1610840688-354d60f870aa4b4d07a90e025d5836ea (824169), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Доказать, что: 1) если три точки А, В, С лежат на одной прямой, то соответствующие им прямые а, Ь, с при корреляции (1) про- ходя! через одну точку; 2) если три прямые а, Ь, с проходят через одну точку, то они соответствуют трем точкзм А, В, С, лежащим на одной прямой. 1418З. Доказать, что если точки А, В, С лежат на одной прямой [п1! пз! пз], то при корреляпии ) ит = а,тх, + а„ха+ атзхз, ).из = аз,х, + а,зхз+ а,зхз, 1"из а»1х1 + аззхз + аз»ха им соответствуют три прямые а, Ь, с, проходящие через одну точку (ут:у,:уз) такую, что ) пт = апут+ азтуз + аз!уз~ ) ~з=атзут+ аззуз+ иззу», ).ез = ат»У1+ аз»Уз+ аззУз. 1419».
Доказать, что существует и притом только одна корреляпия, при которой четырем точкам, из которых никакие три не лежат нз одной прямой, соответствуют четыре прямые, из которых никакие три не проходят через одну точку. 1420з. Ланы две корреляпии К1 и Кз. Пусть М вЂ” про-. извольная точка проективной плоскости, л1 — ее образ при корреляпии К1, Л' †прообр л4 при корреляции Кз. Дока- зать, что соответствие, при котором точке М соответствует точка тИ', является проективным преобрззованием. 1421.
Найти корреляпию проективной плоскости, при ко- торой точкам А1=(1: 0: 0), Аз=(0: 1: 0), Аз ††(О: 0: 1), В= (1: 1: 1) ставятся в соответствие прямые ат=[1: 0: 1], а, =- [О: 1: — 3], аз = [О: 1; 5], е = [1: 1: 2]. 1422. Дана корреляпия ),ит = 2хт, ).из = Зхз, ) из = — 5хз.
На прямой х,+х,— 2хз — — 0 найти точку, для которой пря- мая, являющаяся ее образом при данной корреляпии, прохо- дит через эту точку. 1423. Найти корреляпию, при которой точкам (1: 0: 0), (О: 1: 0), (О: 0; 1), (1: 1: 1) ставятся в соответствие прямые [1:О;О], [О:1:О], [О:О: Ц, [1:1:1], 217 $3. ПРОЕКТИВНЫС ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Ы221 14243. Корреляция Лп, = а11хт + атяхя+ атахэ ЛИ2 = п21Х1 + 022 12 + пмса 1 на п31 11+ п32 с2+ п93АЗ называется поляритетом П, если матрица /а11 а12 а122, А= л21 О22 я29 Ц11 аы аы является симметрической.
Доказать, что: 1) если прямая а является образом точки А при поляритете П и  — произвольная точка, лежащая на прямой а, то прямая Ь, являющаяся образом точки В при этом поляритете, проходит через точку А; 2) если при корреляции произвольной точке А соответствует прямая а и любой точке В, лежащей на прямой а, соответствует прямая Ь, проходящая через точку А, то эта корреляция есть поляритет. Если прямая а соответствует точке А при поляритете П,то а называется полярой точки А, а точка А — полюсом прямой а. Точки А и В, из которых каждая лежит на поляре другой, называются сопряженными точками.
Прямые а и Ь, из которых каждая проходит через полюс другой, называются сопряженными прямыми. 14263. Доказать, что всякая корреляция„ при которой вершинам некоторого треугольника АВС соответствуют его противоположные стороны, есть поляритет. Треугольник АВС, для которого каждая сторона является полярой прогивоположной вершины при некотором поляритете, называется автополярным треугольником для этого поляритета.
1426. Как запишется поляритет, если базисный треугольник А1А2А, является автополярным для этого поляригетау 1427*. Доказатть что поляритет однозначно определяется заданием автополярного треугольника, точкой М и прямой иг, являющейся образом точки М. 14283. Доказать, что если точки А и В лежат на своих полярах, то прямая АВ не проходит через свой полюс. 14293. Доказать, что на прямой не может быть более двух точек, лежащих на своих полярах. 2!8 гл. !х.
пяовхтивнля гкоывтяия ! 1120 1430э. Доказать, что: 1) если при поляритете П вершинам треугольника АВС соответствуют стороны В'С', С'А', А'В' треугольника А'В'С', отличного от треугольника АВС, то прямые АА', ВВ' и СС' проходят через одну точку О (теорема Шаля); 2) если у двух различных треугольников АВС н А'В'С' прямые АА', ВВ', СС' проходят через одну точку О, то существует поляритет, прв котором вершинам А, В, С треугольника АВС соответствуют стороны В'С', С'А', А'В' треугольника А'В'С' (теорема Штаудта).
1431 ». Доказать, что поляритет на любой примой, не проходящей через ее полюс, порождает инволюпию сопряженных точек. 1432з. Если при поляритете П ни одна точка не лежит на своей поляре, то поляритет П называется эллиптическим. Если при поляритете П существует точка, лежащая на своей поляре, то поляритет П называется гиперболическим. Три прямые АЗАз, А,А,, А,А,, не проходящие через одну точку, делят проекгивную плоскость на четыре области. Пусть поляритет П задан автополярным треугольником А,АЗА, и образом г точки Е. Доказать, что если точка Е'лежит з той области, в которой нет точек прямой е, то поляритет П будет эллиптическим; если прямая е содержит точка той облзсти, в которой лежит точка Е, то поляритет будет гиперболическим.
1433*. Дан поляритет ?а11 = а„х, + а„ха+ а„хз, Ь12 == а21Х1 + а22Х2 + 022.1 З, ?ЛЗ = аатх1+ аЗЗХЗ+ азЗХЗ. При каком необходимом и достаточном условии: 1) точка (Х1: х,: хз) лежи~ на своей поляре; 2) поляритет является эллиптическим; 3) поляригет является гиперболическим.
1434. Дан поляритет ?»11 = — а„хт+ а12х, + птаха ?1иа = а„х, + аааха+ а„х,, ?агз = аз1х1 + аз2х2 + аззхз. При' каком необходимом и достаточном условии прямая [ит:иа:из[ проходит через свой полюс? 1435в. Доказать, что если две пары противоположных вершин четырехсторонника сопряжены при некотором поля- 219 $4. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 144! ! ритете, то и третья пара противоположных вершин будет также сопряжена при этом поляритете (теорема Гессе).
14362. В четырехугольнике А,АЗА,АЗ вершины А, и Аз, з также АЗ и А4, сопряжены при некотором поляритете. !!оказать, что точка А, пересечения прямых Л,А,, АзА4 и точка А, пересечения прямых А,АЗ и А,АЗ полярно сопряжены нрн том же поляритете (теорема Гессе). 14372. )(оказать, что корреляция, переводящая четыре вершины пятиугольника в соответствующие противоположные стороны, есть поляритет, при которой' и пятой вершине соответствует противолежащая ей сторона. 1438. 1) Найти уравнение геометрического места точек, лежащих на своих образах (прямых) прн корреляции ?211 = — аих1+ а12х2+ а1зхз, ?212 = а„х, + аа,х, + аззхз, ?аз = аз1Х1 + азЗхз+ ггззхз 2) Кзкой вид примет это уравнение в случае, если данизя корреляция является поляритетомР 9 4.
Линии второго порядка на проективной плоскости Александров, гл. ХХП, Ц 1 — 3, 8. Моде нов, гл. Х 2', 44 203 — 211. П о с т н н к о в, гл. б, 4 2, пн. 1 — 3, 8. 1, Линии второго порядка 1439*. Написать уравнение линии в~араго порядка на проективно-аффинной плоскости, каса1ощейся оси Ох в точке (3, 0), оси Оу в точке (О, 2) и несобственной прямой. 1440. На проективно-аффипной плоскости введена аффинная система координат Оху. Как запишется уравнение эллипса ха+у'=-1 в проективной системе координат АЗАЗЛ2Е, если за стороны АЗАз, АзАЗ, АЗАЗ базисного треугольника принять соответственно прямые у + 1 =О, у — ! =О, х=О, а за единичную точку Š— точку (1, 0)? 1441.
Как запишется уравнение параболы у'=4х, лежащей на проективно-аффинной плоскосги, н проективной системе координат А,А,АзЕ, если А1=-(1, 0), АЗ=-( — ! 2) Аз= — ( — ! — 2) Е=(0, 0)Р 220 ГЛ.1Х. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ [ 14424 1442. На проективно-евклиловой плоскости относительно прямоугольной системы координат задана окружность х' + +у'= !. Как запишется уравнение этой окружности в проективной системе кооРдинат АЯАзАзЕ, если А1=(! 0) Аз=(0 1) Аз=( — 1 0) Е=(0 — 1)7 1443.
Составить уравнения линий второго порядка, зная, что они проходят через вершины базисного треугольника АЯА,А, проективной системы координат. 1444. ! !ользуясь приведением квздратичной формы к сумме квадратов, определить проективный класс следуюгцих линий второго порядка: 1) 2х + 4х', — хз+ 2хзхз+ 5хзхт+ Зхзха — — 0; 2) х,хз+хзхз+х,ха=О; 3) 4Х,-'+!бхай — 5х,' — 22х,х,— 8х,х1+ !6х,х,=О; 4) 2х,'+6х,'+7х,'+4х,ха+Ох,х,— 4х,х,=О; 5) 4х +х,'+34хз — бх х — 12хахт+4х,х,=О; 6) х,'+х,'+4х,'+4хзх,+4х,х1+2х,х,=О.
1445Я. Относительно проективной системы координат дани четыре прямые: ['1 = и11Х1+и11Х2+ и1зхз = 0 ([~) С'з — = иззх1+ иззхз+ иззхз = 0 ([з), (!з = — иазх1 + иазхз + иззхз = О (!з) ([4 — = п41Х1 + иззх, + иззхз — 0 (14), из которых никакие три не проходят через одну точку, и точка 344=(ХЯ:хз:хз), не лежащаа ни на одной из этих ПРЯ- мых. Составить уравнение линии второго порядка, проходящей через четыре точки пересечения прямых !1 и гз, тз и гз, [з 14 lз, [Я и 11 и через точку Лз. 1446. Составить уравнение линии второго порядка, про. ходящей через пять точек: А=(0:0: 1), В=(0: 1;1), С=(1:0; 1), В=(2: — 5: 1), Е=( — 5: 2: 1). 1447и.
Доказать: для того, чтобы через пягь точек проекп1вной плоскости можно было провести единственную линию второго порядка, необходимо и достаточно, чтобы никакие четыре из этих точек не лежали на одной прямой. 221 а к линии втогого погядкл !452 1 1448з. 1) Составить урзвнение линии второго порядка, каса>ошейся сторон А,Аз и АзАз базисного треугольника А>А,Аз в точках Ам Аз и проходящей через единичную точку Е проективной системы координат. 2) К какому аффинному классу будет относиться эта линия, если А, и Аз — несобственные точки проективно-аффинной плоскости? 3) К какому аффинному классу будет относиться эта линия, если Ат и Аз — несобственные точки проективно-аффинной плоскости? 1449э.
Локана>ь, что если уравнение Еж аттх>' + а,зх,' + азах,', + 2аззх,ха + + 2азтхзх, + 2аз,х,х, = О является уравнением действительной овальной линии С вто- рого порядка, то условие ! ан а>з а>з азз ам Е (хт хз, хз) ) О а а а необходимо и достаточно длЯ того, чтобы точка А>=(хПхз:хз) была внутренней точкой линии С.
1450. При каком необходимом и достаточном условии точка (а>: аз> аз) является внешней точкой линии х, '+х,'— 1461в. Дана действительная овальная линия С второго порядка: апх,'+ а„х, '+ а„х,'+ 2а„х,х, + 2ашх,х, + 2а>зхтхз = О и прямая а х,+а х,+ . =О. При каком необходимом и достаточном условии эта прямая: 1) пересекает линию С; 2) касается линии С; 3) не пересекает линию С.
1482*. Пусть АВС и А'В'С' — два треугольника, ле>кашие на проективной плоскости и ~акис, что прямые АА', ВВ', СС' проходят через одну точку. Локазать, что шесть точек пересечения прямых АВ и А'С', АВ и В'С', АС и А'В', АС и В'С', ВС и С'А', ВС и А'В' лежат на одной и той же линии второго порядка.
222 1 1443 ГЛ !Х. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1453". В действительную овальную линию второго порядка вписан шестиугольник 123456. Локазать, что точки пересечения пар прямых 12 и 45, 23 и 56, 34 и 61 лежат на одной прямой (теорема Паскаля). 1454в. Пусть А,, А,, Аа, А„ Аа — пять произвольных точек, лежащих на действительной нераспада1ошейся линии С второго порядка. Локазать, что если 1 в касательная к линии С второго порядка в точке А,, то три точки пересечения прямых 1 и АаА„ А,А, и А4Аа, АаАа и А1А4 лежат на одной прямой. 1455*. Пусть А„ А„ Аа, А4 — произвольные точки, лежащие на действительной нераспадающейся линии С второго порядка; 71, 44, 4„ 74 — касательные к этой линии соответственно в точках А„А,, Аа, А4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
