phys_3sem_lection_all (823856), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Величина напряженности измеряется Н/Кл или В/м (Вольт наqметр). Зная напряженность поля в данной точке можно найти силу, действующую на заряд F = qE . Отсюда видно, что на положительно заряженные частицы (q>0) сила действует по направлению вектора напряженности электрического поля( F ↑↑ E ), а на отрицательно заряженные (q<0) - против ( F ↑↓ E ).Правило: чтобы найти направление вектора напряженности электрического поля в данной точке,надо (мысленно) поместить в эту точку положительный заряд. Тогда вектор напряженности будет направлен так же как и вектор силы, действующей на заряд.Семестр 3. Лекции 1-2.6Найдем напряженность поля создаваемого точечным зарядом Q на расстоянии R от него.Для этого возьмем положительный заряд q и поместим его на расстоянии R от заряда Q. Тогда этизаряды будут взаимодействовать с силой, величина которой: F = kqQ.

Поэтому величина наR2пряженности:E=QF=k 2 .qRВектор напряженности направлен в данном случае, так же как и вектор силы (мы делим векторсилы F на положительное число q!). То есть вектор напряженности поля, создаваемого положительным зарядом, направлен от него, а у отрицательного – к нему.Силовой линией электрического поля называется линия в пространстве, касательная к которой в каждой точке совпадает с направлениемвектора E . Таким образом, силовые линии электрического поля направлены от положительногозаряда к отрицательному.Замечание. Из рисунка (для точечного заряда) видно, что силовые линиирасположены гуще вблизи заряда, т.е.

там, где величина напряженности поляABвыше. Это относительное возрастание густоты силовых линий используют дляусловного обозначения областей с большей напряженностью поля.Например, на рисунке (слева) в области В напряженность поля больше, чем вобласти А.УРАВНЕНИЕ СИЛОВОЙ ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ.По определению, касательный вектор к линии лежит на одной прямой с вектором напряжённости в точке пространства, через которую проходит силовая линия, т.е. эти векторы пропорциональны друг другу.Пусть τ - параметр задающий линию в трехмерном пространстве, а кривая задаётся координатами ( x ( τ ) , y ( τ ) ,z ( τ ) ) , тогда касательный вектор к этой кривой определяется как dx dy dz  , ,  . Поэтому dτ dτ dτ  dx dy dz  , ,  = Α ⋅ E , где А – некоторый коэффициент пропорционально dτ dτ dτ сти.

Исключая параметр τ получаем «каноническую» форму записи уравнения силовой линииdx dy dz==.Ex E y EzСеместр 3. Лекции 1-2.7ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ ДЛЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ.Вектор напряженности поля, создаваемого системой зарядов, равен векторной сумме напряженностей полей, создаваемых каждым из зарядов в отдельности: E = ∑ E i .iЭто следует из того, что силы складываются как векторы: F = ∑ Fi , поэтомуiF ∑E= = iqqFi=∑iFi= ∑ Ei .qiПримеры на принцип суперпозиции.1) Рассмотрим систему из двух одинаковых точечных зарядов.Напряжённость поля, создаваемого зарядами, равна векторной сумме напряжённостей полей каждого из зарядов EΣ = E+ + E− .

Тогда получаем картину силовых линий.E+EΣE−2) Найдем напряженность поля, создаваемого бесконечнойdxXпрямой равномерно заряженной тонкой нитью. Пусть λ >0 -dqлинейная плотность заряда нити (это означает, что кусокrдлиной L имеет заряд q=λ⋅L). Будем искать напряженность вE(dq′)EΣx=0RαE(dq)dq′точке, расположенной от нити на расстоянии R. Вдоль нитивводим ось Х, начало которой является основанием перпендикуляра, опущенного из рассматриваемой точки на нить.На некотором расстоянии от начала выделяем малый участокнити длиной dx, тогда заряд этого куска dq=λ⋅dx.Рассматривая этот кусок как точечный заряд dq, находимсоздаваемый им вектор напряженности в рассматриваемойточке Edq .

Симметричный (относительно начала оси Х) точечный заряд dq′ создает симметричный вектор напряженности Edq′ . Их векторная сумма EΣ = Edq + Edq′ лежит на перпендикуляре книти. Таким образом, общий вектор напряженности тоже должен быть направлен перпендикулярно нити. Следовательно, при суммировании векторов напряжённостей от всех точечных зарядовСеместр 3. Лекции 1-2.8на нити можно учитывать только их перпендикулярную составляющую, т.е.

найти сумму проекций на перпендикулярное направление: E = ∑ Edq ⋅ cos α . Так как Edq =dqr = R 2 + x 2 , то переходим к интегралу E =+∞1 dq RR= ∫2∫4πε 0 r r −∞ 4πε 0НИТЬ1 dqR, cos α = ,24πε 0 rrλdx(R2+x32 2).Интегрируем +∞ 2 +∞2+∞+∞1  ( R + x ) dxx 2 dx  1 dxx 2 dx ∫ 2 23∫ 2 2 3 = R 2  −∞∫ 2 2 3 − −∞∫ 2 2 3  = R2  −∞∫ 2 2 1 − −∞∫ 2 2 3 −∞−∞ ( R + x )2 ( R + x )2( R + x )2( R + x )2( R + x ) 2 ( R + x ) 2 Берём второй интеграл по частям ∫ udv = uv − ∫ vdu :+∞dx1= 2R+∞R 2 dxxdx1dv =dx,v = −31 x dxx( R2 + x2 ) 2  = − 2 2 1∫−∞ 2 2 3 =  ( R 2 + x2 ) 2( R + x ) 2 u = x,du = dx( R + x )2 +∞+∞+∞dx1 dxdx 2 .Откуда ∫= 2 ∫+2− ∫= 2311 R −∞ 222 22 222 2−∞−∞ (R + x )(R + x )( R + x )  R+∞+∞2Окончательно: E =++∞∫−∞−∞dx(R2+x12 2)= −2 ++∞∫−∞dx(R2+x12 2)λ.2πε 0 R3) Найдем напряженность поля на оси равномерно заряженного кольца, радиус которого R, а за-ряд Q>0.

Разобьем кольцо на большое количество участков, опирающихся на центральный уголα=2π2πRQ. (Длина одного участка L =.) Заряд одного участка q = . Принимая малый участокNNNкольца за точечный заряд можно найти напряженность поля на оси кольца, создаваемую одним∆qучастком: E α = kαq, где r = R 2 + z 2 - расстояние от за2rряда до рассматриваемой точки. При этом участок, расrположенный симметрично относительно центра кольца,Ezсоздает вектор напряженности, симметричный уже найденному. Их сумма будет лежать на оси кольца (векторRθEαE|| ). Поэтому при суммировании всех векторов напряженностей от каждого из участков будем учитывать толь-ко составляющую вектора, параллельную оси кольца, длина которой E α cosθ , гдеcosθ =z=rz2R + z2.

В итоге получаем,Семестр 3. Лекции 1-2.E = ∑ E α cosθ = Nk9q zQ NzQz⋅ = Nk 2 2 ⋅=k.322222r rR +zR +z( R + z2 )Отметим, что в центре кольца (z=0) напряженность поля равна нулю.♣4)Рассмотрим бесконечную равномерно заряженную плоскость. Пусть поверхностная плотностьзаряда равна σ>0. В силу симметрии вектор напряженности направлен перпендикулярно плоско-EzdRRсти. Ищем напряжённость в точке, находящейся на расстоянии z от плоскости.Если плоскость представить как набор тонких, вложенных друг в друга соосных колец, оськоторых проходит через искомую точку, то можно воспользоваться результатом предыдущегопримера.Заряд тонкого кольца, радиус которого R и толщина dR равен dq=σ⋅dS=σ⋅2πRdR.Тогда искомая напряжённость E = ∑ kdqz ⋅ dq(R2+z32 2).

Переходя к интегрированию, получаемz ⋅ σ ⋅ dS11 z ⋅ σ ⋅ 2πRdR z ⋅ σ d ( R + z ) z ⋅ σ 2E==∫==−3331∫∫4πε 0 24πε 04ε 0 0 24ε 0 2 222 22 222 2ПЛОСКОСТЬ0(R + z )(R + z )(R + z ) (R + z )∞∞Величина напряженности поля заряженной пластины E =где σ =22∞σ = 2ε .00qσ=,2ε 0S 2ε 0q- поверхностная плотность заряда (Кл/м2).♣SЭлектрическое поле называется однородным, если вектор напряженности в каждой точке поля одинаковый (по величине и по направлению).

Следовательно, поле бесконечной заряженной пластины- однородное.Семестр 3. Лекции 1-2.10ПОТЕНЦИАЛ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯПотенциал электрического поля в данной точке поля – это отношение энергии взаимодействия точечного заряда с полем W к величине этого заряда q (энергетическая характеристикаэлектрического поля) ϕ =W. Единица измерения потенциала Вольт (В). 1 В =1 Дж/ 1 Кл.qРабота, совершаемая силами консервативного поля, при относительном изменении положения двух зарядов равна уменьшение потенциальной энергии системы зарядов:A = WПОТ_НАЧ -WПОТ_КОН = qϕ НАЧ - qϕКОНТогда, с учетом определения потенциала работу сил поля по перемещению заряда q можно записать в виде A = q ( ϕНАЧ − ϕКОН ) .A = WПОТ_НАЧ - WПОТ_КОН = kq1 ⋅ q 2q ⋅q-k 1 2 .R НАЧR КОНТ.о.

разность потенциалов между двумя точками поля – это отношение работы сил поля (кулоновских сил) по переносу заряда между этими точками к величине этого зарядаϕНАЧ − ϕКОН =A КУЛ.qСледовательно, если определить на бесконечности ϕ∞ = 0 , потенциал данной точки поляможно определить как отношение работы сил поля по перемещению заряда q на очень большоерасстояние из данной точки к величине этого заряда ϕНАЧ =AA+ ϕ∞ = .qqЕсли поле создается точечным зарядом Q, то на расстоянии R от него потенциал определяется поформуле (С=0) ϕ =WQ=k .qRПоверхности в пространстве, на которых потенциал остается постоянным, называются эквипотенциальными поверхностями.МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОТСТУПЛЕНИЕБудем предполагать, что в некоторой области пространства задано непрерывнодифференцируемое векторное поле v ( x, y,z ) .1) Поток векторного поля через поверхность.()Потоком вектора v через некоторую поверхность называется величина Φ v = ∫∫ v ,dS .SВ простейшем случае плоской поверхности S и однородного векторного поля поток определяетсякакСеместр 3.

Лекции 1-2.nα11Φ v = v ⋅ S cos α ,vгде α - угол между вектором v и нормалью n к площадке S.Если поверхность S не является плоской, то она разбивается на элемен-Sтарные участки величиной dS, такие, что каждый из них можно рас-сматривать как малую часть плоскости, а поле вблизи площадки – однородным. Затем для каждого из участков ищется соответствующая величина δΦ v = v ⋅ dS cos α , а потом производится суммирование по всей поверхности Φ v = ∑ δΦ v .SЕсли ввести вектор, перпендикулярный к каждой площадке: dS = n ⋅ dS , где n - единичная нор-()маль к площадке dS, то величину потока записать можно в виде δΦ v = v ⋅ dS cos α = v ,dS .()Тогда поток через всю поверхность Φ v = ∑ δΦ v = ∫∫ v ,dS .SSПример. Найдем объем жидкости протекающей через некоторую малую на-v⋅dtклонную площадку за единицу времени.Пусть скорость жидкости равна v и в пределах площадки её можно считатьvпостоянной, тогда объём жидкости, пошедшей через площадку за малыйSпромежуток времени dt заполнит внутренность косого параллелепипеда,объём которого равен S cos α ⋅ vdt .

Характеристики

Список файлов лекций