1610840688-354d60f870aa4b4d07a90e025d5836ea (824169), страница 25
Текст из файла (страница 25)
954*. Составить уравнение сферы, проходящей через окружность хо+уз+ «о+ 2х — 4у+ 4« — 40 = О, 2х+2у — «+4=0 и через начало координа~. 955*. При каком необходимом и достаточном условии плоскость Ах+ Ву+ С«+ П = О пересекает большой круг ,сферы хо+уз+«о=ото, лежащий в плоскости Оху. 956. Плоскость, заданная уравнением Ах+ Ву+С«+ П = = — О, пересекает сферу х'+у'+ «'= Ро, но не проходит через ее центр.
При каком необходимом и достаточном условии точка (хо, уо, «о) лежит внутри шарового сегмента, ограниченного сферой и плоскостью и не содержащего центр сферыу 957о. Доказать, что если точка М=(хо, уо, «о) лежит вне сферы х'+уз+ «о+ 2ах+ 2Ьу+ 2с«+ а' = О, то квадрат длины отрезка касательной, заключенного между точкой М и точкой касания, равен хо+Уоо+«о+ 2ахо+ 2ЬУо+ 2с«о+о(. 958о. С~слепые точки М относительно сферы с центром С и радиусом )д' называется число о=(СМ(о — Во. Найти степень точки М=(хо, у„«,) относительно сферы хо+уз+ «о+ 2ах+ 2Ьу+ 2с«+ а' = О. 959о.
Найти геометрическое место точек, для каждой из которых степени относительно двух неконцентрических сфер х'+уз+ «о+ а,х+ Ь у+ с «+ г(д — — О, х +у +«+аох+Ьоу+ со«+д(о — — 0 равны между собой. 960о. Радикальной плоскостью двух неконцентрических сфер называется плоскость, являющаяся геометрическим 137 $ е сФЬРА вза 1 местом точек, степени каждой из которых относительно этих сфер равны между собой. 1) Даны три сферы, центры которых не лежат на одной прямой. Локазатгь что три радикальные плоскости этих сфер, взятых попарно, проходят через одну прямую. Эта прямая называется радикальной осью трех дзнных сфер.
2) Ланы четыре сферы, центры которых не лежат в одной плоскости. Локазать, что шесть радикальных плоскостей этих сфер, взятых попарно, проходят через одну точку и что через ту же точку проходят четыре радикальные оси этих сфер, взятых по три. Эта точка называется рздикальным центром четырех рассматриваемых сфер. 961 Ф. Найти геометрическое место центров сфер, пересекающих ортогонально две данные неконцентрические сферы.
962з. Найти геометрическое место пентров сфер, пересекзющих ортогонально три сферы, не имеющих ни одной общей точки, если их пентры не лежат на одной прямой. 963". Составить уравнение сферы, ортогональной четырем сферам: ха+ а+ з 9 (х+ 5)Я+ (у — 1)з+ (з+ 2)Я = 63, (х+ 1)'+у'+ (а+ 3)' = 39„ ха+(у+ 1)а+(з — 2)'= 10, 964.,Ланы уравнения двух действительных пересекающихся сфер ха+уз+за+2атх+2Ь у+2стз+с(,=0, ха+Уз+ за+ 2аях+ 2Ь У+ 2саз+ Ыя = О.
При каком необходимом и достаточном условии две такие сферы ортогонзльны? 966Ф. Точка Ма — — (хм ум зв) лежит вне сферы (х — а)Я+ + (у — Ь)а+(а — с)я= — Щ Составить уравнение плоскости, содержащей окружность, вдоль которой конус с вершиной Ма, описанный около данной сферы, касается этой сферы. 966. Написать уравнение сферы с центром в точке (гз) и радиусом )с.
967Ф. При каком необходимом и достаточном условии плоскость (г, м)=7? и сфера (г — га, и — гв)=Й'. 1) пересекаются, 2) касаются, 3) не имеют нн одной общей точки? 968*. Сфера 8 задана уравнением (г — гм г — гз)=)са1 прямая Л задана уравнением г=гт+ас. При каком необхо- 138 ГЛ. Н1Ь ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 1 969 димом и достаточном условии прямая А пересекает сферу О, касается сферы 8, не имеет со сферой В ни одной общей точки? 969*. Плоскость (г, м)=Р пересекает сферу (г — го* г — го)=-Й'. Найти радиус-вектор гд центра С и радиус р окружности сечения. 979*. При каком необходимом и достаточном условии уравнение (г, г)+2(а, г)+О=О является уравнением действительной сферы? Предполагая это условие выполненным, найти центр С и радиус В сферы.
971*. Ланы три некомпланарных вектора ОА=а, ОВ=Ь, ОС=с. Найти рздиус-вектор г центра сферы, касающейся плоскости ОАВ в точке О и проходящей через точку С. 9729. Лапы радиусы-векторы гт, г„го точек М„Ме, Мо, не лежащих в одной плоскости с началом О радиусов-векторов. Найти радиус-вект ор г центра сферы, проходящей через точки О, Ми М,, М,. 973*. Даны три некомпланарных вектора ОА=а, ОВ=Ь, ОС=с. Найти радиус-вектор г центра сферы, которая касается прямой ОС в точке О и проходит через точки А и В.
974*. Начало О радиусов-векторов служит центром окружности радиуса р, плоскость которой перпендикулярна к единичному вектору н. Найти радиус-вектор г=Ж центра С сферы, которзя проходит через данную окружность и точку А, заданную радиусом-вектором ОА=а, при условии, что (а, и) чя: О. 9 2. Пилнндры и конусы второго порядка е) А л е к с а н а р о в, гл. ХЧ!11, 44 2, 3. Моде нов, гл. 1Х, Ц 131, 135.
Постянков, гл. 5, ~ 3, пп. 7, 8. Во всех задачах этого параграфа система координат предполагается прямоугольной. 975е. Написать уравнение круглого цилиндра радиуса г, осью которого является прямая л-Рхо у — уо е — го а 5 с ') См. также задачи 345 — 348.
эах ! э и цнлиндпы н конхсы втогого погядкл 139 976. Написать уравнение круглого цилиндра, проходящего через точку (1, — 2, 1), осью которого служит прямая л у — 1 г-!-3 1 2 — 2 977э. Составить уравнение цилиндра, описанного вокруг сферы ха+уз+зз=гз, зная направляющий вектор (а, Ь, с! образующих цилиндра. 978. Составить уравнение цилиндра, образующие которого кзсаются сферы ха+уз+за=-1 и составляют равные углы с осями координат.
979*. Написать уравнение цилиндра, направляющей которого служит окрузкность ха+уз=1, г=.-О, з образующие составляют с осями координат равные углы. 980в. Направляющей цилиндра служит окружность хз+ -)-уз= г', з = О, его обравующие параллельны вектору (О, р, 7). Написать уравнение этого цилиндра и привести его к каноническому виду, пользуясь преобразованием прямоугольных координат. 98!в.
Написать уравнение параболического цилиндра с параметром р.= —, зная вершину О =(2, 1, — 1) пара- 2 бовы, получзющейся при пересечении цилиндра плоскостью, перпендикулярной к его образующим, нзправляющий век- !2 2 !! тор е'= ! —, —, — ! оси этой параболы и направляющий !2 1 2! вектор е;= — ! —, — --, — —. ! касательной в ее вершине. '13 3 3!' 982. Доказать, что линия пересечения двух параболических цилиндров лежит на круговом цилиндре. Каково уравнение этого цилиндра? 983э. Написать уравнение круглого конуса, вершина которого находится в точке (хэ уз, хз), ось параллельна вектору 1а, Ь, с), а образующие составляют с осью угол !р. 984э.
Составить уравнение поверхности круглого конуса, вершина которого находится в точке (1, 2, 3), направляющий вектор оси (2, 2, — 1), а угол образующих конуса с его осью равен —.. б' 140 ГЛ. ЧП. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА [ 995 985а. Написать уравнение круглого конуса, касающегося плоскостей Ох«и Оу» по прямым Ох и Оу. 986в. Составить уравнение поверхности круглого конуса при условии, что все три оси координат служат образующими конуса, а ось конуса проходит в первом и седьмом актантах; составить также каноническое уравнение этого конуса.
987а. Составить уравнение поверхности круглого конуса, касающегося трех плоскостей координат, зная, что ось его проходит в первом и седьмом актантах; составить также каноническое уравнение этого конуса. 988*: Написать уравнение круглого конуса, для которого оси Ох и Оу являются образующими, а ось О» составляет с осью конусз, проходящей в первом и седьмом актантах, угол —. Написать также каноническое уравнение этого ко- 4 нуса. 989Я. Написать уравнение конуса с вершиной в точке (О, О, с), описанного около сферы ха+у'+»'=г' (с) г). 990*.
Найти острый угол между образующими конуса ха+у' — »9=0, по которым его пересекает плоскость бх+ 10у — 11»= О. 991*. Написать уравнение конуса с вершиной (2, 3, 6), зная, что плоскость Оху пересекает его по эллипсу, оси которого параллельны осям Ох и Оу, причем эллипс касается этих осей координат. 992а. Написать уравнение конуса, вершина которого находится в точке(0, О, а), а направляющей служит гипербола 2ху=а', «=О. Пользуясь преобразованием прямоугольных координат, привести полученное уравнение конуса к каноническому виду.
998*. Написать уравнение конуса, вершина которого находится в точке (О, О, р), а направляющей служит парабола у'= 2рх, « = О. Пользуясь преобразованием прямоугольных координат, привести полученное уравнение к каноническому виду. 994*. Написать уравнение конуса с вершиной в начале координат, направляющей которого служит эллипс хг уг гг х у г аг Ьг сг ' а Ь с — + + =1, — + — +--=1. 996*. Написать уравнение конуса, проходящего через прямые у= + х, » = 0 и точку (1, 2, 3), для которого ось О» является осью симметрии.
!ееа ! 4 х эллипсоиды, гипкгволоиды, плглволоиды !4! 9 3. Эллипсоиды, гиперболоиды, пириболоиды *) А л е к с а в д р о в, гл. ХУП!, Я 4, 8. Моде и о в, гл. !Х, Я !28 — 130, 132 — !34, П о с т и и к о в, гл. 5, 4 3, пп. ! — 3, 5, 8. Во всех задачах этого параграфа система координат предполагается прямоугольной. 996в. Написать уравнение параболоида вращения с пара- метром р=б, вершина которого находится в первом октанте, зная, что плоскость Оху пересекает параболоид по окруж- ности с радиусом 3, касающейся обеих осей Ох и Оу. 997е.
Написать уравнение параболоида вращения с пара! метром р'= —, вершиной (1, О, — 1) и направляющим век=3* !2 1 2! тором оси вращения '!3 з з!' 998в. Написать уравнение параболоида вращения с пара- метром р, с вершиной в точке О'=-(х„уе, «е) и направ- ляющим вектором оси и=!а, Ь, с). 999в. Эллипс с полуосями а и Ь, а ~ Ь, с центром в точке О'=(хе, уе, «е) и направляющим вектором большой оси и=!сь р, у) вращается около своей большой оси. На- писать уравнение полученного эллипсоида вращения. 1000в. В плоскости Ох«дана парабола х'=2р«, у=О. По ней перемешается вершина другой параболы с парамет- ром д, плоскость которой остается все время параллельной плоскости Оу«, а ось — параллельной оси О«. Составить уравнение поверхности, описываемой подвижной параболой.
1001в. Установить, пересекает ли плоскость 2х+2у+ « — З=О эллипсоид «2 ха+уз+ — - = 1. 4 1002в. По какой линии плоскость х+у — «+3=0 пересекает двуполостный гиперболоид хе+у' — «'= — 4? 1003. Определить вид и расположение линии пересечения гиперболоида ле уе «е — + — — — = 1 9+8 2 и плоскости х= 9. ') См. также задачи 349 в 352. 142 ГЛ.ШЕ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 1 1000 1004. По какой линии плоскость х=а пересекает однополостный гиперболоид 1006". Написать уравнение плоскости, проходящей через ось Ох и пересекающей однополостный гиперболоид ха уя х' ах Ьа с' — +, — =1 по паре прямых. Найти эти прямые.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
