1610840688-354d60f870aa4b4d07a90e025d5836ea (824169), страница 43
Текст из файла (страница 43)
246 ГЛ. 1Х. ПРОЕКТИВНАЯ. ГЕОМЕТРИЯ [! 473 1673*. При каком необходимом и достаточном условии поверхность второго порядка, заданная общим уравнением относительно проективной системы координат: а,гх;+ а,зх, '+ аззхз+ а44х4+ 2а,зх,х, + 2а,зхтхз+ + 2а,ахтх4+ 2а,зл зхз + 2а,ахзх4+ 2азахзх4 — — О, является действительной овальной поверхностью второго порядка? 1574. Доказать, что любая плоскость проективиого пространсгва пересекает поверхность второго порядка по линии второго порядка. 1675*. Относительно проективной системы координат в про ективном пространстве задана поверхность второго порядка общим уравнением: а,тх, + аазхз+ аззхз+ а44х4+ + 2а„х,хз+ 2агалтхз+ 2а,ах,х4+ + 2аззх,ха + 2аыхзх4+ 2аззхзх = О, При каком необходимом и достаточном условии плоскость ! итхт + изхз + изхз+ и4х4 = О пересекает эту поверхность по паре прямых (действительных или мнимых, различных или совпадающих)? 1676"'.
Уравнение поверхности второго порядка в проективном пространстве является или уравнением действительной невыроткдающейся поверхности второго порядка, или урзвнением действительного конуса второго порядка. Составить уравнение касательной плоскости к этой поверхности в данной на ней точке Л44=(х11хя"1х41х4) (в случае конуса точка Л44 отлична от вершины конуса). 1577з. Доказать, что касательная плоскость к поверхности второ~о порядка пересекает ее по линии вгорого порядка, распадаюп1ейся на пару прямых (действительных или мнимых, различных или совпадающих). 1678".
Доказать, что: 1) касательная плоскость к действительной овальной поверхности второго порядка пересекает эту поверхность по паре мнимых пересекающихся прямых, действительной точкой пересечения которых является точка касания; 247 % 5. ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО 1585 1 2) касательная плоскость к тороидальной поверхности второго порядка пересекает ее по двум действительным прямым, пересекаюн1имся в точке касания; 3) касательная плоскость к действительному конусу второго порядка в точке, оглнчной от его вершины, пересекает конус по двум совпадающим прямым; 4) касзтельные плоскости к тороидальной поверхности второго порядка в двух различных точках одной и той же прямолинейной образуюшей различны; 5) касательные плоскости в двух различных точках одной и той же образуюшей конуса второго порядка совпадают.
1570в. Относительно проективной системы координат АдАгА5А4Е в проективном пространстве задана действительная невырождаюшаяся поверхность Ь' второго порядка: Р(хг, хг хз, х4)=атгхг1+аггхг+аггхгг+аьгх44+ + 2атгзггхг + 2атзхгха+ 2атгхгх4+ 2аггжгхг+ + 2аг445 44+ 2а844гж4 — О. 1) Составить урзвнение конуса К с вершиной Лг = = (жг:хг:.т,':х4), описанного около данной поверхности. 2) Доказать, что линия касания конуса К с поверхностью 8 плоская, и составить уравнение той плоскости, в которой она расположена. 1580. Составить уравнение семейства поверхностей второго порядка, касающихся двух граней хд —— О, хг= — 0 базисного тетраэдра АТА,А8А» в точках Аа=(0:0: 1:0), А4 = =(О;О:О: 1).
1581в. Доказать, по два конуса, описанные около поверхности второго порядка, пересекаются по двум плоским линиям второго порядка. 1582":. 1) Составить уравнение поверхности второго порядка, если известно, что ребра А1А8, А,А4, АгА„ А,А4 базисного тетраэдра и единвчная точка проективной системы координат лежат на его поверхности. 2) Составить уравнения двух серий прямолинейных образующих этой поверхности.
1583"'. Составить уравнение пучка поверхностей второго порядка, касающихся поверхности Г= 0 по линии пересече- ниЯ этой повеРхносги с гРанью АгА8А4 базисного тетРаэдРа АТАгА5А4. ГЛ 1Х. ПРОЕКТИВНЛЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 1884 1584. Составить уравнение пучка поверхносгей второго порядкз, проходящих через линию пересечения поверхности второго порядка е =0 с гранями х, = О, х,= О. 1585'". Локазать, что если в пространстве заданы 7 точек, из которых никакие 3 не лежат на одной прямой и никакие 4 не лежат в одной плоскости, то существует 8-я точка, обладающая тем свойством, что любая поверхность второго порялка, проходящая через дзпные 7 точек, проходит и через эту 8-ю точку.
1586. Нзйти коорлинзты полюса плоскости и,хс +и,хз + + ссзхз+ исх» — — -0 относительно нее ьсРождающейсЯ повеРхности второго порядка а„х,'+ а„х';+ а„х,'+ а„х,'+ 2а„х,х, -[- 2а„х,х, + + 2а»4х,х, + 2а„х,ха+ 2а„х,х, + 2а„х,х4 = О. 1687. Найти координаты полюса плоскости и,х, + и,х, + + изхэ+ и,х4=0 относительно кажлой из поверхностей: 1) хс + ха» + х3 — х1 = О; 2) х 1'+ хз» вЂ” 2х,х» = — О.
1588. Поверхность вгорого порялка задана уравнением агсх', + аюхз+ аззхз+ ассх', + 2асгх,х, + 2а„хсхз+ + 2аыхсх4+ 2аззхзхз + 2а,»х,х»+ 2а»»хзх4 = О. При каком необхолимом и лостаточном условии относительно этой поверхности будут полярно сопряжены: !) две точки (хс:хз.хз х») " (Ус Уз Уз У4) 2) две плоскосги [ссс:ссз:ссз:сс»[ и [и,:пзсвз;п»[. 1589з.
В проекмсвной сисгеме коорлипат А1А,АзА»Е задано уравнение поверхности 8 второго порядка х', + х', + хсз — х,» = О. м 1) Локазагь, что тетраэдр А,А,А,А, автополярпый относительно этой поверхности. 2) Локазагь, что точка А» является внутренней точкой поверхности 8, а точки А,, Аз, А, — внешними точками. 1600 ". В пРоекмсвной системе кооРдинат А,АзА»А»Е задано уравнение поверхности второго порядка Х', + Хз — Х' — Х» = О, 1) Локазать, что тетраэдр А1А,АзА» автополярный. 2) Локазагь, что точки А, и А, лежат по одну сторону от этой поверхности, а Точки Аз и А» — по другую ее сгороиу. 249 1664 1 4 6.
пРОГктиВИОГ пРОстРАнстВО 1591". Отгдоснтелы1о проективной сисгемы координат АдЛ,АаЛ,Е в проективном пространстве задано уравнение поверхности второго порядка х,'+х',+ха — х4 = О. 1) Составить уравнения шести касателдных плоскостей ад, сгя, '1дд, 1)а', 7п 71 к поверхности в точках ее пересечения с ребрами базисного тетраэдра. 2) Какие из этих плоскостей проходят через единичную точку проективной системы координат? 3) Нзйти координаты восьми точек А41, в кадкдой из которых пересекаются касательные плоскости и;, ~)д 7„(/, /, /г = 1, 2).
1592-. Огносительно проективной системы координат А,А,А,А,Е в проекпдвном пространстве задано уравнение тороидальной поверхности 8 второго порядка Хд+ Ха Хд Х4 — О 1) Составить уравнения восьми касательных плоскостей сдд, сад' К рд' 7ь 76' бь 66 к поверхности 8 в точкзх ее пересечения с ребрами базисного тетраэдра. 2) Какие из этих плоскостей проходят через единичную точку проективной системы координат? 3) Доказать, что любые четыре плоскости сс, ~), 7, 6 проходят через одну точку, и найти восемь точек пересечения всех таких четверок плоскостей. 1593. !) Составить уравнения кзсательных плоскостей а„ аа; ~)д, ~)я; 7„ 76 к повеРхности Хд+Хя+Х Х4 О пРоведенных к ней чеРез РебРа АдА„А,А„А,Ад бззпсного тетрзэдра А,А,АаА4 проективной системы коордьшзг А,А,А,А4Е.
Найти точки касания. 2) Найти точки пересечения касательных плоскостей а, 3, 7 (взятых по одной из кагкдой пары сгд, еда; 1д„1да', 71, 74). 1594в. 1) Составить уравнения касательных плоскостей к поверхности Хд +Ха Ха Х4 О проведенных к ней через ребра А,А,, А,А,, А,А,, А,А, базисного гетраэдра А,А,АаА4 проективной системы координат АдА,АзА,Е.
Найти точки касания. 2) Найти точки пересечения этих касатель11ых плоскостей. ГЛАВА Х 5!НОГОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 9 1. Векторные пространства А л е к с а и д р о в, гл. ХП, Я 1 — 5. Гельфанд, гл. 1, 4 1. Ефимов и Ро вендор и, гл. 1. Во исех задачах этого параграфа базис произвольный. 1595. Лзны три вектора а,=-(2, 3, 4, 5), а,=-( — 3, 6, — 6, — 4), па=( — 3, 3, — 6, — 5).
Усгановитгч будут ли эгп векторы линейно зависимы. 1596. Лапы четыре вектора п1=(1, 2, 3, 4), па=-(4, 3, 2, 1), аа=( — 1, 1, 3, 5), а4 — — (О, 1, 2, 3). Показать, что эчи векторы линейно зависимы, найти максимальную подсистему линеино независимых векторов и выразить остальные векторы системы через векторы этой подсистемы. 1597. Ланы четыре вектора: аг=(1, 2, 3, 4), аа=(4, 3, 2, 1), а,= — ( — 1, О, 1, 2), а4 — — (1, 1, 1, 2). Показать, что эти векторы линейно зависимы, найти максимальную подсистему линейно независимых векторов и вырешить остальные векторы системы через векторы этой подсистемы.
1598. Ланы пять векторов: ат= — (2, — 1, 3, 5), аз = (4, — 3, 1, 3), аа= (3, — 2, 3, 4), аа= (4, — 1, 15, 17), а„=-(7, — 6, — 7, О). !.!вити линейно независимую подсистему этой системы векторов и выразигь остальные векторы системы через векторы этой подсистемы.
1599. Ланы два вектора: аг=(4, 4, 6, 8), аа=(1, 2, 3, 4). Лополнить эту систему до базиса всего пространства базис- ными векторами ет= (1, О, О, О), е,= (О, 1, О, О), ее ††(О, О, 1, О), ее==(О, О, О„ 1) и выразить через векторы нового базиса не вошедшие в него векторы старого базиса. 1600. Векторы ат, ае,..., ап линейно невависимы. Будут ли линейно зависимыми векторы Ь,=а,+аз+...+а„, Ь,= — а,+а,+...+ап, ... Ьп п1+ 112+' ' '+гтп — 1~ 16ОЗ ! 4 1. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 1601.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
