и которая гармопячески сопряжена с плоскостью п>т относительно граней теграэдра, проходящих через ребро А;Ал Локазать, что три прямые, по которым пересекаются плоа<осги теь т„: т„, т„.; т,з, ты, и шесть точек, в которых плоскости т,м т„, т„, тгп т,, тз, пересекаются соответственно с ребрами А,Ам АяА4, А,,А„А>А„ А>Аа, АТАя, лежат в одной плоскости. Составить уравнение этой плоскости, принимая тетрзэдр А,АзАзА> за базисный, а точку Š— за единичную точку. 1339 1 % 3.
ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО 1635*. Плоскость и, не проходящая ни через одну из вершин тетраэдра Л,Л2АЗА„пересекает ребра А;А в точках Лоь На каждом ребре А,А берется точка Ри, гармонически сопряженная с точкои Л;. относительно точек А1, А.. Доказать, что прямые Р,2Рзм Р„Р,4, Р„Р23 проходят через одну точку (4 и что через ту же точку Ы проходят шесть плоскостей: Р12ЛЗА4 Р13А2Л4, Р14А1Аз Р23А1А4 Р24АТЛз Р34А1А2. 1536*. Прямая l пересекает грани А2Л,А„Л,А3А,, А,А2А4, А,Л,А, тетраэдра А1А2А,А4 соответственно в точках Мт, Л,, М„М4. Пусть п1 — плоскость, проходящая через вершину А, и данную прямую.
Доказагь, что ангармоническое отношение (М,М,МзМ4) равно ангармоническому отношению (птпзпзпз). 1537"'. Доказать, что если четыре вершины одного тетраэдра принадлежат четырем граням второго, а три першины второго — трем граням первого, то и четвертая верп1ина второго тетраэдра принадлежит четвертой грани первого тетраэдра (теорема Мебиуса). 16383. Доказать, что если а„ а„ аз и Ь„ Ьз, Ьз — две тройки попарно скрещивающихся прямых и каждая прямая а, пересекает каждую пряму1о Ьь то любая прямая, пересекающая прямые а„аз, аз, будет пересекать и прямые Ь„Ь2 Ь, (теорема Галу ччи).
2. Коллинеации А л е к с в я д р о в, гл. ХХ1П, а 2, и. 3. М о д е в о в, гл. Х Ъ', 6 201. 1539. В проективпо-аффинном пространстве введена аффинная система координат Оху~. Дано проективное преобразовзние в однородных координатах ~ ~1 а11Х1+ а12Х2+ а13ХЗ+ а14Х4 )гх, = а21Х1 + аззХ2 + аззХ3 + а24Х4, 'Ххз = азтх1 + аззХ2+ аззхз+ аззхз. ЛХ4 = амхт + а42х, + аззх, + аззхз. 1) Найти в аффинных коордннагах формулы, по которым преобразуются собственные точки пространства, пе лежапгие па плоскости а„хт+ а„х, + а,зхз+ аззхз = О. 266 ГЛ.
!Х. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 и40 2) Найти прообраз несобственной плоскости при этом преобразовании. 3) Найти образ несобственной плоскости при этом преобразовании. 1540. В проективном пространстве введена проективная система коорлинат А,А,А,Л,Е. Найти проективное преобразование, которое переводит плоскости агтхг+ а„х, + а,зх, + атах4 — О, а,дх, + азяхя+ аязха+ аых, = О, азг ха + йзз ха+ йзз та+ аач та = 0 ага хт + йззхя + й4зхз + й4АХ4 = О, из которых никакие три не проходят через одну прямую, соответственно в плоскости ЛаАзА„АтА,Ам ЛТАзАм АТАзАз, а точку (Ьд.Ь,:Ьз:Ь,) — в единичную точку Е=-(1:1:1:1).
1541. Найти проективное преобразование, которое переводит точки А,= — (1;0; О: 0), А,=(0; 1:0:0), А,=(0:0:1:0), ЛА=(0:0:0:1), Е==(1:1:1:1) соответственно в точки А, == (а,д . а„: аз, . аат) А, =- (й„: а„: азя . .а4з) А, =- = (агз: азз: йза: ачз) '1ч=(йы: ая4: аз4: й44) 1 =(ЬНЬя:Ьз:ЬА) при условии, что никакие четыре из точек А;, А.:, А,', А;, Е' не принздлежат одной плоскости. 1542. Найти все проективные преобразования, при которых вершины базисного гетраэдра А,А,АзАА проективной системы коорлинат АТА,А,Л,Е являются инвариаптными точками. 1543. Найти общий вид проективвых преобразований проективного пространства, при которых ребра А,А, и АзА4 базисного тетраэдра инвариантны. 1544.
Найти общий вид проективных преобразований проективного пространства, при которых инвариантны все точки ребер А,Л, и А,А, базисного тетраэдра АтА,АзАм 1545. Найти общий вид проективных преобразований проекчивного просгранства, при которых ребра базисного тетраэдра А,АзАзАА переходят в ребра, им противоположные.
1546. Найти общий вид проективных преобразований проективного пространства, при которых вершины А,, А,, А„ А, базисного тетраэдра переходят в точки, лежащие на противоположных гранях. 1547. Прямые А,Е, А,Е, АзЕ, ААЕ, соединяющие вершины бзэисного тетРзэлРа Л,АзАаАА с единичной точкой Е, пеРе- 237 5 5. ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО !5531 секают противоположные этим вершинам грани АяЛ,А4, АдАаА4, АТА,А„А,АяАа соответственно в точкзх Е„Е,, Е,, Е,.
Найти проективное преобразование, при котором точки Азн А,, Аа, А4 пеРеходвт соответственно в точки Еь Е, Е„, Е4, а точка Е инвариантна. 1548"'. 1) В проективном пространстве введена проективная система координат А,А,А,А,Е. Найти проективное преобразование, имеющее только две инвариантные точки Л, =-'- = (1 1 0: 0: 0), Аа = (О: 0: 1: О) и только одну инвариантную прямую А,А,. 2) Какие проективные преобразования порождает рассматриваемое преобразование на пряллых А,А, и А4А4? При каком условии эти преобразования будут ннволюционными? 1549".
1) Нроективное преобрззование не имеет инварнантных точек и плоскостеп, но имеет две скрещивающиеся инвариантные прямые. Как запинлется это преобразование в координатах,' если ребра ЛлЛя и АаЛ4 базисного тетраэдра А1А,А,А» расположить на инвариантных прямых? 2) Какие преобразования порождает рассматриваемое проективное преобразование на прямых А,Л5 и А4А ? 1550". В пространстве введена проективная система координат АдАяАаА4Е. 1) Наптн проективное преобразоиание Р„ при котором точки Ал, Л, и все точки прямой ЛаЛ, инвариантны. 2) Какое проективное преобразование порождается преобразованием Р в плоскости АТАзА4? 3) Какое проективное преобразование порождает преобразование Р нз ребрах тетраэдра А,Л5АаА,? 1551Р.
В пространстве введена проективная система координат А1Л5А5А4Е 1) Найти проективное преобрззовзние, при котором точки Ад, Аа, Аа и пРЯмаЯ АаА4 инваРиантны. 2) Какие проективные преобразования порождаются этим преобразованием на прямой А,А,? 15524. В проективном пространстве введена проективная система координат ЛТЛ5ЛаЛ4Е Какое проективное преобразованне порождается в плоскости АлЛ5Л, проективным преобрааовапием, оставляющим инвариантными все точки прямых А,А, и АаЛ4? 1553-".
В проективном пространстве введена проективная система координат А,Л,А,А,Е. ГЛ !Х. ПРОЕКТИВНЛЯ ГЕОМЕТРИЯ [ !444 Найти проективное преобразование, при котором все точки плоскости АдАаАа инвариантны и ребро АдА, является инвариантной прямой. !554. В пространстве введена проективная система координаг А,Л4А,А4Е. Найти проективное преобразование, при котором точки А,, А, н плоскости АТА,Аа, АТА,А4будут инвариан п|ы. 1565*.
В пространстве введена проективная система координат АТА,АаА4Е. 1) Най~и проективное преобразование, при котором точки Ав Аа Аа, А4 переходят соответственно в точки Ад, А,, А4, Аа и точка Š— В точи) (1: — 1:1: — 1). 2) Найти инвариантные точки, инвариантные плоскости и инварнанпдые прямые этого преобразования. 3) Какие проективные преобразования порождаются этим преобразованием на прямых А,А, и АаА4? 1656*. В пространстве введена проективная светел!а координат А„А,А,А4Е'.
1) Найти проективное преобразование, при котором все точки плоскости АдА,А, и точка А4 инвариантны, а единичная точка Е переходит в точку (1: 1:1:!4), [ ф 1. 2) Найти инвзриантные плоскости и инвариантные прямые этого преобразования. 3) При каком необходимом и достаточном условии это преобразование будет инволюционным? 4) Какие проективные преобразования порождаются рассматриваемым преобразованием в плоскостях, проходяндих через прямую А4Е? 165?з.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
