1610840688-354d60f870aa4b4d07a90e025d5836ea (824169), страница 29
Текст из файла (страница 29)
1119*. Написать уравнение гиперболического параболоида, принимая за начало координат произвольную точку О . ' поверхности, за оси Ох н Оу — прямолинейные обрззующие, проходящие через эту точку, за ось Оз — проходящий через нее диаметр, а за единичную точку Š— произвольную точку поверхности, отличную от точки О. 2 б. ЦЕНТР. ДИАМЕТРАЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ 163 Н 211 112Оз. Написать уравнение конуса второго порядка, принимая за оси Ох и Оу его образуюшие, за ось Ое — прямую, сопряженную плоскости, проходяшей через эти обра,' зующие, а за единичную точку Š— произвольную точку конуса, отличную от его вершины. 1121з. Как запишется уравнение поверхности второго порядка, если за начало координат принять точку О поверх- ~.' ности, за ось Оз — проходяший через эту точку диаметр, а за оси Ох и Оу — прямые; лежащие в касательной плоскости и имеюшие сопряженные направления относительно данной поверхностиг 1122в.
Написать уравнение конуса второго порядкз, принимая за начало координат его вершину, а за оси координзт — три прямые, имеющие попарно сопряженные направления. 1123*. Написать уравнение эллипсоида, принимая за начало координат его Центр, за оси координат — попарно сопряженные диаметры, а за единичные точки осей координат †точ пересечения этих дизметров с эллипсоидом. 1124з.
Две плоскости, из которых каждая параллельна нзправлению, сопряженному другой относительно поверхности второго порядка, называются сопряженными относительно этой поверхности. Найти необходимое и достаточное условие того, что две плоскости Атх+Вту+СТЕ+О =О, А,х+ В,у+ Сяа+ Ва = О сопряжены относительно поверхности второго порядка аих + аяауб+ аббе~+ 2аазуе+ 2абтгх+ 2а„ху+ + 2а,х+ 2абу+ 2азг+ а = О. 1125. Найти угол между единичным вектором и=1сб, ~1, у~ и диаметральной плоскостью поверхности второго порядка а11хз+ аяау'+ азза'+ 2аяауз+ 2 аз,лх+ 2а1 ху+ + 2атх+ 2а,у+ 2азе+ а = О сопряженной направлению вектора и. 6" !64 гл.
уп. позе хностн втогого пояядкл Она 1126е. Доказать, что если р' и 27' — параметры парабол,' получаемых в сечении эллиптического параболоида х2 у2 — + — =2з (Р) О, !!) О) Р 9 двумя его сопряженными лиаметральными плоскостями, тв Р + 2! =-Р + Ч. 1127е. Доказать, что если р' и !!' — параметры парабол, получаемых в сечении гиперболического параболоида 22 у2 Р Ч ----=2а (р- О, д- О) двумя сопряженными диаметрами, то Р 9=Р— Ч. 1128». Доказать, что плоскости симметрии поверхности второго порядка, перпендикулярные к хордам неасимптоти. ческого направления, могут быть заданы уравнением а() х+ад)+Р()У+а,)+7(Ха+аз)=0, где (а, р, 7, '— вектор, имеюший главное направление, соот. ветсгвую~иее корню Л характеристического уравнения. ф 7. Плоские сечения поверхностей второго порядка М д д е к о в, Лополиение П1.
1129». Составить уравнения плоскостей, проходяших через точку (а, О, 0) и пересекаюших однополостный гипер. Х2 у2 22 болоид — +.— — — 2=1 по двум параллельным прямым. д2 Ь2 22 1130. Найти линию пересечения однополостпого гиперболоида ха+уз — ха= ! и плоскости Зх+4у — ба=О, 1131. Локазат2ь что плоскость — +22=0 х у р пересекзет гиперболический параболоид 22 у2 Р— — — =2а (Р)0, !!)0) по прямой, и составить ее уравнения. 5 7.
ПЛОСКИЕ СЕЧЕНИЯ 7!39 ! 1132э. По какой линии касательная плоскость к одно- полостному гиперболоиду рассекает его асимптотический конус? 1133г. По какой линии однополостный гиперболоид рассекается ' касательной плоскостью к его асимптотическому конусу? 1134*. Плоскость гт пересекает конус хг у' гг — — — =О, лг+Ьг гг а =хЬ, по гиперболам. В каких границах может изменяться эксцентриситет гиперболы? 1136*. Написать уравнение плоскости, проходящей через начало координат и пересека7ошей по окружности эллиптический цилиндр '-,'-+'„—,'=1, )Ь. 1136в. Составить уравнение плоскости, пересекающей гиперболический цилиндр хг уг аг Ьг —,— — =1, афЬ, 1) х'+у' — «'=О, х — «+1=0; х' у! г' 4~3 2) — — + — + — =1, х+«+ — =0 9 4 1 3 3) х +2у'+гг+4ху — -1у«+ 2х — 6« = О, х — « = О.
!139*. Определить вид линии, по которой плоскость х+у+ « — 1 = 0 пересекает параболический цилиндр уз = 2х. по равносторонней гиперболе и проходящей: 1) через ось Ох; 2) через ось Оу. Найти полуоси этих гипербол. 1137э. Составить уравнение плоскости, пересекающей хг уг гиперболический параболоид — — — =2«, р ) О, !7 ) О, по Р ч равносторонней гиперболе и проходящей: 1) через ось Ох; 2) через ось Оу. Найти полуоси этих гипербол.
1138вх В каждом из следующих случаев определить вид линии пересечения поверхности с плоскостью и определить расположение линии относительно исходной системы координат: 166 ГЛ. ЧП. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА [ 1100 Написать каноническое уравнение этой линии и найти каноническую систему координат. 1140в. Определить вид линии пересечения конуса хя + +уз в гз=О с плоскостью 4х — Зу — бг+4=0. Написать каноническое уравнение этой линии и найти каноническую систему координат. 1141 0. Определить вид линии пересечения однополостного гиперболоида ха+уз — зз = 1 и плоскости 2х+ 2у+ з— — 1=0.
Написать каноническое уравнение этой линии и найти каноническую систему координат. 1!420. Найти фокусы эллипса, получзющегося при пересечении пилиндра ха+уз= Зб плоскостью Зх+ 4у+ 12з= О. 11430. Найти все значения параметра й, для каждого из которых плоскость пучка 2Х+У+ 2+ [0(У+ г) = 0 пересекает конус Ха+уз зз О по эллипсу. 1144"'.
Через прямую 2х=2у=з провести плоскость, пересекающую гиперболический параболоид 4хз — уз+ а=О по равносторонней гиперболе. 1146*. Какого типа линии получаются при пересечении двуполостного гиперболоида и плоскости, если плоскость пересекает: 1) одну полость гиперболоида; 2) обе полости гиперболоида. 1146*. Пусть плоскость и не проходит через вершину КОНУСа .ВТОРОГО ПОРЯДКа. ЛОКааат[ь ЧтО ПЛОСКОСТЬ П ПЕРЕСЕ- кает конус по эллипсу, если плоскость и', проходящая через вершину конуса и параллельная плоскости и, имеет с конусом только одну общую точку (вершину конуса); плоскость и пересекает конус по параболе, если плоскость и' и конус имеют единственную общую прямую (касается конуса вдоль этой прямой); плоскость и пересекает конус по гиперболе, если плоскость и' пересекает конус по паре различных прямых. 11470.
По линиям како~о типа может пересекать плоскость каждую из следующих поверхностей: 1) эллипсоид; 2) однополостный гиперболоид; 3) двуполостный гиперболоид; 4) конус; 5) эллиптический параболоид; 6) гиперболический параболоид. 167 $ Ь ПЛОСКИЕ СЕЧЕНИЯ ,наа1 1148Р. Найти необходимый и достагочныИ привнак типа линиИ пересечения плоскости Ах+ Ву+ Сх+ В = О а)Ь; с каждои из следующих. поверхностей: хг у' г' 1) у+ь— ,+Р— — 1; хг уг гг 3) — + — — — =-1. аг Ь' сг хг уг гг 4) — + — — — =О; ай Ьг ф 5) — +у-=22, р)О, 4)О; Р 6) — — У вЂ” =22, р)0, д >О.
Р Е 1149*. Найти все плоскости, пересекающие по окружности каждую ив следующих поверхностен: хг уг гг ) г +Ьгх+ гг хг уг 22 3) -х+ ь— , — хе — — — 1, а ) Ь; 5) — +» — =22, р)д)О; Р Ч а ) Ь. 1150*. Точка поверхности второго порядка навывается омбилическоИ, если касательная плоскость к поверхности в втоИ точке параллельна плоскостям круговых сечений. Найти омбилические точки каждой из следующих поверхностей: у' г' 1) —,+ — г+-д — — 1, а)Ь)с, хг уг 22 2) — + —,, — —,= — 1, а)Ь; х' уг 3) — + — = 22, р)д)О. 168 ГЛ.
Чц. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКЛ й 161 11б1в. Нзйти радиус кругового сечения эллипсоида яя уя г' --;+ —;+ —;=1, а)Ь)с, и однополостного гиперболоида хи уя ая ах ЬЯ гв — + — — — =1, а)Ь, плоскостью„проходяшей через центр поверхности. 11б2в. 1) Найти необходимое н достаточное условие того, что плоскость Ах+ Ву+ Са + В = О пересекает поверхность второго порядка а,(ха+ а,яУЯ+ ааааа+ 2аявУг + 2 аз;ГХ+ 2а„хУ+ +2атх+2а,у+2азв+ а=О (2) по центральной линии. 2) Определить координаты центра линии пересечения поверхности (2) с плоскостью (1). ГЛАВА УП! ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ И ПРОСТРАНСТВА В 1.
Аффинные преобразования Александров, гл.-Х1, Ц 1 — 5; гл. ХЧП, 4 12. М оден ов, гл. Х1Ч, 44 !7! — !79, !86. Постников, гл. 7, 4 1, пп 1 — 3; 4 2, и. 2. 1. Аффикные преобразования плоеяоелги 1163. Написать формулы поворота плоскости на угол гр: 1) вокруг начала координат; 2) вокруг точки (хо, уо). Система Координат прямоугольная. 1164. Написать формулы преобрззования гомотетии пло- скости с коэффициентом А: !) с центром в начале коорди- нат; 2) с, центром в точке (хо, уо). Система координат аффинная. 1166. Найти аффинное преобразование, переводящее вер- шины прямоугольного треугольника 0=(0, О), А=.(1, О), Б=(0, 1) соответственно в вершины равностороннего тре- угольника 0=(0, О), А=(1, О), 77'=— / ! р'з1 (2' 2 )' Система координат прямоугольная. 1166.
Найти аффинное преобразование, переводящее точку (6, — 2) в точку (1, 1), а векторы 12, 1) и ( — 1, 2) — соот- ветственно в векторы !4, 2! и ( — 3, 6). Система координа! аффинная. 1167. Определить аффинное преобразование, которое точки А,=(1.
О), А,=(0, 2), Аа — — ( — 3, О) переводит соот- ветственно в точки А;=(2, 3), А,'=( — 1, 4), А„'=( — 2,— 1), Система координат аффинная. 1168. Найти аффинное преобразование, обра гное преоб- разованию х'=2х+Зу — 7, у'=Зх+бр — 9, Система координат аффинная. 170 гл. щи. Иввовглзовяния плоскОсти и пРОстРАнстВА 1 Н55 1159. Ланы два аффинных преобразования: А: х'=2х+у — 5, у'=Зх — у+7; В: х'= х — у+4, у'= — х+2у+5.
Найман преобразования АВ и ВА. Система координат аффинная. 1160. Лано аффиниое преобразование х'=Зх+4у — 12, у'=4х — Зу+6. На прямой 7х — 2у — 24=0 найти такую точку, которая при этом преобразовании переходит в точку, лежащую на этой прямой. Система координат аффинная. 1161. Лано аффинное преобразование х' = 2х+у — 2, у' = — х — у — 1 и точка А =(1, 1), Найги прямую, проходящую через точку А, которая при этом преобразовании переходит в прямую, также проходящую через точку А. Система координат аффинная.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
