1610840688-354d60f870aa4b4d07a90e025d5836ea (824169), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Поверхнос7ь второго порядка задана уравнением л и а; х;х +2 '~~~ Ь;х7+с=-О С 7' —. ! ! —.— ! в действительном и-мерном точечном аффинном пространстве. Локазать, что: 1) поверхность является параболоидом, если в некоторой аффин!кй системе координат ее уравнение имеет вид л — 1 аг;хгх,'+ 2Ь„'х„' = О; С 7=! 2) для того чтобы поверхность второго порядка была параболоидом, необходимо и дос!агочно, чтобы ап ° ° ° агл Ь! 1ан ... ат 5= ' =О, Л= 77л! алл ал, ... алл Ь„ Ь, ...
Ь„с 2. Поверхности в!парово порядка в гпочечнолг евклидовож пространстве 1757в. Локазать, что: 1) квадратичную функш7ю Я (х), заданную в векторном евклндовом прошранстве, можно представить в виде ! !(х)=1лх, х), где А — самосопряжепный оператор; 279 ! Тб01 $ б. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 2) линейную функпию ь (х), заданную в векторном евклндовом пространсгве, можно представить в виде Ь (х)= — (Ь, х), где Ь вЂ” вектор. 1768в. Пусть Я(х)+2(. (х)+с=(Ах, х)+2(Ь, х)+с=Π— уравнение поверхности второго порядка в точечном евклндовом пространстве, Доказать: для того, чтобы эта поверхность имела пентр О', необходимо и достаточно, чтобы вектор Ь принадлежал области значений оператора А.
1769". Пусть (Ах„х)+2(Ь, х)+с=Π— уравнение поверхности второго порядка в точечном евклидовом пространстве, не имеющей Венгра. Доказать, что существует вектор х, такой, что в результате переноса Х=х'+Х, уравнение поверхности приводится к виду (Ах,' х')+2(Ь", х')=О, где Ь" — вектор, ортогональный к области значений оператора А. 1760в.
Доказать, что если в л-мерном точечном евклидовом пространстве задано уравнение а!;х;х, +2 УЬ!х!+с=О б=! 1,у=! поверхности второго порядка в прямоугольных координатах, то существует прямоугольная система координат с началом в точке О' = (х,', ..., х„") и ортонормальным базисом е,', ..., еь в которой уравнение поверхности предсгавляется в одной из следующих форм: (1) )Тх~Я+...+):,х,'Я+с'=О, 1 г(л, если гс — г= 1; (! 1) Лтх!я +...
+ )„х„" + 2 рх,' ь ! = О, 1 ( г - и — 1, если Й вЂ” г=2, где г — ранг матрицы ап ... а„, А= а„! ° .. алч 2ВО 1 1761 Гл. х. мнОГОмеРные НРООГРАнствА а )с — ранг матрипы а11 ... а„, Ь1 В= Лх1 ''' Лхх Ьх Ь, ... Ь„с 1761*. Доказать, что уравнение поверхности второго порядка, заданной в евклидовом и-мерном точечном прострзнстве относительно прямоугольной системы координат, а77Х;Х + 2 ) , 'Ь!Х1 + с = — О, льной системе координат и умно ения на некоторое число ноже следующих канонических форм —... — —,"-=1, 0(/г(г(п а' является действительным (и — 1) =О, г=п — мнимым (л — 1)-мер (г=и — (и — 1)-мерным гипер ром над соответствующей (г — 1 о порядка. х,' —...— — =О, 1(г~л При Ь ( г = и поверхность является действительным (и — 1)-мерным конусом; при Уг=г=л--мнимым (и — 1)-мер- ным конусом, при г ( и — пилиндром над (г — 1)-мерным конусом.
х- 'хЬ хл Р1 К', (10) .-+... +.. — —: —... — — =2х,ьт, р, ) О, рь рл,т "' рх 1=1, 2, ..., г; 1(г п — 1; й- -- при г четном, Ь= г — 1 :~ при г нечетном. При г = и — 1 поверхность является (л — 1)-мерным пара- болоидом, при г (71 — 1 — пилипдром иад соответствующим (г — 1)-мерным параболоидом. переходом к новой прямоуго жением обеих частей уравн т быть приведено к одной из К', ХА ХА+ 1 (1) —., + "+ —.— а' ''' а" "а'+ При Ь=г=п поверхность мерным эллипсоидом; при Ь ным эллипсоидом; при О ( Ь болоидом; при г ( и — пилинд мерной поверхностью второг г ЬЗ: — при г четном, Ь) — при г нечетном.
28! 1 б. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА !Гбб ! 1762а. Доказать, что: 1) две поверхности второго порядка, заданные в л-мерном точечном евклидовом пространстве, изометричны то~да и только тогда, когда они имеют одно и то же каноническое уравнение (см. задачу 1761) с одними и теми же значениями параметров ад и р! в случаях (1) и (!1!) соответственно и с пропорциональными значениями параметров а! в случае (!!); 2) две поверхности второго порядка, заданные в л-мерном евклидовом пространстве, подобны тогда и только тогда, когда они имеют одно и то же каноническое уравнение с пропорциональными значениями параметров а, и р! соответственно. 1763. Для каждой из следующих поверхностей второго порядкз, заданных в четырехмерном точечном евклидовом пространстве относительно прямоугольной системы координат, найти ее каноническое уравнение и каноническую систему координат: 1) 2хдха+ 2х,ха — 2хдхб — 2хаха+ 2х х + 2хах— 2ха 4ха бх4+ 5 = О' 2) Зх! + Зхд+ Зхд+ Зхд — 2хдха — 2х ха — 2хдх4— — 2хаха — 2хах4 — 2хах4 = О; 3) 4хдха+ 4хдха+ 4хдх, + 4хаха+ 4хдхб+ 4х,х„+ + Зхд+ 14х4+ 11 = О.
1764а. Пусть (Ах, х)+2(Ь, х)+с=Π— уравнение поверхности второго порядка в точечном евклидовом пространстве. Найти гиперплоскости симметрии этои поверхности, перпендикулярные к ее Кордад!. 1765". Пусть Р= ~Ч' аддхдх,+ 2 ~~ Бдхд+е — многочлен второй степени от л переменных х,, ..., х„; л хд= ~~ 1!Гхдб+1д, 4=1, 2, ..., и, ! ! 282 ГЛ. Х МНОГОМЕРНЫЕ Г!РОСТРАНСТВА [ 1765 — преобразование гл переменных хт, ..., х„с ортогональной матрицей т=[[п); л л Р'=- ~~ а,'!хгх,'+2 Ч', Ь;.х,'+с' 1, У=-1 1=1 — многочлен, получающийся из многочлена Р в результате преобразования вь 1) Локазать, что следующие функции от коэффициентов аи, Ьь с многочлена Р являются инвзрнантами преобразования ах аьл алл ан "° а1л 81 !л.1 Клс1" аса ...
алл 811 [1л Локазать, что инвариангами являются также суммы 1„„ !„„, ..., !з, 1,, 1, диагональных миноров определителя )„ соответственно порядков и — 1, и — 2, ..., 3, 2, 1. 2) Локазать, что суммы Клл Кл 1, ..., К,, К, диагональных миноров определителя Кл„т, содержащих с, соответственно порядка и, и — 1, ..., 3, 2, являются инвариантами любого однородноао преобразования у: л хг= ~', [их!1 1=1, 2, ..., и, 1=1 с ортогональной матрвцей т=[[и); Ксл К„„..., Ка, К, называются семиинварнангами. 3) Локазать, что если существует линейное невырожденное однородное преобразование, при котором многочлен Р преобразуется в многочлен Р' от и — 1 переменных х,', х,',... ..., Х„' 1, тО Кл язпяЕтея НизарнаитОМ И НЕОдНОрОдНОГО Ортагонального преобразования переменных х,, хя, ..., х„.
Если существует линейное невырожденное однородное преобразование переменных хт, х„ ..., х„, при котором многочлен Р 2йй $6 ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА !765 ] преобразуешься в многочлен Р' от п — 2 переменных х,', хя, ..., х,', 6 то К„1 н К„являю!ся инварнантами любого неоднородного ортогонального преобразования переменных х,, х,, ..., х„ и т. д.; наконеп, если существует линей!юе незырожденное однородное преобразование переменных хт, ..., х„, при котором многочлен Р преобразуется в мпогочлен Р', содержащий только одну переменную х,', то все семиинварианты Кл, К„ т, ..., Ка, Кя будуг инвариангами и любого неоднородного ортогонального преобразования еь 4) Всякий многочлен Р= )) а;.х;хг+2 ~ Ь,х!+с Ь1=! ' ' 1=! ортогональным преобразованием переменных хд,..., х„ можег быть преобразован к одной' из следуюп!Вх канонических форм: т (!) ~Ч~ Цхг +с', г= — 1, 2, ..., и; 1=-1 (П) ~Ч', ),1х;'6+2Ь„'+тх„'~1, г=1, 2, ...„и — 1, 1=! где г — ранг квздратичной формы 6 ! 1= У, аыхгх, Ь1=! причем Х!', ..., Х,— отличные от нуля корни характеристического полинома Доказать следу!ощие необходимые и доста~очные признаки этих канонических форм: 11) 1„=...=),,=О, 1,:РЕО, К„„=-О; ~П) )„=...= — ),,=О, )~О, К, -~=О.
5) Доказать, что канонические формы многочлена Р второй сгепгяп! от и перемепнык могут быть записаны в виде 11) У ).,х)'+ ~ ' 1=1 284 Гл. х. мнОГОмеРные пРОстРлнствл ! !766 (И) ~~ Л;х! +21/ — — '+' х,'„д (г г = 1, 2, ..., и — 1, д=! где г — ранг определителя 1 а Л„ ..., Л„ — отличные от нуля корни характеристического полинома др(Л). 6) 1(оказатдч что если ф (Л) — характеристический полипом квадратичной форд!ы (1, входящей в левую часть уравнения поверхности второго порядка, заданной относительно прямоугольной системы координат, то р! -»(О), ( 1)л-г (и — !) ! 7) 1(оказать, что если ап — Л ам алд ага — ! адл Ьд адл Ьл Ф(Л) = ал, а„, ...
илл — Л Ь„ Ьд Ьл ... Ьл а то ку„-= . ф(+ -»(о), ( 1)л+1 — 1 1+д-(„+... 1766'.. Поверхность второго порядка задана в и-мерном точечном евклидовом пространсдве уравнением а! ххт+2 ~~, 'Ьх;+с=о ь)=1 д=! относительно аффинной системы координат, базис которой имеет метрические коэффициенты д! =(еь е1). Локазать, что: 1) приведенные уравнения поверхности имеют вид г (1) '5' Л!хГ+ — "!=о в случае 1„=...=1лд=о, д=! 1,~о; к,.ля=о; г (И) ) Лдх! + 2 1I — †' 6 х„'лд = О в случае !=! ...=-1„,=-6 1 Ф О; К ъ.аФО, г=1, 2, ..., и — 1; здесь г — ранг квадратичной формы, входящей в состав левой части уравнения поверхности, Л! — отличные от нуля корни 285 $ б. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 1тбб 1 характеристического уравнения аи Лли "- а1л — Лл1л 1 р(Л)= .......... 1=О, алт-Лйлт " алл — Лйлл( а 11 и К11.1 вычисляются по формулам = — = р( -')(О), ( — 1)л 1 и (и — и)! 1 ( 1)лл1 — 1 К„;=-,, „ф(" -')(О), а=1, 2, ..., п; 8=1, 2, ..., и, где аи — ) йи " агл 'Мгл д= ., ф(л)= ал,— Хдл, ...
алл — Лалл Ь, ... Ьл с а(= )~~ йата1сл Ь'= ~ е 1Ь„, можно предыдущие формулы (см. 1)) переписать так: 1=' ')л „( — )(О), (л — б) 1 а=1,2,...,л, Клет= 1 )1 ф л (О) б=1,2,,п, где а — Л ... а" Ь1 1 "' 1 и — Л ... а' Ч (Л)= гр(Л)= а„' ... ал — Л О'„... а„"— Л Ьл Ь1 ... Ьл с 3) координаты (е;;, ем, ..., Е1л), 1=1, 2, ..., и, базисного вектора ес канонической системы координат находятся из системы (а„.— Л;ди) е1;+...+(ат, — Лгет„) е1л=О, ) (алт — Л1Клт)ЕМ+...
+ (алл — Л18лл) е;л= О. ) 2) если (Ру) — матрипа, обратная для матрипы (ЬЧ;), то, вводя коэффипиенты ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ а — 'Ь 1 ЛВ а:Ь ВС =пЬ С— и "— а БА=а+0, 2 ' 2 ' 2 ' 2 2. А —-- Ха — Ь . а-(-Ь вЂ” „. ).Ь вЂ” а ..— Х(а+Ь) 4. А))=-, ВЕ== ', СВ= ЛВ+ЛС вЂ” ° — 2АВ+АС вЂ” — 2АС+АВ 2 ' 2 ' 2 3 ВС 4А1 2Лз С0 2А) 4А1ст 3 ' 3 9. Точка псрессчспия медиан треугольника. 10. Точка пересечения прямых, сосдннягошнх середины противоположных сторон четырехугольника. 13. Л1 — точка, в которой пересекаются семь прямых: три прямые, проходящие через середины противоположных ребер тетраэдра; и четыре прямые, проходящие через вершины тетраздра и точки пересечения медиан противоположных граней. 14. ) х(:)у): !в, '=- = яп а ' зш р: зш у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
