1610840688-354d60f870aa4b4d07a90e025d5836ea (824169), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Система координат прямоугольная. 926*. Доказать, что если общее уравнение линии второго порядка относительно аффинной системы координат а„хя+ 2а,аху+ ад,ув+ 2а,х+ 2аву+ а =- О является уравнением парзболы, то вектор 1А„А9), где А, и Ая являются алгебраическими дополнениями элементов а, и аа в определителе ! адд ад, а, ~ авд ам ав, а, а, а коллинеарен диаметрам параболы и направлен в сторону ее вогнутости. 5 П.
С. Молевое, А. С. Пархоненно 1 яат ГЛ. ЧК ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 9 7. Метрические задачи на линии второго порядка в аффинных координатах Модеиов, Дополвевие П, пп. 3, 4. 927о. 1) Составить уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом г, зная метрические коэффициенты Ат„ етм е;, базиса ет, ем 2) Рассмотреть частный случай (ет(=)ея)=1, е,, е,=ю.
928"'. 1) Найти необходимое и достаточное условие того, чтобы общее уравнение линии второго порядка а!!ха+ 2ажху+ аязу'+ 2атх+ 2аяу+ а =О в аффинной системе координат с метрическими коэффициентами сгтч Ата, Аяа опРеделЯло окРУжность (действительнУю, нулевую илн мнимую). 2) Рассмотреть частный случай )ет(=~еа(=1, е,, е,=ю. 929а. 1) Найти условие, необходимое и достаточное для того, чтобы общее уравнение линии второго порядка аыха+ 2атаху + ааяуа + 2атх+ 2аяу+ а = О в аффинной системе координат с метрическими коэффициентами дтт, дта, еяа являлось уравнением действительной окружности. 2) Найти ее центр С и радиус г. 930а.
Найти длины а и Ь действительной и мнимой полуоси гиперболы ху=1 и угловые коэффициенты Ь! и Ьа ее действительной и мнимой оси, если (е!)=(ея(=1, е! е,=ю. 931"'. Дан многочлен а,тх'+ 2а,'яху+ а„у'+ 2атх+ 2а,у+ а и невырожденная квадратичная форма аттх'+ 2ьтяху+ аязу'. 222 1 а 7 МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В АФФИННЫХ КООРДИНАТАХ 131 Доказать, что следующие функции коэффициентов ап ад, Рм "да Лм Ада а лад Яаа аад ааа !~,'::."! ' !ад, ада !+ !ддд а,а! являются инвариантами невырожденного линейного неоднородного преобразования а х=сд,х +сд,у +с;, У = са,х' + с,а 17 + с,.
932Ф. Относительно аффинной системы координат с метрическими коэффипиентамн дд„й;а, даа ее базиса пеитральная линия второго порядка задана общим уравнением аддха+ 2адахУ+ аааУа+ 2а х+ 2ааУ+ а = О. система коорди этой линии им (см. задачу. 931), Доказать, что: 1) существует прямоугольная наг О'х'у', в которой приведенное уравнение ест вид а,хн+)д,у" +' =О 1, где Ад и Аа — коРни хаРактеРистического УРавнениЯ а — Ха а — Хе ! О а,д — фдад ада — айда (а,д — )ддйдд) х+ (а,а — АдАда)у = О, ( (аад — ),дьдад) х+ (ааа — )чада)У = О (д=1, 2). 2) координаты х, у направляющих векторов е,' и е,' осей О'х' и Оу' определяются из системы уравнений 132 [ 933 ГЛ.Ъ!, ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 933в. Относительно аффинной системы координат с метрическими коэффициентами 811, лт„ ттаа ее базиса парабола задана общим уравнением а„,х'+ 2а„ху+ а„у + 2атх+ 2аау+ а = О.
Локазать, что: 1) параметр р этой параболы Определяется соотношением р=1/ — — ', (см. задачу 931); ! 2) вектор [А„А9) оси парзболы направлен в сторону вогнутости параболы (см. задачу 926); 3) ось параболы определяется уравнением сс (атдх + атяу+ ат) + р (аятх+ ааау + аа) = О, где вектор (и, р) определяется из условия перпендикуляр- ности его к вектору (ати — а„) илн (авм — а19). при этом надо использовать условие перпендикулярности двух векто- ров В аффинной системе координат с метрическими коэффи- циентами «11, ат„ 8;9 ее базиса. 934*. Установить, какая линия определяется каждым из следующих уравнений в аффинной системе координат с задан- ными метрическими коэффициентами 81„ать ааа.
Написать каноническое уравнение линии и найти ее расположение. 1) ха+2ху+Зуа+Зх — '4у+9=0, Юи = ь'19 = 1 899 = 3 2) 20ха+ 124ху+ 221ут — Збх — 126у+ 9 =0, дм = 4, А19 — — 6, даа = 25; 3) 2ху — 4х+2у+1=0, у!1=4 8ы=1, д99 1; ! 4) х — Зху+у +5=0, 811=1, д19=--2, два=1; 5) ха — 4ху+4уа — 4х — 4у=О, а =1, 1 2' 935в. 1) Найти условие, необходимое и достаточное для того, чтобы линия второго порядка аыХ + 2а19ХР+ ааау == 1, заданная в аффинной системе координат с метрическими коэффициентами дтт,.л19, 899, была эллипсом. 940 1 5 7. метРические 3АдАчи в АФФинных кООРдинАтАх 1ЗЗ 2) Найти длины а и Ь большой и малой полуосей эллипса и угловые коэффипиенты Ьд и Ьд его большой и малой осей.
936Ф. 1) Найти условие, необходимое и достаточное для того, чтобы линия второго порядка аых + 2адаху + адду = 1, заданная в аффинной системе координат с метрическими коэффипиентами едд, ддз, еа„была гиперболо3. 2) Найти длины а и Ь действительной и мнимой полуосей гиперболы и угловые коэффипиенты Ьд и йд ее действительной и мнимой осей. 3) При каком необходимом и достаточном условии гипербола будет равносторонней? Чему равны ее полуоси? 937Ф. 1) Найти параметр р и вершину О' параболы уа=2дх, д Р О, заданной относительно аффинной системы координат с метрическими коэффиниентами ддд, едд, ддд.
2) Рассмотреть частный случай (ед)=(ед ~=1, е,, еа=ьд 938Ф. Найти длины а и Ь большой и малой полуосей эллипса и угловые коэффипиенты Ьд и Ьд его большой и малой осей, если эллипс задан уравнением ха+у'= 1 относительно аффинной системы координат, при условии, что ! е 1=! е 1= 1, е, е = 939". Найти длины а и Ь действительной и мнимой полуосей гиперболы и угловые коэффипиепты Ьд и Ьд ее действительной и мнимой осей, если гипербола задана уравнением хз — уз=1 относительно аффинной системы координат, при условии, что ~ед!=)еа!=1, ем ед=вд.
940*. Написать уравнение пары главных осей пентральной линии второго порядка аых'+ 2аддху+пдву = — а, заданной относительно аффинной системы координат с мет- рическими «оэффипиентами ддд, ддд, дат. ГЛАВА Ч11 ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА В 1. Сфера Во всех задачах этого параграфа система координат предполагается прямоугольной. 941.
Определить координаты центра и найти радиус каждой из следующих сфер: 1) х'+у'+ аа — 12х+ 4у — 6а = 0; 2) ха+уа+ а+Зх=О; 3) ха+уа+г' — 2х+4у — 6а — 22=0; 4) ха+у'+ха — бл — 7=0. 942*. При каком необходимом и достаточном условии уравнение аттх'+ ааау'+ аааа'+ 2аюуа+ 2ааьах+ 2 птаху + + 2атх+ 2аау+ 2ааа+ а= 0 является уравнением сферы (действительной, нулевой или мнимой)? 943ч. При каком необходимом и достаточном условии уравнение Аха+ Аут+ Ааа+ 2Вх+ 2Су+ 2Вл+ В= 0 определяет: 1) действительную сферу; найти в этом случае ее центр и радиус г; 2) нулевую сферу; 3) мнимую сферу.
944. Составить уравнение сферы радиуса г, которая касается: 1) трех координатных плоскостей; 2) трех координатных осей. 945. Найти центр и радиус окружности ха+уа+ аа — 12х+ 4У вЂ” ба+ 24 = О, 2х+2у+а+1=0. 946*. Дано уравнение сферы 8: ха+уа+аа=1та и уравнение плоскости гп Ах+Ву+Са+.0=-0. 952 ! 9 Е СФЕРА 1) При каком необходимом и достаточном условии плоскость и пересекает сферу о? Предполагая это условие выполненным, найти венгр н радиус р окружности К по которой пересекаются сфера 8 и плоскость и. 2) При каком необходимом и достаточном условии плоскость и касается сферы 87 Предполагая это условие выполненным, найти точку касания.
3) При каком необходимом и достаточном условии сфера Ю и плоскость 29 не имеют ни одной общей точки7 947. Составить уравнение плоскости, касающейся сферы (х — )'+ (у — Ь)'+ ( — с)'= !та в данной на ней точке (ха, уа, «9). 948. Лана сфера ха+уз+за+Ох+8у+1=0 и плоскость 2х — у+ г — 1 = О.
Найти плоскость, касательную к данной сфере, параллельную данной плоскости и расположенную так, чтобы пентр сферы находился между данной и искомой плоскостями. 949. Составить уравнения плоскостей, касающихся сферы (х — а)2+ (у — Ь)2+ (з — с)2 =!92 и параллельных плоскости Ах+ Ву+Сз+ Р=О. 950*. Нзписать уравнения плоскостей, проходящих через прямую х — !3 т+! 2 — ! ! 4 и касаю|цихся сферы ха+уз+ за — 2х — 4у — Оз — 67 = О.
961*. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку (б, 2, 0) и касающейся сфер ха+у'+ 22 — 12х — 2у + 22 + 37 = О, ха+уз+ 22 — 10х — 8з+ 32 = О. 9829. Составить уравнение сферы, проходящей через окружность х'+у2=11, а=О и касающейся плоскости х+у+ з — б = О. 136 ГЛ.ЩД, ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА [ оаа 953о. Состави~ь уравнение сферы, проходящей через окружность хо+уо+ «о+ 2ах+ 2Ьу+ 2с«+ г(= О, Ах+ Ву+ С«+ В = 0 и через точку (хо, уо, «о), не лежащую на плоскости Ах+Ву+С«+0=0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
