phys_3sem_lection_all (823856), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Это уравнение Пуассона.ε0При отсутствии зарядов (ρ=0) получаем уравнение Лапласа ∆ϕ = 0 .При решении подобной задачи необходимо задать граничные условия – значения потенциала или напряжённости на границе рассматриваемой области.Семестр 3. Лекция 3.1Лекция 3. Электростатическое поле в диэлектрике.Электрический диполь в электростатическом поле.
Поляризация диэлектриков. Электростатическое поле в диэлектрике. Поляризованность. Свободные и связанные заряды. Связьполяризованности с плотностью связанных зарядов. Вектор электрического смещения. Обобщение теоремы Гаусса. Поле на границе раздела диэлектриков.Все вещества состоят из атомов и молекул, которые, в свою очередь, состоят из заряженных частиц.
Эти заряженные частицы находятся в постоянном движении, поэтому приклассическом описании их движения будут рассматриваться усреднённые по времени величины.Если в веществе есть электрические заряды, способные относительно свободно перемещаться впределах тела даже под действием слабого электрического поля, то такие вещества относятся ктак называемому классу проводников. Соответственно, вещества, в которых нет «свободно»движущихся зарядов (при обычных условиях) относят к диэлектрикам.Замечание. Это деление на классы проводников и диэлектриков весьма условно.
Некоторые вещества, являющиеся проводниками в определённых условиях, становятся диэлектрикамив других, и наоборот.Замечание. В проводниках, находящихся в электростатическом поле, суммарное внутреннее электрическое поле характеризуются нулевой напряженностью.
В диэлектриках напряженность суммарного поля отлична от нуля.Рассмотрим поведение диэлектриков в электрическом поле.Заряды, не входящие в состав вещества, будем называть сторонними (но они могут находиться внутри вещества). Эти заряды создают электрическое поле, которое будем называтьвнешним.В диэлектрике при нормальных условиях нет свободно движущихся носителей зарядов.Все заряды, из которых состоит диэлектрик, связаны друг с другом.
Их называют связанными.Электрические заряды образуют молекулы. Если в отсутствии внешнего электрического поляэлектрические заряды в молекуле пространственно разделены, то молекула называется полярной, в противном случае – неполярной.Во внешнем электрическом поле неполярная молекула вытягивается вдоль силовой линии поля, а полярная разворачивается. Можно приближенно считать, что крайние связанные заряды-q′E′+q′двух соседних диполей в глубине диэлектрика взаимно компенсируются, но заряды, расположенныевблизи поверхности диэлектрика ничем не ском-Eпенсированы.
Эти некомпенсированные зарядыСеместр 3. Лекция 3.2создают дополнительное электрическое поле внутри диэлектрика, которое изменяет внешнее.Это явление разделения связанных зарядов и появления дополнительного поля называется поляризацией диэлектрика.Теперь опишем поляризацию количественно.В простейшем случае молекулу можно представить как два одинаковых по величине, нопротивоположных по знаку заряда. Такая систе-qpма зарядов называется диполь. ЭлектрическимF+αдипольным моментом называется векторная веEF−личина p = qL , где q – величина заряда, L – рас--qстояние между зарядами.
(Единица измеренияКл⋅м).Вектор момента p направлен от отрицательного заряда к положительному.На диполь, помещенный в электрическое поле, действует момент пары сил, величина которогоM = F+ L sin α = qEL sin α = pE sin α .В векторном видеM = p× E .В состоянии равновесия диполя вектор дипольного момента p параллелен вектору напряженности E .В отсутствии внешнего поля в диэлектрике с полярными молекулами, диполи ориентированы хаотически. В диэлектрике, находящемся в электростатическом поле, в состоянии равновесии диполи преимущественно расположены вдоль поля.Рассмотрим в диэлектрике некоторый физически малый объем величиной V.
Введем вектор поляризованности веществаNP=∑pi =1Vi.Единица измерения Кл/м2. В однородном изотропном диэлектрике этот вектор направлен параллельно вектору напряженности, поэтому можно записатьP = æε 0 E .Безразмерный параметр æ называется коэффициентом поляризуемости или диэлектрическойвосприимчивостью вещества.Рассмотрим тонкий косой цилиндр, ось которого параллельна вектору напряженностивнешнего поля.Семестр 3. Лекция 3.3NP =pNp1p2∑pi =1Vi=Nq′Lq′σ′==SNL cos α S cos α cos αEαгде q′ - величина связанного заряда.
Обратитевнимание: величина вектора не зависит от количе-ства суммируемых диполей – она определяется только поверхностной плотностью связанногозаряда. Отсюда получаем для нормальной составляющей вектораPn = P cos α = σ′ .Нормальная составляющая вектора поляризованности равна поверхностной плотности связанного заряда.Теперь найдём поток вектора поляризованности через некоторую малую поверхность S.()Φ P = ∫∫ P,dS = ∫∫ P cos αdS ≈ P cos αS = σ′S = q′ .SSТаким образом, поток вектора поляризованности через некоторую малую площадку равен величине связанного заряда, создающего этот вектор.Рассмотрим поток этого вектора через некоторую замкнутую ориентированную поверхность внутри диэлектрика∫∫ ( P,dS ) = ∫∫SP cos αdS =S∫∫ σ′dS .SПредположим, что вектор поляризованности направлен наружу, т.е.
внутри поверхности суммарный связанный заряд отрицательный. Тогда, учитывая, что поток вектора положительный, азаряд отрицательный:∫∫ ( P,dS ) = ∫∫ σ′dS = −q′ .SSЭто теорема Гаусса для вектора поляризованности в интегральном виде. Соответственно, вдифференциальном виде:( )div P = −ρ′ .Запишем теорему Гаусса для электростатического поля внутри диэлектрика( )div E =ρСТОР + ρ′.ε0(здесь указано, что электрическое поле создается сторонними зарядами с объемной плотностьюρ и связанными зарядами с объемной плотностью ρ′).( )( )()div ε 0 E = ρСТОР + ρ′ = ρСТОР − div P или div ε 0 E + P = ρСТОР .Семестр 3.
Лекция 3.4Вектор D = ε 0 E + P называется вектором электрического смещения или вектором электрической индукции. Следовательно, из теоремы Гаусса для вектора электрической напряженности следует теорема Гаусса для вектора электрического смещения( )div D = ρСТОР .Это теорема Гаусса для электрического поля в веществе (в дифференциальной форме).В интегральной форме теорема Гаусса для электрического поля в веществе: поток вектора электрического смещения через любую замкнутую поверхность, ориентированную наружу, равен алгебраической сумме сторонних зарядов, охватываемых этой поверхностью.∫∫ ( D,dS ) = q .SВ однородном, изотропном диэлектрике P = æε0 E , поэтомуD = ε 0 E + æε0 E = ( æ +1) ε 0 EЕсли обозначить ε=æ+1 – (относительную) диэлектрическую проницаемость вещества, то длявектора смещения внутри однородного изотропного диэлектрика D = εε 0 E .Замечание.
Для вакуума ε=1 (нет вещества, поэтому æ=0). Для воздуха при условиях незначительно отличающихся от нормальных тоже ε≈1.Поле на границе раздела диэлектриков.Рассмотрим поле на плоской границе разде-LAdlE1B2ла (в случае неплоской границы достаточно рас-dlDсмотреть очень малый участок).
Воспользуемся1теоремой о циркуляции вектора напряженности вhCинтегральном виде∫ ( E,dl ) = 0 .E2LВ качестве контура интегрирования выберем прямоугольник ABCD размером L×h, расположенный таким образом, что одна сторона DA находится в первом диэлектрике, вторая BC – вовтором, а граница делит прямоугольник пополам.∫ ( E,dl ) = ∫ ( E,dl ) + ∫ ( E ,dl ) + ∫ ( E,dl ) + ∫ ( E,dl ) = 0 .LDAABBCCDПри устремлении h→0 значения второго и четвёртого интегралов стремятся к нулю.()Но E,dl = Et dl , где Et – касательная составляющая вектора напряженности.Поэтому∫ ( E,dl ) ≈ ∫ ( E,dl ) + ∫ ( E,dl ) = E1tLDAABL − E2 t L = 0 .Семестр 3. Лекция 3.5Окончательно, E1t = E2t - на границе раздела ди-Lэлектриков величина касательной составляющей1nD1вектора напряженности электрического поля неh2Теперь применим теорему Гаусса в веществе.nD2меняется.∫∫ ( D,dS ) = q .SВ качестве поверхности интегрирования выберем прямой цилиндр высотой h, основания которого (площадью S каждое) параллельны границе раздела.
Пусть граница раздела делит пополамцилиндр. Тогда∫∫ ( D,dS ) = ∫∫ ( D,dS ) + ∫∫ ( D,dS ) + ∫∫ ( D,dS ) = q .S() (S1ОСНS 2 ОСНS БОК)Учтем, что D,dS = D,n dS = Dn dS , где Dn – нормальная составляющая вектора смещения.Если высота цилиндра стремится к нулю h→0, интеграл по боковой поверхности цилиндрастремится к нулю, поэтому∫∫ ( D,dS ) + ∫∫ ( D,dS ) ≈ − D1nS1ОСНВ пределе, с учетом q =S + D2 n SS 2 ОСН∫∫ σdS = σS , получаемSОСНD2 n − D1n = σ .Изменение величины нормальной составляющей вектора смещения на границе раздела диэлектриков равно плотности стороннего заряда на границе. Если на границе нет сторонних зарядов (σ=0), то нормальная составляющая вектора смещения не меняется: D2 n = D1nЕсли рассмотреть теорему Гаусса для вектора поляризованности в интегральной форме∫∫ ( P,dS ) = −q′Sто можно, по аналогии, записатьP2 n − P1n = −σ′ .Изменение величины нормальной составляющей вектора поляризованности равно с обратнымзнаком поверхностной плотности связанного заряда.En αEСоотношения на границе диэлектрика (при отсутствии сторонних зарядов) можно переписать в виде ε 2 E2 n = ε1 E1n , E1t = E2t .Если ввести уголEtотклонения силовой линии от нормали к границе диэлектрика tg α =Et,EnСеместр 3.
Лекция 3.6то для углов по разные стороны от границыtg α 2 E2 t E1n E1n ε 2=== .tg α1 E2 n E1t E2 n ε1При ε2>ε1 получаем α2>α1 – в диэлектрике с большей относительнойпроницаемостью силовые линии больше отклоняются от вертикальногонаправления. Т.е. можно сказать, что в диэлектрике силовые линии электрического поля сгущаются. Говорят, что диэлектрик «накапливает силовые линии».Пример. Рассмотрим поле внутри и снаружи равномерно заряженного шара. Диэлектрическаяпроницаемость внутри постоянна и равна ε>1. Вне шара ε=1. Пусть заряд шара q>0, а радиус R,тогда объемная плотность заряда ρ =q4 3πR3.
Задача имеет сферическую симметрию.При r<R в качестве поверхности интегрирования возьмем концентрическую сферу меньшегорадиуса. Поверхность ориентирована наружу. Вектор смещения и нормаль в каждой точке параллельны друг другу. По4теореме Гаусса D 4πr 2 = ρ πr 3 .3Поэтому при r<R получаем величина смещения D =да для напряжённости E1 =E1 =Снаружи при r>R напряжённость поля E2 =ρr , отку3D1εε 0ρqr=r.3εε 04πεε0 R 3q.
Видно, что на границе раздела величина4πε 0 r 2вектора напряженности терпит разрыв при r=R (т.к. ε>1):E1 =qq< E2 =.24πεε 0 R4πε 0 R 2Этот «разрыв» величины напряжённости вызван наличием на поверхности диэлектрика связанных зарядов.На границе шара сохраняется нормальная составляющая вектора смещения D2 n = D1n :действительно, вектор D направлен по радиусу, поэтому его нормальная составляющая равнавеличине вектора Dn = D . Но на границе шара D1 = D2 =q4πR 2Семестр 3. Лекция 3.7Величина поляризованности внутри шараP1 = æ1ε 0 E1 = ( ε1 − 1) ε 0 E1 = ( ε1 − 1) ε 0( ε − 1) q r .qr= 134πε1ε 0 R4πε1 R3Вне шара величина вектора поляризованности (ε2=1)P2 = æ 2 ε 0 E2 = ( ε 2 − 1) ε0 E2 = 0 .Вектор внутри шара P направлен по радиусу (т.к.
он направлен также как E ), поэтому его нормальная составляющая равна величине вектора Pn = P .Поэтому на границе должно выполняться: − P1 = −σ′ , откуда плотность связанных зарядов наповерхности шара:σ′ = ( ε1 − 1) ε 0 E1 = ( ε1 − 1) ε 0′ = σ′S =Поверхностный связанный заряд qПОВq ( ε1 − 1)q=.4πεε 0 R 24πε1 R 2q ( ε1 − 1)4πε1 R24πR 2 =q ( ε1 − 1)ε1.( )Из теоремы Гаусса div P = −ρ′ для вектора поляризованности найдём объёмную плотностьсвязанного заряда.Для сферически симметричного случая divP = 2P dP+, поэтомуr dr ( ε − 1) q ( ε1 − 1) q ( ε1 − 1) q P dP ρ′ = − 2 1 + 1 = − 2 1+=−334πε1 R 3 4πε1 R 3 r dr 4πε1 R′= ρ′VВНУТР = −3Откуда связанный заряд внутри шара qВНУТР′′ = 0 .♣Общий связанный заряд всего шара q′ = qВНУТР+ qПОВ( ε1 − 1)4πε1( ε1 − 1) q .q 4 3π=−RR3 3ε1Семестр 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
