phys_3sem_lection_all (823856), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Например, если контур Г охватывает два одинаковыхпо силе тока, но пронизывающих площадку в разных направлениях, то для них∫ ( B,dl ) = µ ( I01− I 2 ) = 0 , но rotB ≠ 0 .ΓИдеальным соленоидом называется бесконечный тонкий проводник, намотанный на поверхность бесконечного кругового цилиндра так, что при этом круговые витки проводника перпендикулярны оси цилиндра.Замечание. В таком соленоиде нет составляющей электрического тока, направленной вдоль осицилиндра, а только круговые токи в каждом из поперечных сечений. Поэтому можно считать,что соленоид составлен из бесконечного числа одинаковых витков, по которым течет одинаковый по направлению и силе ток.Плотностью намотки соленоида n называется величина, равная отношению количествавитков N на некотором участке соленоида к длине этого участка l: n =N.lНайдем величину индукции магнитного поля в какой-нибудь точке А на оси соленоида.Пусть сила тока в соленоиде равна I.
Радиус витков R. Плотность намотки n.Для нахождения индукции магнитного поля в этой точке, применим принцип суперпозиции для магнитного поля – вектор индукции равен векторной сумме магнитных индукций, создаваемых каждым из колец в отдельности: BA = ∑ Bk . Отметим, что все векторы Bk в точке Аkнаправлены одинаково – в одну сторону вдоль оси соленоида.Поэтому от векторной суммы можно перейти к сумме длин векAторов BA = ∑ Bk .zkВведём вдоль оси соленоида ось z.
Выделим в соленоидеzAzdzкакое-то сечение, координату которого примем за ноль (z=0).Пусть точка А имеет координату zА. Небольшая часть соленоида,z=06Семестр 3. Лекции 5-6.длина которой равна dz, и которая находится в сечении с координатой z, содержит количествовитков dN = ndz . Эта часть создаёт в точке А индукцию магнитного поля, величина которойdB =µ 0 IR 2 dN,2 ( R 2 + x 2 )3 2где расстояние от точки А до этого сечения равно x = z − z A .Тогда BA = ∑ Bk =k∫СОЛЕНОИДBA =∫dB =ВИТКИСОЛЕНОИДАµ 0 IR 2 dNили2 ( R 2 + x 2 )3 2+∞µ0IR 2 ndz∫ 2 22−∞R + ( z − zA )(Делаем замену y = z − z A и получаем+∞∫−∞(R)32=dz2+∞µ 0 IR 2 ndz∫2 −∞ R 2 + ( z − z )2A+ ( z − zA )()2 32=+∞∫−∞(Rdy2+y)2 32)32=2.R2Поэтому величина магнитной индукции на оси идеального соленоида равнаBA =µ 0 IR 2 n 2= µ 0 In .2 R2Как видно, она не зависит от радиуса соленоида R.Обсудим расположение силовых линий магнитного поля идеального соленоида (и внутри,и снаружи).
Так как магнитное поле идеального соленоида создаётся кольцевыми токами, товектор индукции в каждой точке поля лежит в продольной плоскости соленоида (любой плоскости, проходящей через ось соленоида).Докажем, что в произвольных точках A1, A2, A3, находящихся на равном расстоянии отоси соленоида, вектор индукции B одинаковый по величине и направлен под одинаковым углом к оси.1) Пусть точки A1 и A2 находятся в одном поперечном сечении.
Так как магнитное поле соленоида обладает осевой симметрией, то поворотом вокруг оси можно перенести точку A1 в A2 (инаоборот). Векторы, находящиеся в этих точках должны перейти друг в друга (т.к. они принадлежат одному векторному полю).7Семестр 3. Лекции 5-6.2) Пусть точки A1 и A3 находятся в одном продольном сечении. Так как магнитное поле соленоида обладает симметрией сдвига вдоль оси соленоида, то сдвигом можно перенести точку A1в A3 (и наоборот). Векторы, находящиеся в этих точках должны перейти друг в друга (т.к. ониO2−IA1IB′(I)A3B(I)B(-I)A2A5A4O2принадлежат одному векторному полю).Докажем теперь, что вектор индукции магнитного поля соленоида в каждой точке направлен параллельно оси соленоида.
Для этого рассмотрим вектор B в произвольной точке поля, считая, что он не направлен параллельно оси соленоида. Предположим, что при заданномнаправлении тока I он направлен как B ( I ) . Через рассматриваемую точку можно провести осьсимметрии О1О2 поля соленоида и подвергнуть поле повороту на 1800 вокруг этой оси. Приэтом какие-то точки A4 и A5, расположенные симметрично относительно этой оси перейдутдруг в друга, а вектор B ( I ) перейдет в симметричный вектор B′ ( I ) , а направление тока I в соленоиде поменяется на противоположное –I. Но противоположно направленный ток в соленоиде должен создать в рассматриваемой точке противоположно направленный вектор B ( − I ) . Поэтому вектору B ( I ) должен соответствовать вектор B ( − I ) , не являющийся ему симметричным. Это противоречия можно избежать только в том случае, когда вектор B ( I ) параллеленоси в любой точке магнитного поля идеального соленоида.Следовательно, силовые линии магнитного поля внутри и снаружи параллельны оси соленоида, а величина индукции зависит только от расстояния до оси соленоида.Теперь рассмотрим циркуляцию индукции векторного поля по некоторому квадратномуконтуру Г1, который расположен целиком внутри соленоида так, что одна его сторона лежит наоси.
Пусть длина каждой из сторон контура равна L. Тогда∫ ( B,dl ) = ∫ ( B,dl ) + ∫ ( B,dl ) + ∫ ( B,dl ) + ∫ ( B,dl ) = B12Γ1122334L − B34 L = ( B12 − B34 ) L418Семестр 3. Лекции 5-6.Г1Г2(вычеркнуты нулевые слагаемые). Но контур не охваты-78вает никакие токи, поэтомуI,N4B34 = B12 = µ 0 In . Т.к. величина L является произвольной365∫ ( B,dl ) = 0 , откудаΓ1(но L<R), то величина магнитной индукции на любом12расстоянии от оси (внутри соленоида) равна величинемагнитной индукции на его оси. Таким образом, величина магнитной индукции внутри идеального соленоидапостоянная и равнаB = µ0 ⋅ I ⋅ n ,где I – сила тока, n – плотность намотки витков.
Следовательно, магнитное поле внутри идеального соленоида является однородным.Теперь рассмотрим циркуляцию по квадратному контуру Г2, который расположен так,что одна его сторона лежит внутри соленоида параллельно оси, а противоположная - снаружи.Пусть длина каждой из сторон контура равна L. Этот контур охватывает витки, число которыхравно N. По виткам текут одинаковые токи в одинаковом направлении, поэтому исходя из ориентации контура и направления токов, получаем∫ ( B,dl ) = µ NI .0Γ2Но∫ ( B,dl ) = ∫ ( B,dl ) + ∫ ( B,dl ) + ∫ ( B,dl ) + ∫ ( B,dl ) = B56Γ2566778L − B78 L = ( B56 − B78 ) L81При этом внутри соленоида B56 = µ 0 In .
Получаем равенство ( µ 0 In − B78 ) L = µ 0 NI , откуда длявеличины магнитной индукции снаружи соленоида B78 = µ 0 In − µ 0ков, по определению, равна n =NI . Плотность намотки витLN, поэтому B78 = 0 . Снаружи идеального соленоида магнитноеLполе отсутствует.У идеального соленоида магнитное поле сосредоточено только внутри соленоида!Тороид – это тонкий проводник, плотно намотанный наповерхность тора (бублика).R2Магнитное поле тороида обладает осевой симметрией, поэтому силовые линии являются концентрическими окружностя-R1ми, с центрами на оси тороида. Пусть число витков в тороидеравно N, сила тока I. Рассмотрим циркуляцию вектора индукции9Семестр 3. Лекции 5-6.вдоль контура Г радиуса r ( R1 < r < R2 ), совпадающего с одной из силовых линий:∫ ( B,dl ) = µ NI .
Вдоль Г величина В постоянная, поэтому0Γ∫ ( B,dl ) = ∫ Bdl = B ∫ dl = B ⋅ 2πr = µ NI , откуда внутри тороида B =0ΓΓΓµ 0 NI. Предположим, что2πrдиаметр сечения тороидальной части много меньше внутреннего радиуса d = R2 − R1 << R1 . Если ввести плотность намотки на внутреннем радиусе n =B=N, то можно записать2πR1µ 0 NI µ0 NI R1r−x x== µ 0 nI = µ 0 nI 1 − , где 0 < x < d . Так как x < d << R1 < r , то мож2πr2πR1 r r rно приближенно считать индукцию постоянной внутри тороида B ≈ µ 0 nI .Опыт показывает, что в веществе магнитное поле изменяется по сравнению с магнитнымполем в вакууме B0 .
Всякое вещество является магнетиком, т.е. способно под действием магнитного поля приобретать магнитные свойства (намагничиваться). При этом вещество создаётсобственное магнитное поле B′ , поэтому по принципу суперпозиции в веществеB = B0 + B′ .На микроскопическом масштабе внутри вещества магнитное поле сильно изменяется и впространстве и во времени, поэтому при описании рассматриваются усреднённые величины. Поклассическому представлению, предложенному Ампером, в веществе циркулируют микроскопические круговые токи (атомарные и молекулярные токи), каждый из которых создаёт в окружающем пространстве магнитное поле. В отсутствии внешнего магнитного поля магнитныемоменты этих токов ориентированы хаотически и их векторная сумма в физически малом объёме равна нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
