phys_3sem_lection_all (823856), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

При этом электрическое поле в любойобласти пространства является суперпозицией электростатического (кулоновского) поля (с напряжённостью Eq ), создаваемого электрическими зарядами, и вихревого электрического полей (с напряжённостью EB ), создаваемого переменным магнитным полем. Напряженность суммарногоэлектрического поля E = Eq + EB . Найдем дивергенцию суммарного электрического поля. Т.к.( )div Eq =ρρи div EB = 0 , то div E = div Eq + div EB = .ε0ε0( )( )( )( )( )Из Eq = − grad ( ϕ ) и rot Eq = rot ( − grad ( ϕ ) ) = 0 следует равенство( )( )( )rot E = rot Eq + rot EB = −∂B.∂tТок смещения.( )Теорема о циркуляции для вектора напряжённости магнитного поля имеет вид rot H = j .( ( )) = div ( j ) . Левая часть равна нулюПрименим к обеим частям дивергенцию div rot H( ( )) = 0 , но правая div ( j ) = − ∂ρ∂t (уравнение непрерывности электрического заряда).div rot H1Семестр 3. Лекция 10.Откуда следует∂ρ= 0 , т.е.

объемная плотность заряда не зависит от времени. Следовательно, ра∂t( )венство rot H = j применимо для случая, когда div ( j ) = 0 . В этом случае векторное поле плотности тока j является вихревым, поэтому линии токазамкнутые. Рассмотрим теорему о циркуляции вектораS2напряженности вдоль замкнутого проводника, в которомS1S3течёт постоянный ток:ΓHГ∫ ( H ,dl ) = I . Линии тока в этомслучае замкнутые, поэтому если взять несколько поверх-Hностей S1, S2, S3, S4 имеющих вид мешков, общим горломIкоторых является контур Г, то должно выполняться ра-S4венство∫ ( H ,dl ) = ∫∫ ( j ,dS ) = ∫∫ ( j ,dS ) = ∫∫ ( j ,dS ) = ∫∫ ( j ,dS ) = IΓS1S2S3S4т.к.

сила тока в любом сечении проводника одинаковая.Теперь поместим в цепь конденсатор С. Пусть поцепи протекает постоянный ток. Поверхность S3 прове-S2S1дём таким образом, чтобы она охватывала одну из обкла-S3док конденсатора. Так как в конденсаторе нет тока проHГводимости, тоH∫∫ ( j ,dS ) = 0 ,S3Cно по-прежнемуI∫ ( H ,dl ) = ∫∫ ( j ,dS ) = ∫∫ ( j ,dS ) = ∫∫ ( j ,dS ) = I .S4ΓS1S2S4Но расположение конденсатора можно поменять, так, чтобы одна его обкладка находилась внутриповерхности не S3, а например, S2. Тогда получим равенства∫∫ ( j ,dS ) = 0 иS2∫ ( H ,dl ) = ∫∫ ( j ,dS ) = ∫∫ ( j ,dS ) = ∫∫ ( j ,dS ) = I .ΓS1S3S4Получаем противоречие – циркуляция векторного поля по контуру Г, не охватывающемуучасток цепи с конденсатором, зависит от произвольного выбора места расположения конденсатора.

Чтобы снять это противоречие Максвелл выдвинул (вторую) гипотезу о том, что наряду стоком проводимости существует ток смещения, который также создаёт магнитное поле. Плотность тока смещения задаётся скоростью изменения вектора электрического смещенияjCM =2∂D.∂tСеместр 3. Лекция 10.Плотность полного тока – векторная сумма плотности тока проводимости и плотности токасмещенияjПОЛН = jПРОВ + jСМ .Найдём дивергенцию вектора плотности полного тока. Учтём закон сохранения электрическогозаряда div ( jПРОВ ) = −∂ρи теорему Гаусса для вектора смещения div D = ρ :∂t( )div ( jПОЛН ) = div ( jПРОВ ) + div ( jСМ ) = −∂ρ+=0.( ( )) = − ∂ρ∂t ∂t ∂D ∂ρ∂ρ ∂div D+ div =− +∂t∂t ∂t ∂t Таким образом, векторное поле плотности полного тока не имеет источников, т.е.

является вихревым, следовательно, силовые линии полного тока являются замкнутыми.В частном случае, когда по замкнутой цепи течёт постоянный ток,∂ρ= 0 , откуда∂t( ( )) = div  ∂∂Dt  = div ( j ) = 0 .∂ρ ∂=div D∂t ∂tСМТ.к. цепь замкнутая, то не происходит накапливания электрического заряда ни в одной точке цепис течением времени и поэтому можно считать, что вдоль цепи D = const . Поэтому нет тока смещения jCM =∂D= 0 и jПОЛН = jПРОВ .∂tЕсли цепь содержит конденсатор, то между обкладками отсутствует ток проводимости. Поэтому силовая линия тока проводимости имеет разрыв на обкладках конденсатора – т.е.

на обкладках имеются стоки и источники поля векторов плотности тока проводимости div ( jПРОВ ) ≠ 0 .Из уравнения непрерывности для тока div ( jПРОВ ) = −∂ρследует, что источниками (и стоками)∂tэлектрического тока в цепи является изменяющаяся во времени плотность электрических зарядовна обкладках. Но в то же самое время, изменение электрического заряда на обкладках служитстоком и источником плотности тока смещения в пространстве между обкладками.( ( )) = ∂ρ∂t ∂D  ∂div ( jCM ) = div div D= ∂t  ∂tТ.е. из-за изменения электрического заряда конденсатора (во времени) векторное поле смещенияв пространстве между обкладками будет меняться во времени, что приведёт к появлению токасмещения в пространстве между обкладками конденсатора. Поэтому между обкладками конденсатора jПОЛН = jСМ .3Семестр 3.

Лекция 10.Так как сила тока проводимости (с учётом знака) равна потоку вектора плотности тока()проводимости через ориентированную поверхность I = ∫∫ j ,dS , то, аналогично, можно опредеSлить силу тока смещения (с учётом знака) через ориентированную поверхность ∂DI СМ = ∫∫ jСМ ,dS = ∫∫ ,dS  .∂tSS () ∂D dЕсли поверхность S неподвижная, то I СМ = ∫∫ ,dS  = ∫∫ D,dS .∂t dt SS ()Закон полного тока: сила полного тока равна сумме тока проводимости и тока смещения.Вывод. Если в теореме о циркуляции для напряженности магнитного поля ток проводимости заменить на полный ток, то противоречие будет снято:( )( )rot H = jПОЛН = jПРОВ + jСМЕЩ , rot H = j +∂D.∂tИли, в интегральной форме:∫ ( H ,dl ) = I + dt ∫∫ ( D,dS )dΓS- циркуляция вектора напряжённости магнитного поля по любому замкнутому (ориентированному) контуру равна сумме токов проводимости и смещения через ориентированную поверхность, ограниченную этим контуром.

Ориентации контура и поверхности согласованы правиломправого винта (буравчика).Это соотношение свидетельствует о том, что магнитное поле может порождаться переменным во времени электрическим полем.Пример. Найдем циркуляцию вектора напряжённостиГмагнитного поля в пространстве между обкладкамиHплоского конденсатора включённого в цепь с постоянным током.IIПусть сила тока в цепи равна I. Конденсатор плоский, обкладки – круги радиусом R.

Расстояние между−q+qобкладками d много меньше R (в этом случае электрическое поле между пластинами в каждый момент времени приближённо можно считать однородным). Ток вDH∂D/∂tцепи постоянный, поэтому заряды «положительной» и«отрицательной» обкладок линейно зависят от времениq = I ⋅ t + q0 .4Семестр 3. Лекция 10.Пусть n - единичный вектор нормали к пластине с положительным зарядом. Между обкладками вектор смещения направлен перпендикулярно пластинам D = D ⋅ n от положительно заряжённой пластины к отрицательно заряженной.

Нормальная составляющая вектора смещенияравна длине вектора Dn = D . С другой стороны, внутри плоского конденсатора Dn = σ =(σ =qSq- поверхностная плотность стороннего заряда, S = πR 2 - площадь обкладки конденсатора),Sпоэтому D =I ⋅ t + q0. Найдём производную вектора смещенияS∂D ∂∂D∂n= (D⋅n) = n+D.∂t ∂t∂t∂tНо n = const , поэтому∂n∂D∂D= 0 и вектор=nтоже направлен перпендикулярно пластинам.∂t∂t∂tПусть в рассматриваемом случае заряд положительной пластины увеличивается, тогдавекторы∂D>0 и∂t∂Dи D направлены одинаково.

Поле между пластинами обладает осевой симметрией,∂tпоэтому найдём циркуляцию по контуру Г, который является окружностью в плоскости, перпендикулярной оси симметрии, с центром на оси симметрии. Пусть радиус окружности равен r.Контур ограничивает плоский круг S, на котором можно ввести ориентацию, совпадающуюпо направлению с направлением вектора смещения D . Поток этого векторного поля через по-()верхность круга равен Φ D = ∫∫ D,dS = Dπr 2 . Поэтому сила тока смещенияSI СМ =()ddr222 dD2 ID,dS=Dπr=πr=πr=I.()dt ∫∫dtdtSR2SСиловые линии магнитного поля являются окружностями, лежащими в плоскости, перпендикулярной оси симметрии, центры окружностей находятся на этой оси. Поэтому выбранныйконтур Г совпадает с какой-то силовой линией и вектор напряжённости магнитного поля направлен по касательной к Г, его величина зависит только от радиуса окружности r.

Ориентацию на Гсогласуем c направлением векторного поля∂D∂D. Так как в рассматриваемом случае векторыи∂t∂tD направлены одинаково, то направления касательных векторов H и dl совпадают, поэтому∫ ( H ,dl ) = ∫ Hdl = H 2πr .ΓΓТок проводимости между обкладками конденсатора отсутствует (I=0), поэтому5Семестр 3. Лекция 10.∫ ( H ,dl ) = dt ∫∫ ( D,dS ) .dΓТогда H 2πr = ISr2IrI, откуда H =. В частности, при r=R получаем H =- такое же зна22R2πR2πRчение, как если бы между обкладками конденсатора протекал ток проводимости силой I.♣Уравнения МаксвеллаГипотезы Максвелла позволяют записать систему уравнений электромагнитного поля.ДифференциальнаяИнтегральная формаформа∫∫ ( D,dS ) = qdivD = ρТеорема ГауссаΣSдля электрического поляЗакон электромагнитной индукции(закон Фарадея)( )rot E = −∫ ( E,dl ) = − dt ∫∫ ( B,dS )∂B∂tdΓS(теорема о циркуляции вектора на-пряжённости электрического поля)∫∫ ( B,dS ) = 0divB = 0Теорема ГауссаSдля магнитного поляТеорема о циркуляции вектора напряжённости магнитного поля( )rot H = j +∂D∂t∫ ( H ,dl ) = IΣ+Γ(dD,dSdt ∫∫S)В материальной среде эти системы дополняются уравнениями (материальные уравнения)Дифференциальная форма(Закон Омаj = γ ⋅ E + ECTdiv ( j ) = −Закон сохранения электрического заряда∂ρ∂tИнтегральная формаI ⋅ R = ϕ1 − ϕ2 + ε12)∫∫ ( j ,dS ) = − dt ∫∫∫ ρdVdSVD = ε 0 ⋅ E + P , в однородном изотропном диэлектрике D = ε 0 εE()B = µ 0 ⋅ H + J , в однородном, изотропном магнетике B = µ 0µH .Условия на границе раздела сред D2 n − D1n = σ , E1t = E2t , B2 n = B1n , H 2t − H1t = i .Данная система уравнений в дифференциальной форме содержит 15 координат векторовE , D , B , H , j и функцию ρ - объёмной плотности электрического заряда – итого 16 перемен-ных.

Количество уравнений Максвелла в координатной форме равно 8, материальных уравнений– 10, итого 18 уравнений. При этом некоторые уравнения могут быть следствием других в даннойсистеме.6Семестр 3. Лекция 10.Кроме того, необходимо добавить начальное распределение зарядов (токов) и значения неизвестных параметров на границе рассматриваемой области.В общем случае, нахождение характеристик электромагнитного поля является достаточнотрудоёмкой задачей.Оператор «набла».Введем оператор, обозначаемый ∇ , который сопоставляет функции её градиент ∂f ∂f ∂f ∇f ֏ grad ( f ) или в декартовых координатах ∇f ֏  , ,  . ∂x ∂y ∂z Если ввести векторы-орты декартовой системы координат ( eX ,eY ,eZ ) , то это соответствиеможно записать в виде равенства ∇f = eX∂f∂f∂f+ eY+ eZ.∂x∂y∂zПоэтому для оператора «набла» используют обозначение в виде вектора∇ = eX∂∂∂+ eY+ eZ∂x∂y∂zс условием, что он действует на функцию только слева.Если в некоторой области задано непрерывно-дифференцируемое векторное поле a , то спомощью этого обозначения оператора «набла» дивергенция векторного поля записывается как()скалярное произведение ∇ ,a = div ( a ) , а ротор векторного поля – как векторное произведение( ∇ × a ) = rot ( a ) .

Эти обозначения удобны тем, что соотношения векторного анализаdiv ( rot ( a ) ) = 0 и rot ( grad ( f ) ) = 0 становятся более наглядными. Действительно,( (div ( rot ( a ) ) = ∇ , ∇ × a))∂∂x∂=∂xaX∂∂y∂∂yaY∂∂z∂=0∂zaZт.к. в этом определителе две одинаковые строки.( ( )) = (∇ × ∇) f = 0rot ( grad ( f ) ) = ∇ × ∇fт.к. векторное произведение вектора на себя равно нулю.()Квадрат оператора набла равен оператору Лапласа ∇ 2 = ∇ ,∇ = ∆ .( ( )) = div ( grad ( f ) ) = ∆f .Действительно ∇ , ∇f( (Пример. Рассмотрим двойное векторное произведение a × a × b) ) = ( a,b ) a − ( a,a ) b .7Семестр 3.

Характеристики

Список файлов лекций