1610840688-354d60f870aa4b4d07a90e025d5836ea (824169), страница 51
Текст из файла (страница 51)
)А(с(= = ) АО |=р — а, ~ В)7 ~=~ ВР !=р — Ь, ~ СО !=!СР )=р — с, где р— полупернметр треугольника АВС. Отсюда находим отношения, в ко- торых точки Р, О, )7 делят стороны треугольника АВС. Далее восаЬс пользоваться результатом задачи 171 и применить формулы Я=— 4)с ' ( 1 2 21 (1 — 1+5(5 — 1 — Р'5) В=рг. 175. с=~ —,—, — - ~. 176. с='(— !3'3' 31' (2' 4 ' 4 1 1! ( 3 5 2 )' 2' 4( 2) ( Р'38 У 38 У'38~ и и и ( 5 1 179.
†, †, — . !80. с= , — = , О); луч проходит вне трех- 2 ' 4 ' 4 (Р'26' !'26' гранного угла. 181. Тройки лучей ОА, ОВ, ОС и ОР, ОЕ, ОР имеют одинаковую ориентацию. 182. Тройки лучей одинаково ориен- ( 6 1 8 1 тнрованы. 183.
с=г=, — =, — =~. 184. ((=~ — =, (5 гс5' У'5' 5)' 5) ( 3 1~ 2' 1 4 ! 2 1+)'2 1 — У2 =,= . 185. сова= — =, ажй==, сову== ЗУ 2'3)'2) "У(10' У"(О ' )'10 !соз51 имут ~ соз 7, соз ат сова=,, соз()= !сов!)з созуз ! сову» сова»~ сову = япф ' япср соз а( ссв ()1 ( сова, сов() ~ , где ср — угол между данными лучами, Я'П 19 ) соз ()1 соз 71 !з ! ссв 71 соа сс, )а ! ссн ас соз !)1 (з З!П 19 =- сов ()з соз Уз сш уа ссм аз соз аз 10» ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 1 1ат 4]/2 1 187.
1р=агсв)п . 188. — —, Указание. Принить за 45 ' ' 27' начало координат вершину Р, а за базис упорядоченную тройку векторов РА, РВ, РС. 189. 9. 190. 48. 191. О»с У 1+2ссеисов8 сову — соева — сгевб — сьеву. !92. Два решения: 1) а=Ь=с=О; 2) ~)а]=[Ь[=[с[=1, векторы а, Ь, с попарно ортогональиы. 197. а=[а ) [Ь, с]+) Ь! [с, а]+]с[[а, Ь[, если (а, Ь, с) ) О; г( = — ! а ] [Ь, с] — ! Ь ] [с, а! — ] с [ [а, Ь], если (а, Ь, с)<0. 21 91 21 Хв Рв ав вьь= ь . 'вь ь- ь-;. ~вь ь~ ь ь с Ь -1.Ь СС + [и, а] мп ьр.
203. Равенство имеет место тогда н только тогда, когда выполнено по крайней мере одно из двух условий: 1) вектор Ь перпендикулярен к векторам а и с; 2) векторы а и с коллинеарны. а [Ь, с] + ]) [с, а] +у [а, Ь! 204. х= ' ' ' . Указание. Разложитьвектор х по базису [Ь, с], [с, а], [а, Ь]. 206. 1) (а, Ь)=О; 2) х = [а, Ь] = — — +Ла, где Л принимает все действительные значения. (а, а) (а.
Ь, с) 208. Оо= ([» ]+] а]+]а Ь!), ([Ь, с]+[с, а)+[а, Ь]). У к а з а н и е. Ввести ортонормированный базис. 209. х = аа,— [а, Ь[ (а,, ав) 210. Если (аг, Ьг)+(а„»ь) Ф О, то Решений нет. Если же (а, Ь,) -]- + (ав, Ь,)=О, то х= — '. 211. Если аь ) 4(Ьв+Ра'), то заДача [Ьм Ьв! (Ь, Ьв) ' имеет два решения: х=Ла+ ',у=(! — Л)а — ' где Л= [а, Ь] [а, Ь] (а, а) ' (а, а) ' ав -1- !' а' — 4(»'+раь) Если ос=4(»в+раз), то одно решение: а [а, Ь! а ]а, Ь] х= — -[- — ', у= — — ' .
Если аь(4(Ьв+ров). то реше- 2 (а, а) ' 2 (а, а) ' ний нет. ц А СОВР— сье»совс 21П» В1П С сов Ь вЂ” сов а сов с сов В= ап а мп с сов с — сов а осе» сов С= вш а мп Ь ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 222 1 Указание/ .Если еи ез, ез — единичные векторы лучей ОА, ОВ, ОС, то соз А ([еи ез], [еи ез]) (еи е,) (е„е,) — (еи е,) (еи е,) [[еи ез] (! [е„ее[[ ЯпЬЯпс 2) соз о= соз а — ссн Ь соз с соз А + соз В соя С 21пЬяпс ' БРПВБ1пС соз В+соя С соя А соя С+соя А соя В созЬ= созс= япСяпА ' яп А з!пВ Указание. Пользуясь бюрмулами для совА, созВ, созС, нычислить созА+созВ соя С и яп В 21пС и поделить один результат на другой. Иначе: рассмотреть трехгранный угол, ребра которого имеют напРавлениЯ [ет, ез], [ез, ез], [ез, е,[; его плоские Углы бУдУт и — А, и — В, и — С.
2!3. [ет]=]'а11, [ез[=Уаи, ',созв=атз!Уаиаи' 5 — ['а,а — а', 214. (и, Ь) =аихтхз+а,з (хзуз+хзуз)+аиузуз. 215. [и !=Уаих +2а„ху+а„уз. 216. соя 1р аих,х,+аи(х,у,+х,у,)+аиу У ]/а х[-[-2атзхтут+аиу[Уаихзз+2атзхзуз+аиу[ 217. осе и= Уаи Уаих +2атзхт+аззуз ии [)= аях+а, у У ам Уа,тхз + 2а,зхУ+ а„У' 216. сезар а и хтхе+ аи (хтуз+ хзут) + аазут Уз ]' аих', + 2а1*хтут+ аиу; Уа.тх[+ 2атзх,у, +аиуз (хтуз — хаут) У а ЯП 1РУат,х', + 2а,зхтУ1+ аззУ', Уаихз + 2атзхзУз+ аззУ," (ар (хту,— хзу,) Уа аих;,+атз(хтуз+хзут)+а у,у, ° где а=~ [=адам — азз ]аи аи] [а ам[ аих+а,зу 216. осе р— Уаи аихз+2атеху+аиуз з!и ф= УУа Уаи Уаихз+ 2ат,хУ+аяУ' 12 1р =, где а =- аиаи — а'и.
УУа аттх+ атзу 14 11 2Я). ] и [=ЗО, 221. Ь= ~--, — — ~. 222. 2 Уб(. 226. [ АВ ] =б, [5 ' 5[' и 5и [АС ]=4, Л= —. 224. и= — +2АП. 225. ] е,[=2, ]е,[=1; еме,= 3' 294 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 1 226 2л 4/!О 3)уУ2 I 2 ~ — 223. )е, != 3 ' ' 2 ' 2 ' ~ )у" 3~' ! ея ! = — е = агссов — — 4 5' 223. 1) ! а )=)У хв+2ху сов оз+ув,' хяхя+ (х,уя+ хяу,) осе в +уяуя 2) сова— у в.~-у*,у, уу~гдуу*,у .~.у1 3) 5 =(х у — хвуя) 21п в; х,х,+(х,уя+хяу,) см е+у,уя 4) сова" Р'хв, + 2х,Уя сов в+У', Ргх', + 2хяУя сУВ в+У.„-" (х,уя — хяу,) в)п е вп а* ь'*ну у.
уу:~~+ *~. к+усове 229. сова= р хв+2ху сов е+ув х соя в+у соя !) = ф'хв+ 2ку сов в -(-ув х+уссев 230. сов ур= )у'хв+ 2ку сов в+ув уяпв уепе юп яр= 13%= )уухя+2ху сове+ух х-(-у сове 231 1) дп вуяя —, Вв= —, где 3' 3 3' — )ап 3. ! ! = АУп3в — АУ у я' !3, 3! Ауяя1 3) ! я ! 1/ вяя А' )ея)=1 Р АУ 4) совВ = — я, 232. хуя+х Ув. )У Ияяйм 1 2) ! ея ! — )ея)= —,; 3) в'=и — в. епяе' УЯ фя АУуя ~ ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 242 1 атз з1П ф а,т ЯП ф) Уа ' Уа азз 4п ф — сов 19-)-а'з ф~.
У к а за н и е. См. задачу 234. а12 зп1 1Р 233. 1) Е,' = . —.1, Е„' = 1 — —. яп (1Π— ф) з(п ф), 1 ззп ф яп (1О+ф)~ япя ' япя) ' " ( япя' япя :=Г 1 1 2) е,'= —. ( — сова, 1), е,'= —.( — 1, стая). 237. )ет)=Уап ЯП 01 З1П О1 )ез(=у аем )ез)=Уаы, сова„==, созяы==, сова„= атз аы Уапазз' Уа аы ~ а11 атз азз = (1=Уа, где а= аы аы аы . 238. (а, Ь)=апхтут+ )'а а аа азз азз + а хзуз+а 'у'+а (хтуз+ зут)+аы(хзу'+хуз)+аз ( уз+ + хзуз) =аархауь (по а и р производится суммирование ог 1 до 3).
239. ) а ~= = Уап (хт)'+аы (хз)з+азз (х')з+ 2аыхтхз+ 2агзхзхз+ 2аяхзхм 240. сов 19= — ', гДе (а, Ь)=ааРхаУЬ=а„хтУ1-)-а,х'У'+ (а, Ь) )аЦЬ)' + аззхзу'+ а,1 (хтуз+ хзут) + аы (хзуз+ хзуз) + азт (хзу1+ х1уз) )а ~=Ф аархахр= ап (хт)з+ аы (хз)з+ аы (хз) з+ 2ап хтхз+ 2~Ъхзхз+ 2аяхзхт )ь)=~/~' у ув = $~ аи (у )1+ ам (у )2+азз (уз)з+ 2амзу уз+ 2аыу у+ 2азтузу'. амх'-)-а хз-)-а„х' 241. созат= Э Уатт) а) азтх1 + аыхз+ аыхе сова,= Г аы ) а! а х'+а'х'+а. ' Уа )а! где ) а ! = уап (х')1+азз (хз)1+ азз (хз)з+ 2аыхтхз+ 2агзхзхз+ 2аяхзх' 242. х' хз х' ан аы атз у=Уа у' уз уз, где а= ал азз аы 21 22 ОЗ азт аы азз 1 эзв ОТВЕТЫ И УКЛЗЛИИЯ х1 + хз сов аз э+ хз сов аи 243. сса1р,= э х1 сов ни + хз+ хз сов азз СОЭ 1Рэ = ]а) э к1 сов а 1+ хз сов азз+ хз сов 411= ]а] э где (а]= (х )з-(- (х )э -]- (хэ)'+ 2к хз соэ аээ+ 2кзхэ сов оз з+ 2хэх' сов ан. 244. 71 кэ хэ 1 сов азэ сов ни (I= у1 уз ув р'Ы, где Ы= сова„.
! созна = 71 71 71 сов аэз сов нн 1 = 1+ 2 сов аи сов а з ик ан — совз аи — соУ азэ — ссез ан. 245. х д — у=5 —, зр Ы вЂ”, где 171 Ззз Взз ()' ц' 1 ии эзи Соз бчэ 1 сов 4ч Сов 1Р1 СОВ 1Рз 1 сов азз сов нгз 1 соз 011, соз 'н 1 осени, 01= 1 СОВ Н11 СОЗ Нн 1 Соз 1рз сов а,з сов 1рз 1 сов 1р, СОВ ан С<а 1Рэ С<И НИ з)э = ! сов аи сов аи сов н 1 сов 4В сов нэз соэ 4в 246. е'= ', е'= ', е'= — ' [е,, е,] [е,, ез] [е,, е,] (е,, е„еэ)' (е,, е,, е,)' (е„е,, е,)' 247.
хзуз+хзу +х"уэ. 246,Ыи Ыи 2111 [Ыи Ыи Ыэз Ыэ Ыи Ыэз Ызз Ызэ 249. х1=211х1+Ыззхз+Ызвзэ, хз — — Ы1171+Ыихз+Ыихе, хэ=Ыз„х1+ -(-Ы хз+Ынхэ (короче: хз=-2 ох'", где кг=(х, е)). 250. ]е' ,'=]е'] = З). ]ез! —, е1, еэ=е', ев=еэ, е'=эгссов~ — — ~. 251. ез=(Ы1,, Ыээ, Ыи» Еэ=(211. Ыи, Ызз», Еэ=(ЫИ Ызэ, Ызз» 252.
сов 61 = УЫ Р'Ы созб,= ]<Ы„~l ](Ызз Ыэз~ уЫ у'1ЫИ Ы11~' »'Ы савв,= ф/Ы ~/ ~Ы11 Ы11~ ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 221 ] 253. осе 61= —., особа=,, особа - -., где р'а 1'а р'!] ЗШ Шы ' а1П Оаш мп сота ' 1 соо сота соа ыы й= ссв она 1 свао]аа .
оси со 1 ссж юоа 1 255. гт=~ ~$ й, га=~ ~ кгдч го-— ~ ~ $'Ач где Яп Вь ба а и= а, Еаа д,,а 1, бс)=!е], е]). Вш Воа Ваа 1 259. а = —. 261., — . 268. — . 269. )е = А М )ч Х +]аро ]1+йи1 ач МА1 )е 1+9 1+]а . 270. х='Ао«а+)о«1+ 1+)с+)ср' " 1+]с+Хм' 1+]а+ар +)мха У=)соуа+"аут+)еуа] уо х ут 1 х у ! ха Уа х у 1 хз уа 1 х у 1 хт Ут 1 х, у, ! )ч= хо Уо хт Ут 1 ха У Уо Ут ха Уа «о Уо х, у, «а Уа 271. Хо= — ' ]Аох+ ВоУ+ Са) )ч= — '(Атх+ Вту+ Ст). ),= —" <Ар+В,у+С,). Х 1=С (Аа — о+ Ва — "+ С,) =С вЂ”.
'с,. асо о) с ' ) Аа Во Со~ где Л= А, Вт С,, а са, ст, са — соответственно алгебраические А, В. Са дополнения элементов Са, Ст, Са в определителе Л. Указание. На основании предыдушей задачи ]со=С(Аох+Воу+Со). Константа С определяется из следующего условия: для вершины А, будет по ба Х =1; аффинные координаты вершины Аа будут хо= —, уо= —, о= со' со где а„, бш со — алгебраические дополнения элементов А„В„С в опре- делителе Л. Значит, ОТВВТЫ И УКАЗАНИЯ Отсюда С= — '-' и, значит, Л Ь = — (А, +В, +С,).
А Аналогично выводятся две другие формулы. 272 (хз Уз 1 хз Уз ! (хз Уэ 11!хе Уз хт уз 1 хз ут 1 хз уз 1 хз уз 1 (О. хз Уз 1 хз Уз ! хз Уз ! «э Уз У к а з а н и е. Ввести барицентрическую систему координат, при. нимая треугольник А,А,Аз за базисный. 274. "з+ "з "з+ з ~ 275. )Ы вЂ” Хз=)Ы 1+/г ' 1+1 ' 1+1 ' ' 3' 276. Хз= а Ь с а+Ь+с ' а-)-Ь+с ' а-(-Ь-)-с' ап 2А вп 2А + вп 2В+ вп 2С' з!и 2В Вп 2А+Ып 2В+вп 2С' ап 2С ап 2А+вп 2В+ап 2С или 1 1 1)е = — (1 — с(д В с(й С), Х- = — (1 — с(й С с12 А), 2 2 Аз= — (1 — с!2 А с(й В). 278. Аз — с18 В с!8 С, 1 2 Ат=с12Сс(йА, эз=с18А с(йВ. Указа ние.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
