1610840688-354d60f870aa4b4d07a90e025d5836ea (824169), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Система координат аффинная. 1202Ф. Найти инвариантные точки, инвариантные прямые и инвариантные плоагости аффинного преобразования х' = бх — 2у — За, у'= — 2х+ ЗУ вЂ” 6а+ 6, а'= — Зх — бу — 2а+ 12. 1203Ф. Найти аффинное преобразование, являющееся сжатием к плоскости 2х — 2у+ л — 2 = 0 с коэффициентом 1 сжатия —. Система координат прямоугольная. 120аэ Д 04 .
Доказать, что при подобном преобразовании плоскости или пространства с коэффициентом подобия 75 ~ 1 существует неподвижная точка и притом только одна. 1206. Н 06. ".аписать формулы аффинного преобразования пространства, переводящего репер с начальной точкой 176 ГЛ НП! ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ И ПРОСТРАНСТВА [ !збб А =.(х„уо, «з) я базисными векторами аз )аз!, а,т, аз!), аз= — ~азм аз„лзз), аз — — ~агз, а,д, азз) в репер с начальной точкой А'=(хз, у,', аз) и базисными векторами Ьт= =~8!!, Ь„, Ьз!), Ь,=~Ь,з, Ьы, Ьзз), Ь,= ~8!а, Ьзз, Ь„).
9 2. Аффинные преобразования линий второго порядка А л с к с а и д р о в, гл. Хт!1, 8 5. А1 о д с 'и о в, гл. Х 1Т!, Я 187, 188. 1206. Найти геометрическое место точек пересечения касательных к эллипсу, проходящих через концы его сопрямсенных диаметров. 1207. Нанти геометрическое место середин хорд эллипса, соединяющих концы сопряженных диаметров. 1208. Определить коэффициент гомотегии двух гомотетичных эллипсов с общим центром, если треугольник, вписанный в первый эллипс, является описанным около второго эллипса.
1209. Доказать, что центр тяжести треугольника, вписанного в один эллипс и описанного около другого, гомотетичного первому, с тем же центром, есп цеилр эллипса. 1210. Определить геометрическое место середин хорд эллипса, отсекающих от него сегменты постоянной площади. 1211. Доказать, что прямые, соединяющие концы сопряженных диаметров эллипса, касчются эллипса, гомотетичного данному. Нанти коэффициент гомотетии. 1212о.
Доказать, что отрезка ЛЛ! и ЛЛз касательных, проведенных из какой-либо точки Л к эллипсу (Л! и Л вЂ”. точки касания), относятся между собой как диаметры, которым они параллельны. 1213в. Доказать, что длины хорд, стягивающих дуги, заключенные между двумя параллельными секущими к эллипсу, относятся друг к другу как диаметры эллипса, параллельные этим хордам.
1214. Около эллипса описан четырехугольник. Доказать, что сумма площадсн двух треугольников, имеющих общей вершиной центр эллипса, а основаниями соответственно две противоположные стороны четырехугольника, равна сумме площадей двух других таких же треугольников. 1215. Пусть А, А' — концы одной пары сопряженных диаметров эллипса, а В, В' — концы другой пары сопряжен- Ь 2. АФФиииые пРеоБРАзовлиия линии !77 1222 ! ных диаметров.
Доказать, что среди прямых АВ, А'В', АВ' н А'В есть две параллельные. 1216. Доказать, что два сопря1кенпых диаметра эллипса делят его на четыре равновеликие часги. 1217. Доказать, что если Мя=(х„ у,) — произвольная точка плоскости и Р— точка пересечения луча ОМ с эллипх у',х,' у,' 10М 12 сом — + — = 1, то — '+ — ' = ~=) . аа Ья ая Ья ! ОР,) 1218в. Найти аффинное преобразование, которое переводит в себя эллипс 1219а. Найти аффинное преобразование, сохраняющее ориентапию„ при котором эллипс хя уя а' Ь' — + — =1 переходит в тот же эллипс и точка (а, О) переходит в точку (0, Ь). 1220Ф.
Найти те аффинные преобразования, .при которых гипербола ху=с переходит в себя. 1221*. Найти все аффинные преобразования, переводящие хя уя гиперболу — — — = ! в себя. Доказать, что определитель а2 Ья этих преобразований равен '+ !. Показать, что все эти преобразовзния образуют группу. 1222*. Определить аффинное преобразование, при котором гипербола хя †у 1 переходит в ту же гиперболу, причем точка (1, О) переходит в точку ()Г22, !). 1223Ф. 1) Найти общий вид аффинных преобразований, при которых парабола ух= 2рх переходи~ в ту же параболу. 2) Найти все аффинные унимодулярные преобразования, при которых парабола уя= 2рх переходит в ту же параболу.
1224Ф. Доказать, что существует и притом только одно аффинное преобразование, переводящее пзраболу в себя, при котором две произвольные точки параболы переходят в две точки, также лежащие на этой параболе. 1225Ф. Определить такое аффинное преобразование пара/! болыу2=2х в себя, которое переводит точки (2, 2) и ! —, ! ) /9 соответственно в точки (8, 4) и 1- , 3). 178 Гл нш пРВОВРАЗОВАния плОскости и пРОстРАнстВА ! 1226 1220в. Определить геометрическое место середин хорд параболы у'=2рх, отсекающих сегменты параболы постоянной площади.
1227в. Доказать, что: 1) при всяком аффинном преобразовании существует равносторонняя гипербола, образом которой является равносторонняя гипербола; 2) если аффипное преобразование переводит некоторую окружность в окружность, то это преобразование является подобием. ф 3. Изометрические преобразования Александров, гл. Х1, 4 6 — 8; гл. ХХЧ, ЭЭ 3, 4. М оде в о в, гл. Х!7, Я 180 — 183.
Пост в иков, гл. 7, $ 1, и. 5; 6 2, и. 1, пп. 3, 4. Во всех задачах этого параграфа система координат предполагается прямоугольной. 1. Изометрические преобразования плоскости 1228. Написать формулы поворота ориентированной плоскости на угол гр вокруг точки (хо, уо). 1229. Найти неподвижную точку изометрического преобразования плоскости х' = х соыр — у з1п <р+ х, у =ха!пф+усозтр+уо, гр ~ 272п. 1230в. Написать формулы изометрического преобразования плоскости, являющегося произведением симметрии относительно прямой, проходящей через точку (хо, уо) с направляющим вектором а=!Соэ~р, а1пгр), и переноса вдоль этой прямой' на вектор, имеющий направление вектора а и длину А 1231*. Дано изометрическое преобразование х =х+хо У = У+Уо меняющее ориентапию плоскости.
Найпа ось симметрии и век- тор переноса вдоль оси симметрии. 12391 1 а. изОметРические пРеОБРАВОВАния 179 1232а. Дано изометрическое преобразование х'= х соз 2р+у з!и <р, у' = х зш гр — у соз <р, меняющее ориентацию плоскости. Доказать, что это преобрззование является симметрией относительно прямой, и написзть уравнение оси симметрии.
1233а. Дано изометрическое преобразование х' = х соз гр+у 21п гр+ х„ у =хз1п~р — усоз~р+ум Найти ось симметрии и вектор переноса, коллииеарный оси симметрии. Найти канонический вид данного преобразовзния. 1234з. Дано изометрическое преобразование 4 3 х' == — х — --у+ 6 5 5 3 4 у — А.
— — у — 12. 5 5-" Найти ось симметрии и вектор переноса вдоль оси симметрии. Найти канонический вид данного преобразования. 1235. Найти изометрическое преобразование, при котором каждая точка переходит в точку, симметричную ей относительно прямой х+у — 5=0. 1236. Найти изометрическое преобразование плоскости, являющееся симметрией относительно прямой 2х+у — 2 = О. 1237а. Найти изометрическое преобразование, при котором каждая точка переходит в точку, симметричную ей относительно прямой Ах+Ву+С=О.
1238. Нанти изометрическое преобразование, сохраняющее ориентацию и переводящее точку (1, 0) в точку (О, 0), а точку (О, 0) в точку (О, 1). Найги угол поворота <р и неподвижную точку этого преобразования. 1238ч. Найти изометрическое преобразование, меняющее ориентацию и переводящее точку (1, 0) в точку (О, 0), а точку (О, 0) в точку (О, 1). Найти ось симметрии и вектор переноса вдоль оси симметрии. [ЗО Гл. чи!, пРБОБРАЗОВАния плОскОсти и пРОстРАнстВА [ 1340 2. Изолгегпричесние преобразовании пространства 1240"'.
Пусть х =- аых+ агзу+ агзе+ 1ггй У' = а„х + а,зУ + а,за + Ьз, (') з =. азгх+ иззу+ аззе+ Ьз — изометрическое преобразование; А=- ам азз азз — ортогональная матрица этого преобразования и с[е[А=+ 1; Ь = (Ьг, Ьз, Ьз) — вектоР пеРеноса. 1(оказать, что: !!Оот 1) Если А=Е=!О ! О~ и Ьфб, то преобразование(1) О О 1 является переносои на вектор Ь. Его капоническгий вид х'*=хе+а, у'и=у», где а=! Ь!. 2) Если А ф Е, то преобразование (1) является произведением поворота вокруг оси н переноса вдоль этой оси. Угол гр поворота определяется из соотношения СОагр= "+ам+ т, 0(тр(П.
2 Координаты направляющего вектора а=(аг, а,, аз) оси вра- щения определяются из системы уравнений (агг — 1) аг+ агзаз+ агза =О, азгаг+ (азз — 1) аз+ аззаз = О, азгаг + аззаз + (азз 1) аз — О (2) и неравенства ! ! агг аг О аз, а, >О, О ам аз азз аг ) О. если векторы е, = ! 1, О, О) и а == (аг, аз, аз! не коллинеарны и гр ф п. Если векторы е, и а коллинеарны, то следует воспользоваться неравенством з 3. ИЗОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ !з! 224! 1 Канонический вид преобразованисн х'*= хз соз ф — у* з!и <р, у'з = хз з!п !р+у* соз гр, «уз з где (а, Ь) )и! ' Вектор с=(сдч сз, сз) переноса вдоль оси вращения определяется равенством (а, Ь) с= — — ' ст.
(а, а) Координаты точек, лежащих на оси вращения, удовлетворяют системе уравнений (ап — 1) х+адзу+адз«+Ьд — с,=О, а„х+(аз, — 1)у+ а,,«+Ьз — с =.-О, аздх+аззу+(азз — 1) «+Ь,— с,=.О. 1241з. Пусть х' = аддх + а„у+ адз«+ Ьд, У' = аздх + аз,у+ азз«+ Ь„ « =аздх+аззу+ азз«+Ьз — изометрическое преобразование; )'адд адз адз) А= а,д азз а.,з аз! азд азз — ортогональная мадрида этого преобразования и г(е! А = — 1; Ь=(Ь„Ь„Ьз) — вектор переноса Локазать, что: 1) Если след матрипы-А, адд+а„+азз —,.~ 1, то преобразование (1) является произведением симметрии относигельно плоскости и поворота вокруг оси, перпендикулярной к плоскости симметрии. Угол др поворота определяется из соотнощения соз<р=а"+а"+ада+1, О - (и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
