phys_3sem_lection_all (823856), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Пусть площадьпоперечного сечения проводника равна S⊥. Предположим, что проводник тонкий, поэтомуплотность тока вдоль поперечного сечения можно считать постоянным вектором j = qn < v > .Сила тока в проводнике I = jS ⊥ = qn < v > S ⊥ . На каждый носитель тока действует одинаковая()магнитная сила Лоренца Fq = q < v > × B . Количестве носителей в объёме проводника длинойdl и площадью поперечного сечения S⊥ равно N = nS ⊥ dl .
Поэтому вектор суммарной силы(N()) ()FΣ = ∑ Fk = NFq = nS ⊥ dlq < v > ×B = qnS ⊥ < v > dl × B = I dl × B .k =1Здесь был введён вектор dl такой, что выполняется равенство < v > dl =< v > dl .Замечание. В металлическом проводнике носителями тока являются отрицательно заряженныеэлектроны. Хоть электроны и движутся против положительного направления для тока, но вектор магнитной силы Лоренца, действующей на них, направлен так же, как если бы носители тока были положительно заряженными частицами.Полученное выражение для суммарной силы совпадает с выражением для силы Ампера.Таким образом, можно сказать, что сила Ампера – это суммарная магнитная сила Лоренца, действующая на носители тока в покоящемся проводнике.Пример. Найдем величину силы взаимодействия двух бесконечных параллельных прямых проводников с токами I1 и I2 (на единицу длины),расстояние между которыми равно b.bРешение.
Каждый из проводников создаёт в окружающем пространстве магнитное поле, сило-I1F21вые линии которого – окружности (в перпендиI2B1кулярной плоскости) с центром на оси проводника. Рассмотрим проводник с током I2. Он находится в магнитном поле проводника с токомI1, индукция которого на расстоянии b равнаB1 =µ 0 I1.
Вектор индукции B1 направлен пер2πbпендикулярно проводнику. Тогда на часть этого проводника длиной l действует сила Ампера,величина которой F21 = I 2lB1 = I 2lвия (на единицу длины) Fl =µ0 I1 µ0 I1 I 2=l . Следовательно, величина силы взаимодейст2πb 2π bF21 µ 0 I1 I 2=. Полученное выражение совпадает с законом Ампера,l2π bчто говорит о верности проведённых рассуждений.10Семестр 3. Лекции 7-8.Замечание. Если токи направлены одинаково, то проводники притягиваются, а если противоположно, то отталкиваются.Замечание. Так как электрический ток – это упорядоченное движение заряженных частиц, томожно утверждать, что в пучке частиц движущихся в одинаковом направлении будут действовать силы, стремящиеся сжать пучок.Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле.Рассмотрим (металлический) проводник, который поступательно движется с некоторойскоростью u в магнитном поле с индукцией B (предполагаем, что u << c ).
У каждого носителятока есть дополнительная скорость упорядоченного движения вместе с проводником u . Т.к.проводник в целом электрически нейтрален, то в нём присутствуют и положительные заряды,покоящиеся относительно проводника, и которые тоже буВFМ_Л_Д-дут перемещаться со скоростью u вместе с проводником.Суммарный заряд этих положительных зарядов в объёме<v>Iαнов. Суммарная дополнительна плотность тока равна в этомFМ_Л_Д+uпроводника равен по величине суммарному заряду электро-Fqслучае нулюj ДОП = q+ n+ u + q− n−u = Q+ u + Q−u = 0 .()На свободные электроны, помимо силы Fq = q < v > × B , вызванной вектором среднейскорости упорядоченного движения, будет действовать дополнительная магнитная сила Лорен-()ца, вызванная вектором скорости u FМ _ Л _ Д − = − q u × B .Так как положительные заряды тоже перемещаются в магнитном поле (вместе с провод-()ником), то появится дополнительная магнитная сила Лоренца FМ _ Л _ Д + = q u × B .Магнитные силы Лоренца, действующие на положительные и отрицательные заряды ивызванные дополнительной скоростью u , компенсируют друг другаFМ _ Л _ Д + + FМ _ Л _ Д − = 0 .Поэтому выражение для суммарной магнитной силы Лоренца, действующей на проводник с током, движущийся в магнитном поле, не изменится()FA = I dl × B .Найдём работу этой силы на малом перемещении проводника dr , считая силу тока постоянной() ( ( dl × B ) ,dr ) .δAA = FA ,dr = I11Семестр 3.
Лекции 7-8.Пусть в декартовой системе координат dl = ( dx,dy,dz ) и dr = ( drX ,drY ,drZ ) , а ( eX ,eY ,eZ ) - орты,тогда, т.к( dl × B ) =eXeYeZdxBXdyBYdz ,BZто(( dl × B ) ,dr ) =drXdrYdrZBXBYBZBXBYBZdxBXdyBYdz = − dxBZdrXdydrYdz = drXdrZdxdrYdydrZ = dr × dl ,B .dz(() )(Сначала переставили первую и третью строки, а затем вторую и третью).Т.е. работу силы Ампера можно записать в виде δAA = I(( dl × B ) ,dr ) = I (( dr × dl ) ,B ) .()По определению векторного произведения векторов dr × dl = dS - это вектор, перпендикулярный к векторам dr и dl , а длина его равна площади параллелограмма, построенного навекторах dr и dl .
Поэтому(( dr × dl ) ,B ) = ( B,dS ) = d ΦB- поток вектора магнитной индукциичерез эту малую площадку. Следовательно, работа δAA = I ⋅ d Φ B .В общем случае, при постоянной силе тока I, можно записать выражение для работы силы Ампера()AA = I ∫∫ B,dS = I ⋅ ∆Φ BS()где ∆Φ B = ∫∫ B,dS - магнитный поток через поверхность «заметаемую» проводником при егоS()движении, при этом в каждый момент времени векторы dr ,dl ,dS образуют правую тройку.Контур с током в магнитном полеРассмотрим прямоугольный (ориентированный) контур 12341 с постоянным током, находящийся в однородном магнитном поле.
Направление нормали к контуру и направление токав контуре согласованы правилом правого винта (буравчика). Пусть сила тока в контуре I, B –величина индукции магнитного поля, α - угол между нормалью к контуру и вектором B . Пустьдлина стороны 12 равна a, а стороны 23 – b.Рассмотрим несколько различных случаев.1) Пусть угол α=0, т.е.
векторы B и n сонаправлены.BF344F41121InIII2F123F23На стороны прямоугольника действуют силыСеместр 3. Лекции 7-8.F12 = F34 = IBa , F23 = F41 = IBb . Векторы всех сил лежат в одной плоскости и растягивают контур. Сумма сил равна нулевому вектору, и суммарный момент сил – тоже нулевой вектор.Если угол α=π, то силы сжимают контур.2) Пусть α=π/2 и вектор B параллелен стороне 12.F41 4I4ZO2Bn ZnO21IВ этом случае F12 = F34 = 0 , F23 = F41 = IBb .
СуммаМα23IF23Bсил равна нулевому вектору, но суммарный мо-B 3BYмент сил равен моменту пары сил (например, от-BX1Xносительно оси О1О2)YaaM O1O2 = F23 ⋅ + F41 ⋅ = IBba . А вектор момента222сил M лежит на оси О1О2 (т.к. векторы сил стремятся развернуть контур вокруг этой оси).Напоминание – направление вектора момента силы вдоль оси согласовано с возможным направлением поворота под действием силы вокруг этой оси «правым винтом».3) Рассмотрим случай, когда вектор B направлен произвольным образом. Введём декартовусистему координат, начало которой поместим в центре прямоугольника, ось Z направлена вдольнормали, а стороны параллельны осям X и Y.Тогда в координатной записи B = ( BX ,BY ,BZ ) .Расписываем проекции моментов сил на осиM X = IBY ab , M Y = − IBX ab , M Z = 0 .
Для этого контура вектор магнитного момента равенpm = nIS = nIab , его координаты pm = ( 0,0,Iab ) .Утверждение. Момент сил, действующий на контур с током в магнитном поле равен()M = pm × B .Доказательство. Это утверждение легко проверить во введённой декартовой системе коорди-()eXнат. Действительно M = pm × B = pmXBXeYeZeXeYeZpmYBYpmZ = 0BZBX0BYIab = eX IBY ab − eY IabBX .♣BZСледствие. Величина момента сил, действующих на контур с током в магнитном поле равнаM = pm B sin α = ISB sin α .Отсюда следует, что вектор момента силы равен нулю в двух случаях: при α=0 и α=π.
Но положение равновесия при α=π является неустойчивым. Следовательно, момент сил стремитсяразвернуть контур так, чтобы вектор магнитного момента был сонаправлен вектору индукциимагнитного поля.13Семестр 3. Лекции 7-8.При повороте контура на малый угол (при постояннойZсиле тока) будет совершена работаBF344F41III(F23)δA = Md α = pm B sin αd α = − d ( pm B cos α ) = − d pm ,B . ЭтоYI1Xn3выражение позволяет ввести энергию взаимодействия контура с магнитным полем2()Wm = pm ,B .F12Рассмотрим теперь малый контур в неоднородноммагнитном поле. В этом случае суммарная сила, действующая на контур уже не равна нулю.Рассмотрим частный случай, когда контур находится в неоднородном поле в положении, прикотором момент сил равен нулю.Пусть это - прямоугольный контур, находящийся в плоскости XY.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
