1610840688-354d60f870aa4b4d07a90e025d5836ea (824169), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Пусть С вЂ” окружностгь не проходящая через полюс О инверсии (О, а), М вЂ” произвольная точка этой окружности, а 22' — вторая точка пересечения прямой ОМ с окружностью С. Доказать, что образ М' точки М прн 189 ' ввтв 1 в 4. ИНВЕРСИИ инверсии (О, а) совпадает с образом И' точки Ж при гомотетии с пентром 0 и коэффипие1гтом 14= —, где н — степень н' точки 0 относительно окружности С.
1272Я. Прямая Ах + Ву+ С= О, не проходящая через начало координат О (С~О), делит плоскость на две области. Как преобразуются эти области при инверсии с полюсом О и степенью инверсии о) О. 1273е. Найти образ множества точек, заданных неравенствами х)1, у)1, при инверсии, полюсом которой является начало координат, а степень равна 1.
!274Я. Множество точек плоскости задано неравенствами 1 ! 4 — (х ( — (полоса). Найти образ этого множества при 2 инверсии (О, 1), где 0 в начало координат. 1276в. Доказать, что при инверсии окружность, отличная от окружности инверсии, переходит в себя тогда и только тогда, когда она проходит через две различные точки А4 и А4', соответствующие друг другу при этой инверсии. 1276. Найти образ эллипса, гиперболы, параболы, заданных полярным уравнением Р 1 — есов1р' при инверсии (В, о), где  — фокус данной линии.
1277. Найти образ при инверсии (О, 1): в1п' 1р 1) писсоиды Диоклеса, определяемой уравнением р = —; СОВ 1Р' В1ПВ 1Р 2) области р) —. СОВ 1Р' 1278ч. 1) Доказать, что если окружность инверсии принадлежит гиперболическому пучку окружностей, то инверсия относительно этой окружности переводит каждую из остальных окружностей пучка в другую окружность того же пучка, причем предельные точки этого пучка переходят друг в друга. 2) Доказать, что если окружность инверсии принадлежиг эллиптическому пучку окружностей, то базисные точки этого пучка неподвижны, а любая другая окружность этого пучка переходит в окружность того же пучка. 1279*.
Пусть С, н Св — две неконпенгрические окружности без общих точек, Л вЂ” произвольная точка их радикальной !90 ГЛ ЧП! ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ И ПРОСТРАНСТВА [ !288 оси, ЛР— касательная к любой из этих окружностей (Р— точка касания), А и  — точки пересечения линии центров даю!Их окружностей с окружностшо с центром в точке М и радиусом ( МР ( Доказать, что: 1) при инверсии (А, ! АВ)') окружности Сд и Ся перейдут в концентрические окружности С, и С;; 2) если окружности С, и Сл лежат одна вне другой, то множество точек, внешних по отношению к обеим окружностял8, перейдет в множество внутренних точен кольца, ограниченного окружностями С, и С,.
2. Инверсии пространства 1280. Пусть Π— фиксированная точка пространства и и — фиксированное действительное число, отличное от нуля. Инверсией с полюсом О и степенью а называется преобразование множества всех точек пространства, за исключением точки О, при котором каждой точке М, отличной от О, ставится в сооответствие точка М', лежащая на прямой ОЛ, для которой ОМ ОМ'=а.
Инверсия пространства с полюсом О и степенью о обозначается через (О, о). Написать формулы, связывающие координаты х, у, а точки Л с координатами х', у', з' точки М', являющейся образом точки М при инверсии (О, а) в прямоугольной системе координат с началом координат в точке О. 1281. Составить урзвнение образа В' сферы В ха+у'+ 22+ 2ах+ 2Ьу+ 2сг+ с[= О при инверсии, полюсом которой является начало координат, а степень равна с; 1282. Составить уравнение образа плоскости Ах + Ву + Са + О = О при инверсии (О, а) (Π— начало координат). 1283Р. Доказать, что если сфера В не проходит через точку О, а В' — ее образ при инверсии с полюсом О, то точка О лежит на одной прямой с центрами сфер Юи 8'. 1284":. Доказать, что при инверсии пространства всякая окружность, не проходящая через полюс инверсии, переходит в окружность, а всякая окружность, проходящая через полюс инверсии, — в прямую.
19! !гав 1 $ К ИИВЕРСИР! 1285в. Найти центр и радиус образа окружности х'+у'+ ав — л = О, х+у+л — 1=0 при инверсии (О, 1), где 0 — начало координат. 1286*. Пусть о — сфера с диаметром й; 0 и Р†д ее диаметрально противоположные точки„ 'гг — касательная плоскость к сфере в точке Р. Доказать, что: 1) при инверсии (О. йв) сфера 8 перейдет в плоскость гй 2) проекция М' произвольной точки М, лежащей на сфере 8, из точки 0 на плоскость и совпадает с образом точки М при инверсии (О, йв) !перспективное отображение сферы о' на плоскость гг с центром перспективы О называется етереографичеекой проекцией); 3) окружность, лежащая на сфере 8 и не проходящая через точку О, проектируется из точки 0 на плоскость и в окружность.
1287в. Пусть 0 и Р— диаметрально противоположные точки сферы Яг гг — касательная плоскость к сфере о' в точке Р, Л вЂ” произвольная окружность, лежащая на сфере о' и не проходя!цая через точку О, Л вЂ” проекция окружности Л нз точки О на плоскость л. Доказать, что: 1) если окружность Л не является окружностью большого круга и К вЂ” конус, касающийся сферы 8 по окружности Л, то центром окружности Л' является проекция вершины конуса К из точки 0 на плоскость и; 2) если Л вЂ” окружность большого круга, то центр окружности Л' есть пересечение прямой, проходящей через точку 0 и перпендикулярной к плоскости окружности Л, с плоскостью и.
1288*. Доказатгь что угол между касательными к сфере в произвольной ее точке М равен углу между их проекпиями из точки О, отличной от М, на плоскость и, касающуюся сферы в точке, диаметрально противоположной точке О. 1289'". Пусть Я вЂ” сфера, 0 и Р— ее дизметрально противоположные точки, и — плоскость, касательная к сфере Ь' в точке Р. Рассмотрим два семейства окружностей, лежащих на сфере о'. Первое семейство Сх получается при пересечении сферы о' параллельными плоскостями, перпендикуляр- 1 ~9й ГЛ.
ЩИ. ПРЕОВРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ И ПРОСТРАНСТВА Г 1289 .1 1 ными к плоскости вй пусть А и  — точки касания двух; плоскостей этого семейства со сферой 8. Второе семей- ' ство окружностей С„получается при пересечении сферы Я плоскостями, проходящими через диаметр АВ. Обозначим .1 через Сх и С„' семейства окружностей, являющихся про- ~ екциями окружностей семейств Сх и С„из точки О нв пло. скость гь Доказать, что: 1) окружности семейства Сх образуют гиперболический пучок, предельными точками которого являются проекции А' и В' точек А и В на плоскость и из точки О; 2) окружности семейства С' образуют эллиптический пучок с базиснымп точками А' и В'. 3) каждая окружность семейства СА ортогональна каждой окружности семейства С„'. ГЛАВА 1Х ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9 1.
Проективная прямая Александров, гл. ХХ1, 99 7, 8, пп. 1 — 4. Е Проективные координаты на лроентианой прямой 1290о. На прямой введена аффинная система координат. Принимая несобственную точку этой прямой и начало координат за базисные точки Ат и Ав проективной системы координат на проективно-аффинной прямой, а единичную точку Е зффинной системы координат — за единичную точку проективной системы координат, найти проектнвные координаты х,:хв собственной точки, имеюшей аффинную координату х. Проективные координаты в такой системе координат называются однородными координатами.
1291о. На прямой введена аффинная система координат. Принимая несобственную точку этой прямой и начало аффннной системы координат за базисные точки А, и Ат проективной системы координат на проективно-аффинной прямой, а единичную точку Е аффинной системы координат — за единичную точку проективной системы координат, найти проективные координаты хт: хя собственной точки, имеюшей аффинную координату х. 1292о.
На проективно-аффинной прямой в проективной системе координат АтАзЕ' точка Е является несобственной. Найти проективные координаты: 1) середины отрезка АтА,; 2) точки, делящей отрезок АтАв в отношении )о , 1293. На проективной прямой введены две системы координат АтА,Е и А;А;Е'. Знзя координаты базисных точек А; = = (аы .
.авт), А;=(а,в: авв) и единичной точки Е' =(Ь,:Ь,) проективной системы А;А;Е' относительно системы А,А,Е, найти: 1) проективные координаты х,':х,' точки А1 в системе А,'А;Е', зная ее координаты х,:х, в системе.А,А,Е; 7 П. С. Мояенов, А. С. Пархоменко 194 ГЛ.
1Х. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1221 2) проективные координаты х,:х, точки Л в системе ' АТА2Е, зная ее координаты х,':х,' в системе А;А;,Е'. 1294'ч Нз проективно-аффинной прямой введена проек- ' ! тивная система координат с собственными базисными точ- ,' ками А„ А, и собственной единичной точкой Е.
В аффинной ~ системе кооРдинат на этой пРЯмой точки Аи А„ Е име1от, соответственно координаты а,, ля Ь. 1) Найти проектввные координаты х11х, собственной , точки Л, имекицей аффинную координату х. 2) 1-!айти аффинную координату х собственной точки Л, имеющей проективные координаты хт:хв 1295. На прямой ааданы.четыре ~очки своими аффинными координатами: А=(х,), В=(Хз), С=(Хз), О = (Ха). Найти ангармопическое отношение (АВСО). 1296в. Доказать, что если две прямые, не проходящие через точку О, пересекают четыре прямые пучка с центром О соответстве1шо в точках А, В, С, О и А', В', С', О', то апгармоническое отношение (АЬСВ) равно ангармоническому отношению (А'В'С'Ед).
1297в. Найти зпгармоническое отношение (АВСР) четырех точек, А = — (а11 ат), В =(Ь11Ь2), С=(сг: с ), О=(111; Ыя), заданных на проективной прямой своими проективными координатами. 1298. Найти знгармопическое отношение (А,АаЕЛ), где А,=.(1:О), А,=(0:1), Е=(1:1), Л=(хт:х,). 1299. На плоскости введена аффинная система координат Оху с единичной точкой Е. Пусть Л=(х,, хя) — проиавольная точка плоскости, пе лежащая па оси Оу.
Йайти ангармоническое отношение (Ох, Оу, ОЕ, ОЛ). 1300. Найти прямую, четвертую гармоническую к двум сторонам АВ и АС треугольника АВС и медиане, выходящей из вершины А. 1301. Найти прямую, четвертую гармоническую к двум сторонам угла и его биссектрисе. 1302. Найти прямую, четвертую гармоническую к двум катетам и высоте, опущенной из вершины прямого угла на гипотенузу (перавнобедренного) прямоугольного треугольника. 195 $1. ПРОЕКТИВНАЯ ПРЯМАЯ !310 1 1303*. Доказатдь что любая пара сопряженных диаметров гиперболы гармонически разделяется ее асимптотами.
1304*. На проективной прямой заданы четыре точки А, В, С, Р. Доказатдь что на этой прямой имеется две точки Р и дд, гармонически разделяюшие кзк пару А, В, так и пару С, В, тогда и только тогда, когда пзра С, й не разделяет пару А, В. 2. Проентивные преобразования проентивной гдрямой 1305в. Доказатдь что если при некотором проективном преобразовании проективной прямой имеются три инвариангные точки, то это преобразование является тождественным преобразованием.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
