phys_3sem_lection_all (823856), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Найдем силы, действующие на пластины в заряженном плоском конденсаторе, отключённом от источника. Пластины заряжены разноименно, поэтому они притягиваются. Предположим, что пластины сблизились на малую величину x. Тогда объём конденсатора уменьшилсяна величину dV=xS, поэтому энергия конденсатора уменьшилась на dW=wdV. Силы притяжения совершат работу δA=Fx.
Так как δA= dW, то Fx=wxS. Поэтому величина силы равна F=wS.Дополнительное давление, которое создают эти силы, равно p =F= w .♣SПриведённые примеры показывают, что на тела, находящиеся в электрическом поле,действуют силы, вызывающие дополнительное давление, равное объёмной плотности энергии.Давление, вызванное наличием электрического поля равно объёмной плотности энергии.Замечание. Силы, действующие на тела со стороны какого-то поля, называются пондемоторными.7Семестр 3.
Лекции 5-6.Лекции 5-6. Магнитные явления.Вектор индукции магнитного поля. Закон Био-Савара. Принцип суперпозиции магнитныхполей. Поле прямого и кругового токов. Теорема о циркуляции вектора индукции магнитногополя в интегральной и дифференциальной форме. (Расчёт магнитного поля тороида и соленоида).Намагниченность вещества. Вектор напряжённости магнитного поля и его связь свекторами индукции и намагниченности. Магнитная восприимчивость и магнитная проницаемость вещества. Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики.Опыт показывает, что электрические токи взаимодействуют между собой.
Сила взаимодействия (на единицу длины) двух прямолинейных тонких параллельных проводников с токамиI1 и I2 , расстояние между которыми равно b, дается законом АмпераFl =FII=k 1 2 .lbОдинаково направленные токи притягиваются, противоположно направленные – отталкиваются. Константа в вакууме имеет вид k =µ0, где µ 0 = 4π ⋅10−7 Гн/м (Генри/метр) – маг2πнитная постоянная.Замечание. Магнитная постоянная и диэлектрическое постоянная «входят» в полезное соотно1= c 2 , где c ≈ 3 ⋅108 - скорость света в вакууме.ε 0µ 0шениеЗамечание.
Закон Ампера связывает механическое понятие силы с единицами измерения силытока и электрического заряда.По современным представлениям токи взаимодействует между собой посредством промежуточной среды, которая называется магнитное поле.Магнитное поле характеризуется вектором магнитной индукции B . Величина индукцииизмеряется в Теслах (Тл).
Силовой линией магнитного поля называется линия в пространстве,касательная к которой в каждой точке направлена как вектор B .Магнитное поле проявляется в действии на движущиеся заряды (токи). На покоящиесязаряды магнитное поле не действует.Магнитное поле не имеет источников - оно создается только движущимися зарядами(электрическим током), поэтому силовые линии магнитное поля являются замкнутыми ли-ниями.Принцип суперпозиции для магнитного поля: вектор индукции магнитного поля, создаваемого системой движущихся электрических зарядов (электрических токов), равен векторной1Семестр 3. Лекции 5-6.сумме индукций магнитных полей, создаваемых каждым из движущихся электрических зарядов(токов) в отдельности:BΣ = ∑ Bi .iАналогом пробного заряда для магнитного поля является пробный контур сnтоком очень маленьких размеров.
Этот контур является ориентированным –направление нормали n к площадке контура согласовано с направлением токаIв нём правилом буравчика (правого винта). Опыт показывает, что на пробныйконтур действует вращающий момент сил, зависящий от угла между вектороминдукции магнитного поля и вектором нормали к площадке контура, а также от силы тока и величины площади. Максимальное значение момента даётся выражением M MAX = ISB . Поэтомувеличину индукции магнитного поля в данной точке определяют какB=M MAX.ISОпределение. Магнитным моментом контура (с постоянным) током называется векторная величинаpm = I ⋅ S ⋅ n .S- величина площадки, ограниченной контуром, I – сила тока.
Контур является ориентирован-ным – направление нормали к площадке контура согласовано с направлением тока в нём правилом буравчика (правого винта). Единица измерения магнитного момента А⋅м2 (Ампер⋅м2).Закон Био-Савара-Лапласа.Опыт показывает, что магнитная индукция, создаваемая малым участком проводника стоком I, определяется законом Био-Савара-Лапласа:dB =Величина вектора dB =dl()µ 0 I dl × r.4πr3µ 0 Idlsin α .
Здесь dl - касательный вектор к линии тока, направленный4π r 2αrαdBв положительном направлении для тока, (dl – длина малого проводника), I – сила тока в про-2Семестр 3. Лекции 5-6.воднике, r - вектор, проведенный от малого проводника в точку, где ищется вектор индукции()магнитного поля, α - угол между векторами dl и r . Векторы dl ,r ,dB образуют правуютройку векторов.1) Рассмотрим магнитное поле, создаваемое длинным тонким прямым проводом, по которомутечет постоянный ток силой I.Найдем величину и направление вектора магнитной индукции в точке, находящейся на расстоянии R от провода. Применим принцип суперпозицииB = ∑ dBdl ,dlгде dBdl =()µ 0 I dl × r- вектор магнитной индукции, создаваемый элементом dl .4πr3Векторы dB от всех dl в выбранной точке направлены одинаково()(перпендикулярно плоскости, образованной векторами dl ,r ), поэтому можно перейти от векторной суммы к сумме величин+I0xB = ∑ dBdl , где dBdl =dBRdlµ 0 Idl sin α4π r 2Ведём координату х, отсчитываемую от точки пересечения проводаαrи перпендикулярного отрезка к проводу, восстановленного из точ-dxки наблюдения.
Тогда r = x 2 + R 2 , r sin α = R , dx = dl , поэтомуdl+∞+∞µ IRdx µ IRdxB= ∫ 0 3 = 0 ∫.24π r4π −∞ ( R + x 2 )3 2−∞+∞Но∫−∞dx(R2+x32 2)=2(см. лекцию № 1).R2Окончательно, величина индукции магнитного поля на расстоянии R от тонкого, длинного прямого провода с постоянным током, определяется соотношениемB=Bµ0 I2πRСиловые линии магнитного поля, создаваемого токомBIв бесконечно длинном прямом проводнике, представляют собой окружности, лежащие в плоскости,перпендикулярной проводу, и с центром на оси про-вода.
Направление вектора B определяется по правилу правого винта. (Или правой руки: если3Семестр 3. Лекции 5-6.обхватить правой рукой провод так, чтобы большой палец был направлен по току, то остальныепальцы покажут направление «закрученности» В.)2) Рассмотрим магнитное поле, создаваемое круговым контуром с постоянным током на осиконтура.По контуру течёт ток силой I, радиус контураR.
Найдём величину индукции магнитного поля вdl1r1αточке, находящейся на расстоянии x от плоскостиdB1контура вдоль оси.RαxЛюбые два элемента dl1 и dl2 , расположенныеdB1+dB2IdB2r2симметрично относительно центра контура, создают вточке наблюдения два симметричных относительнооси вектора dB1 и dB2 . Сумма этих векторов лежит наdl2оси контура. Поэтому при нахождении суперпозициинадо учитывать только проекцию векторов на осьB = ∑ dBdl cos α .dlТ.к.
образующая конуса перпендикулярна касательной к основанию, то угол между векторамиdl и r - прямой, поэтомуdBdl =µ 0 Idl.4π r 2Для всех элементов dl величины r = R 2 + x 2 и cos α =B = ∑ dBdl cos α = ∑dldlRR2 + x2одинаковые. Следовательно,µ 0 Idlµ Iµ Icos α = 0 2 cos α ∑ dl = 0 2 cos α 2πR24π r4π r4π rdlилиB=µ0IR 2.2 ( R 2 + x 2 )3 2С учётом определения магнитного момента контура pm = ISn ивеличины площади круга S = πR 2 , можно записать эту формулу ввидеBB=µ 0 I πR 2 nµpm= 0.322222π ( R + x )2 π ( R + x 2 )3 24Семестр 3. Лекции 5-6.Замечание. Картина силовых линий магнитного поля кольца обладает осевой симметрией, поэтому вектор индукции в каждой точке плоскости кольца направлен перпендикулярно этойплоскости.
Кроме того, в каждой точке поля вектор B лежит в плоскости, проходящей черезось кольца (продольной плоскости).Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции.Так как силовые линии магнитного поля замкнутые, то это поле является вихревым, т.е.( )rot B ≠ 0 , поэтому циркуляция этого векторного поля вдоль любого контура Г не равна нулю∫ ( B,dl ) = ∫∫ ( rot ( B ) ,dS ) ≠ 0 .ΓSПример.
Найдем циркуляцию вектора магнитной индукции поля, создаваемого прямым проводом с током. В качестве контура Г возьмём какую-нибудь силовую лиIнию (представляющую собой, как нам уже известно, окружность с цен-nтром на оси провода и лежащую в плоскости, перпендикулярной к проводу). Пусть радиус этой линии равен R, тогда величина магнитной ин-Bdlдукции на этой линии постоянна и равна B =µ0 I. Выберем ориента2πRцию на контуре Г так, чтобы векторы dl и B были направлены одинаково. (В этом случаенормаль n к кругу, ограниченному контуром, и направление тока совпадают.) Тогдаµ0 I∫ ( B,dl ) = ∫ B cos ( 0 ) dl = ∫ Bdl = B ∫ dl = B 2πR = 2πR 2πR = µ I .00ΓΓΓΓВыберем ориентацию на силовой линии так, чтобы векторы B и dl были направленыпротивоположно, (при этом нормаль n к кругу, ограниченному контуром, и направление токатоже будут направлены противоположно). В этом случаеµ0 I∫ ( B,dl ) = ∫ B cos (180 ) dl = − ∫ Bdl = − B ∫ dl = − B 2πR = − 2πR 2πR = −µ I .♣00ΓΓΓΓЭтот результат не является случайным, его можно обобщить в виде теоремы о циркуляции вектора индукции магнитного поля.Циркуляция вектора индукции магнитного поля по любому ориентированному замкнутому контуру пропорциональна алгебраической сумме токов, пронизывающих ориентированную площадку, ограниченную контуром.
Ориентация контура и площадки согласованы правилом правого винта. Коэффициент пропорциональности – магнитная постоянная.∫ ( B,dl ) = µ ∑ I0ΓkkСила тока берётся со знаком плюс, если угол между направлением тока и направлением нормали к площадке меньше 90 градусов, и минус если больше.5Семестр 3. Лекции 5-6.Если ввести векторное поле плотности тока j так, чтобы∑ I = ∫∫ ( j ,dS ) , то используяkkSтеорему Стокса∫ ( B,dl ) = ∫∫ ( rot ( B ) ,dS ) = µ ∫∫ ( j ,dS ) ,0ΓSSполучаем дифференциальную форму записи теоремы о циркуляции вектора магнитной индукции( )rot B = µ 0 j .Замечание. Хоть магнитное поле и является вихревым, но отсюда не следует, что циркуляциявектора индукции всегда отлична от нуля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
