phys_3sem_lection_all (823856), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Здесь α - угол отклонения вектора скорости жидкости v от направления, перпендикулярного площадке - т.е. угол между вектором единичной нормали к площадке и вектором скорости жидкости. Если ввести вектор S = S ⋅ n , то объёмный расход жидкости, т.е. объём жидкости, протекающей через площадку в единицу времени, определяется соот-( )ношением Q = vS cos α = v ,S .♣2) Интеграл от векторного поля вдоль кривой линии Г («гамма»):∫ ( v ,dl ) , где dl- касательныйΓвектор к каждой точке кривой. Таким образом, кривая является ориентированной – она имеет начальную и конечную точки (так как задано направление вдоль кривой сvпомощью вектора dl ).В случае, когда векторное поле однородное, а кривая – отрезок прямой ли-αГdlнии длиной L, интеграл равен∫ ( v ,dl ) = v ⋅ L cos αΓгде α - угол между векторами поля и касательным вектором.В случае если кривая линия не является прямой и векторное поле не постоянное, нужноразбить линию на малые почти прямолинейные участки длиной dl , такие, что на каждом из уча-Семестр 3.

Лекции 1-2.12стков поле можно рассматривать как однородное. Для каждого участка найти величину()v ⋅ dl cos α = v ,dl , а затем просуммировать полученные все выражения∑()v ⋅ dl cos α = ∫ v ,dl .ΓКриваяПусть кривая линия является замкнутой (без самопересечений во внутренних точках). Такую линию будем в дальнейшем называть контуром. Интеграл от векторного поля v по замкнутой кривой Г:∫ ( v ,dl ) называется циркуляцией этого векторного поля вдоль контура Г (кружок вΓзнаке интеграла условно обозначает, что кривая - замкнутая).3) Теорема Стокса.Если рассмотреть незамкнутую поверхность S, то край этой поверхности будет являться замкнутой кривой.

Будем считать, что поверхность является ориентируемой (т.е. она – двусторонняя).(Односторонней поверхностью является, например, лента Мёбиуса – поэтому она не ориентируемая). Если Г – кривая, являющаяся краем поверхности S, то можно рассмотреть циркуляцию векторного поля вдоль края Г:∫ ( v ,dl ) .ΓВекторному полю v можно сопоставить ещё одно векторное поле rot ( v ) , которое называется ротором векторного поля v .

В декартовой системе координат оно определяется соотношениемrot ( v ) =exey∂∂xvx∂∂yvyez ∂v ∂v y∂= ex  z −∂z ∂y ∂zvz ∂vx ∂vz− + ey  ∂z ∂x ∂v y ∂vx − + ez  ∂x ∂y где ex , ey , ez - орты декартовой системы координат.nSТеорема Стокса гласит:∫ ( v ,dl ) = ∫∫ ( rot ( v ) ,dS ) .ΓSЦиркуляция векторного поля вдоль края ориентируемой поверхности рав-ndlГна потоку ротора этого поля через эту поверхность. Направление касательного вектора dl к краю Г выбирается так чтобы поверхность остава-лась слева при обходе, а нормаль направлена наружу (правый винт).Смысл ротора можно прояснить следующим примером.

Рассмотрим диск, вращающийсявокруг оси симметрии с угловой скоростью ω. Скорость любой точки определяется расстояниемдо оси вращения v = R ⋅ ω . Вектор скорости любой точки направлен по касательной к её траектории – окружности с центром на оси вращения. Можно сказать, что на диске задано векторное полеСеместр 3.

Лекции 1-2.13– поле векторов скоростей всех точек v . Найдем ротор этого поля rot ( v ) . Воспользуемся теоремой Стокса∫ ( v ,dl ) = ∫∫ ( rot ( v ) ,dS ) .ΓSЕсли взять малую площадку S, то по теореме о среднем для интеграла можно приближенно записать∫ ( v ,dl ) = ∫∫ ( rot ( v ) ,dS ) = ∫∫ ( rot ( v ) ,n ) dS = ∫∫ ( rot ( v ) )ΓSSndS ≈ ( rot ( v ) ) n ⋅ S ,Sгде ( rot ( v ) ) n - проекция ротора на нормаль к площадке S.В качестве контура Г возьмём окружность малого радиуса R с центром на оси вращения.Длина этой окружности 2πR , она охватывает площадку S, площадьωкоторой πR 2 .

В каждой точке этой окружности вектор скорости наvГправлен по касательной к ней, поэтому угол между малым касательным вектором dl и вектором скорости v равен нулю. Следовательно( v ,dl ) = v ⋅ dl .На выбранной окружности Г величина скорости не меняетсяv = R ⋅ ω = const . Тогда∫ ( v ,dl ) = ∫ v ⋅ dl = ωR ∫ dl .ΓИнтеграл∫ dl = 2πRΓΓравен длине окружности Г, поэтому циркуляцияΓ∫ v ⋅ dl = 2πωR2.ΓОткуда 2πωR 2 ≈ ( rot ( v ) ) n πR 2 .После сокращений устремим радиус окружности R к нулю, и получим проекцию ротора на осьвращения( rot ( v ) )n= 2ω .Т.е. ротор векторного равен удвоенной угловой скорости вращения точек области, где задано векторное поле.

Поэтому иногда ротор также называют вихрем поля. Поля, для которых ротор отличен от нуля называют вихревыми или соленоидальными. Оказывается, для любого вихревого поляv существует некоторое векторное поле a , такое, что выполняется равенствоv = rot ( a ) .4) Потенциальное поле. Векторное поле v , для которого существует непрерывно-дифференцируемая функция Ф, такая, что в некоторой области выполняется равенствоv = grad ΦСеместр 3. Лекции 1-2.14называется потенциальным в этой области.Ротор потенциального поля равен нулевому вектору rot ( gradΦ ) = 0 . ∂Φ ∂Φ ∂Φ Действительно, т.к.

grad Φ = ,, , то ∂x ∂y ∂z ex∂rot ( v ) =∂x∂Φ∂xeyez∂∂y∂Φ∂y ∂ 2Φ ∂ 2Φ  ∂ 2 Φ ∂ 2Φ  ∂ 2Φ ∂ 2Φ ∂= ex −−− + ey  + ez  = 0.∂z ∂y∂z ∂z∂y  ∂z∂x ∂x∂z  ∂x∂y ∂y∂x ∂Φ∂z5) Теорема Остроградского-Гаусса.Любому непрерывно-дифференцируемому векторному полю v соответствует функция, называемая дивергенцией этого векторного поляdiv ( v ) =∂vx ∂v y ∂vz++.∂x ∂y ∂zТеорема Остроградского-Гаусса: поток векторного поля через замкнутую поверхность, ориентированную наружу, равен интегралу от дивергенции этого поля по объёму, охваченному этойповерхностью∫∫ ( v ,dS ) = ∫∫∫ div ( v ) dVSVСмысл дивергенции. Рассмотрим выпуклую поверхность, охватывающую достаточно малый объём.

Тогда по теореме о среднем для интеграла∫∫ ( v ,dS ) = ∫∫∫ div ( v ) dV ≈ div ( v ) ⋅VSVПредположим, что векторное поле «втекает» внутрь объёма V, т.е.vв каждой точке поверхности S векторы v направлены против век-nvnторов нормалей n . Поэтому в каждой точке скалярное произведеSnvvv()ние v ,dS = ( v ,n ) dS < 0 отрицательно.Тогда интеграл∫∫ ( v ,dS ) < 0 . Так как величина объёма V>0, тоSndiv ( v ) ≈∫∫ ( v ,dS )SV< 0.Говорят, что в этом случае поле имеет внутри поверхности S «сток» - «оно как бы стекает в некоторую дырку». Если же div ( v ) > 0 , то говорят, что у поля есть «источник».Семестр 3.

Лекции 1-2.15Можно заметить, что в случае стока или источника поля, пристягивании поверхности S в точку, векторное поле становитсяпохожим на картину силовых точечных зарядов.В этом случае положительные заряды являются источникамиэлектрического поля и для них divE > 0 .Отрицательные заряды являются стоками электрического поля. Для них divE < 0 .Электрические заряды принято называть просто источниками (положительными и отрицательными) электрического поля.Таким образом, силовые линии электрического поля не являются непрерывными линиями –они имеют начало и конец.Вихревое электрическое поле v не имеет источников.

Действительно, в случае вихревогополя v существует некоторое поле a , такое, что v = rot ( a ) , поэтомуdiv ( v ) = div ( rot ( a ) ) =∂ ( rot ( a ) ) x∂x+∂ ( rot ( a ) ) y∂y+∂ ( rot ( a ) ) z∂zНоrot ( a ) =exey∂∂xax∂∂yayez ∂a ∂a y  ∂a y ∂ax ∂ ∂ax ∂az = ex  z −−− + ey  + ez ∂z∂z ∂x  ∂z ∂y ∂x ∂y azпоэтому∂  ∂az ∂a y  ∂  ∂a x ∂az  ∂  ∂a y ∂ax −−−+ =+ ∂x  ∂y∂z  ∂y  ∂z∂x  ∂z  ∂x ∂y 22∂ 2 az ∂ a y ∂ 2 ax ∂ 2 az ∂ a y ∂ 2 ax=−+−+−=0∂x∂y ∂x∂z ∂y∂z ∂y∂x ∂z∂x ∂z∂ydiv ( v ) =Так как вихревое поле не имеет источников, то его силовые линии нигде не разрываются, т.е. онинепрерывные и замкнутые.СВЯЗЬ НАПРЯЖЕННОСТИ И ПОТЕНЦИАЛА.Так как энергия взаимодействия точечного заряда с электрическим полем и сила, действующая на этот заряд со стороны поля, связаны соотношением F = − grad ( WПОТ ) , то из определений получаем E =WF1= − grad ( WПОТ ) = − grad  ПОТqq q = − grad ( ϕ ) .Таким образом, связь между напряженностью и потенциалом электростатического поля дается выражением (в дифференциальной форме)Семестр 3.

Лекции 1-2.16E = − grad ( ϕ ) .Следовательно, электростатическое поле является потенциальным полем.Силовые линии направлены перпендикулярно эквипотенциальным поверхностям в каждойих точке. Действительно, рассмотрим малое перемещение на вектор dr = ( dx,dy,dz ) вдоль эквипотенциальной поверхности ϕ ( x, y,z ) = const . Для вектора напряженности в любой точке этой ∂ϕ∂ϕ∂ϕ поверхности справедливо равенство E,dr = − ( grad ( ϕ ) ,dr ) = −  dx +dy +dz  = −d ϕ = 0 .∂y∂z  ∂x()Следовательно, в любой точке вектор напряженности направлен перпендикулярно к эквипотенциальной поверхности.Из свойств градиента следует, что вектор напряжённости электрического поля направлен всторону наибольшего убывания потенциала, перпендикулярно эквипотенциальной поверхности.Работа сил электрического поляКОНЕЦAКУЛ =∫ (FКУЛ)КОНЕЦКОНЕЦНАЧНАЧ,dl =НАЧ∫ ( q ⋅ E ,dl ) = q ⋅ ∫ ( E,dl ) .В то же время AКУЛ = q ( ϕНАЧ − ϕКОН ) .Сравниваем эти выражения и получаемКОНЕЦ∫ ( E,dl ) .ϕНАЧ − ϕКОН =НАЧЕсли обозначить изменение потенциала как ∆ϕ = ϕКОН − ϕНАЧ (НЕ ПУТАЙТЕ С ОПЕРАТОРОМЛАПЛАСА!), то получим связь напряженности и потенциала в интегральной формеКОНЕЦ∆ϕ = −∫ ( E,dl )НАЧИз этого выражения следует теорема о циркуляции для электростатического поля:для любой замкнутой траектории Г находящейся в области пространства, где создано электростатическое поле значение интеграла∫ ( E,dl ) = 0 .Γвдоль этой замкнутой линии Г всегда равно нулю.Действительно, в случае, когда точечный заряд перемещается вдоль какой-то замкнутойтраектории Г, выполняется равенство ϕКОН = ϕНАЧ , поэтому∫(Γ)E,dl =КОНЕЦ∫ ( E ,dl ) = −∆ϕ = ϕНАЧ− ϕКОН = 0 .НАЧИз теоремы Стокса следует дифференциальная форма теоремы о циркуляции:Семестр 3.

Лекции 1-2.17т.к. электростатическое поле потенциальное, то его ротор равен нулевому вектору в каждойточке:rotE = 0 .Пример. Можно ли создать неоднородное электростатическое поле, силовые линии которого параллельны друг другу?В электростатическом поле для любого замкнутого контура Г выполняетсяравенствоΓDA∫ ( E,dl ) = 0 . Если возьмём в качестве контура Г прямоугольникABCD, то интеграл можно разбить на 4 интеграла вдоль сторон этого пряBмоугольника:C∫ ( E,dl ) = ∫ ( E,dl ) + ∫ ( E,dl ) + ∫ ( E,dl ) + ∫ ( E,dl ) .ΓABBCCDDA()Но на сторонах AB и CD векторы E и dl перпендикулярны друг другу, т.е. E,dl = 0 , поэтому∫ ( E,dl ) = 0 и ∫ ( E,dl ) = 0 .ABCDНа стороне BC векторы E и dl направлены одинаково, на стороне DA направлены противоположно, откуда∫ ( E,dl ) = ∫ ( E ,dl ) + ∫ ( E ,dl ) = ∫ E ⋅ ( cos 0 ) ⋅ dl + ∫ E ⋅ ( cos 180 ) ⋅ dl = ∫ Edl − ∫ Edl .0ΓBCDA0BCDABCDAВблизи стороны BC силовые линии расположены гуще, чем вблизи стороны DA, поэтомуEBC > EDA , следовательно∫ ( E,dl ) = ∫ Edl − ∫ Edl = EΓBCBC⋅ BC − EDA ⋅ DA ≠ 0 .DAТо есть для такого поля не выполняется теорема о циркуляции.♣Принцип суперпозиции для потенциалов.Из принципа суперпозиции следуетEΣ = ∑ Ei = −∑ grad ( ϕi ) = − grad  ∑ ϕi  = − grad ( ϕΣ ) ,ii iт.е.

Характеристики

Список файлов лекций