phys_3sem_lection_all (823856), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Лекция 4.Лекция 4.Электрическое поле заряженных проводников. Энергия электростатического поля.Поле вблизи поверхности проводника. Электроёмкость проводников и конденсаторов. Ёмкости плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов. Энергия системы неподвижныхзарядов. Энергия заряженного проводника, конденсатора.

Плотность энергии электростатического поля.При внесении проводника во внешнее электрическое поле, свободные заряды внутрипроводника начинают перемещаться под действием сил состороны внешнего поля до тех пор, пока не наступит равновесие. Это приводит к перераспределению электрического зарядаEИНДEВНЕШвнутри проводника.

Области проводника, до этого электрически нейтральные, приобретают некомпенсированный электри-ческий заряд. Следовательно, в проводнике появляется (или, как говорят, индуцируется) электрическое поле ЕИНД. Условие равновесия электрических зарядов()F = qEВНУТР = q EВНЕШ + EИНД = 0т.е. напряженность поля внутри проводникаEВНУТР = EВНЕШ + EИНД = 0 .Следовательно, из равенства EВНУТР = − grad ( ϕ ВНУТР ) = 0получаем ϕВНУТР = const внутри проводника. Следоваϕ=constтельно, это условие выполняется и на границе проводника.

Поэтому поверхность проводника является эквипотенциальной поверхностью и силовые линии электрического поля перпендикулярны поверхности проводника вкаждой его точке.Заряженный проводник.Если уединенному проводнику сообщить сторонний электрический заряд, то условиеравновесия зарядов F = qEВНУТР = 0 опять приводит к условиюEВНУТР = − grad ( ϕ ВНУТР ) = 0 , ϕВНУТР = const внутри проводника.Отсюда следует, что все сторонние заряды располагаются на поверхности проводника, т.к. напряжённость поля внутри проводника равна нулю, а по теореме Гаусса для любой замкнутойповерхности внутри проводника (в том числе и для наружной поверхности проводника)1Семестр 3.

Лекция 4.∫∫ ( D,dS ) = qВНУТР= 0.SТак как поверхность проводника в этом случае тоже эквипотенциальная, то силовые линии электрического поля направлены перпендикуEлярно поверхности проводника в каждой его точке.Из теоремы Гаусса следует, что вблизи поверхности проводникавыполняется соотношение D = σ - величина вектора электрическогосмещения равна поверхностной плотности сторонних зарядов.Заряд по поверхности проводника распределяется таким образом, чтобы потенциал поверхности оставался постоянным. Это приводит к тому, что на поверхности проводника плотность заряда не одинаковая.

Например,на острых частях проводников плотность зарядов больше, чем в углублениях. В связи с этим возникают различные явления, например,«стекание заряда»: если проводник находится в воздухе, то вблизиострия происходит ионизация воздуха, уносящая часть электрического заряда – явление, которое называется «электрический ветер».Метод электрических изображений.Если эквипотенциальную поверхность заменить проводящей, после чего отброситьчасть поля, которую эта поверхность отделяет, то картина поля в оставшейся части не изменится. И наоборот, если картину поля дополнить фиктивными зарядами так, чтобы проводящую поверхность можно было заменить эквипотенциальной, то начальная картина поля неизменится.qПример.

Найдем силу притяжения точечного заряда к бесконечной проводящей плоскости. Для этого дополним картину ещё одним таким жеLзарядом, но противоположного знака, расположенным симметрично относительно плоскости. Тогда плоскость будет совпадать с эквипотенциLальной поверхностью, поэтому плоскость можно отбросить и найти силу-qвзаимодействия между зарядами F =1 q2.4πε 0 4 L2Энергия заряженного проводника.Энергия уединенного заряженного проводника определяется как энергия системы зарядов W =1∑ qi ϕi . На проводнике ϕ = const , поэтому энергия уединенного проводника2 iW=111qi ϕi = ϕ∑ qi = ϕq .∑2 i2 i22Семестр 3. Лекция 4.1Для системы заряженных проводников W = ∑ ϕk qk .k 2В частности для двух проводников, имеющих одинаковые по величине, но разные по знаку заряды q: W =11qϕ1q1 + ϕ2 q2 = ϕ1 − ϕ2222Замечание. Величина разности потенциалов U = ϕ1 − ϕ2 называется напряжением междутелами.Опыт показывает, что между зарядом уединённого проводника и его потенциалом существует линейная зависимость q = C ⋅ ϕ (при условии ϕ = 0 на бесконечно большом расстоянииот проводника).

Коэффициент пропорциональности С называется коэффициентом электрической ёмкости или электроёмкостью:C=q.ϕЕдиница измерения электроёмкости – Фарад. Ф =Кл.ВПример. Найдем ёмкость уединённого проводника имеющего форму сферы радиуса R.Т.к. потенциал поверхности заряженного сферического проводника равен ϕ =кость определяется соотношением C =1 q, то ём4πε 0 Rq= 4πε0 R .

Исходя из этой формулы можно оценитьϕразмеры проводника, ёмкость которого равна 1 Ф: C = 1 Ф при R =1≈ 9 ⋅109 м. Средний ра4πε 0диус планеты Земля RЗ ≈ 6 , 4 ⋅106 м, следовательно, радиус такой сферы больше радиуса Землипримерно в 1400 раз. ♣Конденсатором называется система из двух проводников, заряженных одинаковыми повеличине, но разными по знаку зарядами. Величина заряда одного из проводников называетсязарядом конденсатора. Проводники называются обкладками конденсатора.Электроёмкость конденсатора определяется по формуле C =Конденсатор условно обозначаетсяq.U.Соединение конденсаторовРассмотрим последовательное соединение двух конденсаторов С1 иAС2. Точка А между конденсаторами отделена от остальной цепи, поэтому еёC1C2электрический заряд изменится не может.

Так как до включения в цепь на-чальный заряд точки был равен нулю, то q A = q A1 + q A 2 = 0 . Следовательно, заряды пластин кон-3Семестр 3. Лекция 4.денсаторов, примыкающих к точке А, равны между собой по величине, но противоположны познаку. Но так как величина заряда пластин равна заряду конденсаторов, то заряды конденсаторов в этом случае равные: q1 = q2 .Суммарный заряд точки А равен нулю, поэтому если отбросить эту точку вместе сприлегающими обкладками, то в схеме ничего не изменится. Т.к. заряды крайних пластин тожеодинаковы по величине, но разные по знаку, то получившийся конденсатор будет иметь такойже по величине заряд.ИТОГ. Заряды последовательно соединенных конденсаторов одинаковы по величине.Общий заряд последовательно соединенных конденсаторов равен заряду каждого из конденсаторов.

Для этого случая общее напряжение равно сумме напряжений на конденсаторахUОБЩ =U1+U2. Заряды конденсаторов одинаковые q1=q2=q. Тогда1CОБЩ=qCОБЩ=qq+. ПоэтомуC1 C 211+. При последовательном соединении емкости складываются по закону обратC1 C 2ных величин. ♣Расчет емкости при параллельном соединении конденсаторов.C1Для этого случая напряжения на конденсаторах одинаковые U1=U2=U.Суммарный заряд равен сумме зарядов qОБЩ=q1+q2 или СОБЩ⋅U=C1U+C2UТогда СОБЩ =C1+C2 . При параллельном соединении конденсаторов емкостиC2суммируются. ♣1qCU 2 q 2Энергия заряженного конденсатора W = ∑ ϕk qk = U ==.222Ck 2Замечание. Суммарный заряд обкладок конденсатора равен нулю. Конденсатор накапливаетэлектрическую энергию путём разделения электрических зарядов.Примеры по расчёту ёмкости конденсаторов.Плоский (воздушный) конденсатор представляет собой две параллельные пластины, расстояниемежду которыми много меньше размеров пластин, так что поле-q<0q>0между пластинами можно считать однородным.

Пусть междупластинами находится вакуум (воздух), поэтому ε=1.E=0E=0В этом случае при расчете картины поля можно пользоваться результатами, полученными для поля бесконечной заряженной пластины. Так как заряды и площади пластин равны повеличине, то и величина напряженности поля, создаваемого каж-4Семестр 3. Лекция 4.дой из пластин одинакова E =q, но направления векторов напряженности разные (вектор2ε 0Sнапряженности от отрицательно заряженной пластины показан пунктиром).

Между пластинамивекторы напряженности направлены одинаково, поэтому величина суммарной напряженностиравна сумме величин напряженностейEВНУТРИ = E+ + E- =qqq+=.2ε 0 S 2ε 0 S ε 0 SСнаружи пластин векторы напряженности поля направлены противоположно, поэтому напряженность поля снаружи равна нулю. Таким образом, у конденсатора напряженность поля отлична от нуля только между пластинами.Так как электростатическое поле является полем консервативной силы, то интеграл(ϕ1 − ϕ2 = ∫ E,dlΓ) не зависит от траектории, поэтому разность потенциалов между пластинамиможно найти, например, вдоль перпендикуляра, соединяющего пластины, длина которого равнаd: U = ϕ1 - ϕ2 = EВНУТРИ ⋅ d =q⋅d, где d – расстояние между пластинами. Тогда электроёмкостьε0 Sплоского (воздушного) конденсатора C =q ε0 S=.UdЦилиндрический (воздушный) конденсатор представляет собой два коаксиальных цилиндраодинаковой длины, вложенных друг в друга так, что расстояние между обкладками многоменьше размеров обкладок.Пусть длина конденсатора L, заряд внутренней обкладки положительный q>0.

Радиусы обкладок R1 и R2, R1< R2. Величина напряжённости поля между обкладками на расстоянии r от внутреннейобкладки R1<r< R2: E =U = ϕ1 − ϕ2 =q. Напряжение между обкладками2πε 0 LrR2R2R1R1 R2 .1 ∫ ( E ,dl ) = ∫ 2πε Lr = 2πε L ln  Rqdr0q0Поэтому электроёмкость цилиндрического (воздушного) конденсатора C =2πε 0 Lq=.U R2 ln   R1 Сферический (воздушный) конденсатор представляет собой две вложенные концентрическиесферы с радиусами обкладок R1 и R2, R1< R2.

Пусть заряд внутренней обкладки положительный5Семестр 3. Лекция 4.q>0. Величина напряжённости поля между обкладками на расстояR2нии r от внутренней обкладки R1<r< R2: E =q. Напряжение4πε 0 r 2между обкладкамиU = ϕ1 − ϕ2 =R2∫(R1R1C=R2) ∫ 4πεq r dr = 4πεqE ,dl =20R11 1  − R2 0  R1Поэтому электроёмкость сферического (воздушного) конденсатора4πε 0q=.U  1 1  −  R1 R2 Объёмная плотность энергии электростатического поля.Рассмотрим плоский воздушный конденсатор. Энергия заряженного конденсатораW=ε E2CU 2 ε 0 S2=(E ⋅d ) = 0 S ⋅d .22d2Объём пространства между пластинами конденсатора V = S ⋅ d . Так поле между пластинамирассматриваем как однородное, то единица объема этого поля обладает энергией w =Эта величина w =W ε0 E 2=.V2Wназывается объёмной плотностью энергии.VВ случае, когда поле не является однородным объёмная плотность энергии определяетсясоотношением w =dW.dVВ веществе объёмная плотность энергии электрического поля определяется w =В случае однородного изотропного диэлектрика D = εε 0 E , поэтому w =Т.к.

D = ε 0 E + P , то w =в вакууме;( E ,D ) = ε ( E ,E ) + ( E,P ) , где0222(ε 0 E ,E2( E,D ) .2εε 0 E 2D2=.22ε ε 0) - энергия электрического поля( E ,P ) - энергия поляризации вещества.2Пример. Рассмотрим заряженную тонкостенную сферу радиуса R. Одноименные заряды насфере отталкиваются друг от друга. Эти силы отталкивания стремятся растянуть поверхностьсферы.

Можно считать, что изнутри сферы на стенки действует дополнительное давление, распирающее сферу и вызванное наличием электрического заряда на поверхности.6Семестр 3. Лекция 4.Напряженность поля внутри сферы равна нулю, поэтому объемная плотность энергииэлектрического поля w отлична от нуля только снаружи сферы.При небольшом увеличении радиуса на dR сферы её объём увеличится, при этом в тойчасти окружающего пространства, которая попала внутрь сферы, объёмная плотность энергиистанет равной нулю. Следовательно, изменение энергии поля снаружи будет равноdW = wdV = wSdR (S – площадь поверхности). Но, при расширении сферы, силы давлениявнутри сферы совершат работу δA = pSdR . Так как δA = dW , то pSdR = wSdR , откудаp = w .♣Пример.

Характеристики

Список файлов лекций