phys_3sem_lection_all (823856), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Если форма проводника постоянная, то между силой тока в проводнике и магнитным потоком через площадку, ограниченную проводником, существует прямая зависимость Φ B = L ⋅ I . Коэффициент пропорциональности L при отсутствии ферромагнетиков является постоянной величиной и называется индуктивностью контура или коэффициентом самоиндукции контура. Единица измерения индуктивности – Генри (Гн).Пример. Найдем индуктивность длинного соленоида, внутри которого нет ферромагнетика (но,возможно, есть диамагнетик или парамагнетик).
Будем предполагать, что длина соленоида значительно превосходит его диаметр, поэтому можно считать, что магнитное поле внутри соленоида является однородным. Пусть N – число витков, l – длина соленоида, R - радиус. Если силатока, протекающего в соленоиде равна I, то величина индукции внутри равнаB = µµ 0 IN.l5Семестр 3.
Лекция 9.Магнитный поток через поверхность, ограниченную одним витком Φ = BS = µµ 0 Iкосцепление во всем соленоиде Φ Σ = N Φ = µµ 0 IL=NπR 2 , потоlN2πR 2 . Индуктивность соленоидаlΦΣN2= µµ 0πR 2 .♣IlПри изменении силы тока I в контуре будет изменяться и магнитный поток через площадку контура Ф, поэтому в контуре появится индукционный ток Ii, направление которого определяется правилом Ленца. Этот ток будет направлен так, чтобы скомпенсировать изменениемагнитного потока, т.е.
основного тока I. Это явление называется самоиндукцией. Согласно закону Фарадеяεi=−dΦ, поэтому ЭДС самоиндукцииdtεsi= −LdI.dtПример. В замкнутой цепи, содержащей катушку индуктивностиLε(соленоид) с коэффициентом самоиндукции L, резистор сопротивлением R и источник с ЭДС ε (внутреннее сопротивление ис-RKточника r=0), протекает постоянный ток силой I0. Найдём, какизменяется сила тока в цепи с течением времени после размыкания ключа К. Когда ключ замкнут, сила тока в цепи постоянная и равна I 0 =ε .
ЭДС самоиндукции в катушке равна нулю.RПосле размыкания ключа сила тока начнёт меняться, в катушке появиться ЭДС самоиндукции,поэтому по закону Ома I =εsiR=−R− tL dIdIR. Откуда,= − dt и I = Ce L (C=const). С учётомR dtILначального условия - в момент размыкания ключа (т.е. при t=0) было I = I 0 - получаемI = I 0eIR− tL. Т.е. ток в цепи не прекращается сразу, а убываетпо экспоненциальному закону: I → 0 при t → ∞ .I0Так как цепь разорвана ключом К, то в месте разрыва начнут накапливаться разноимённые электрические заряды. Это приводит к тому, что напряженность электричеtского поля в этом месте нарастает и, например, в воздуш-ной среде (практически сразу после разрыва цепи) между контактами ключа проскакивает электрическая искра (электрический пробой воздуха).6Семестр 3. Лекция 9.Предположим, что пробоя воздуха нет, поэтому вся запасенная в контуре энергия переходит в тепло.
По закону Джоуля-Ленца мощность тепловыделения на сопротивлении RP = I 2 R . Тогда полное количество теплоты равно∞∞Q = ∫ I Rdt = ∫ I e20200−2RtL∞LI 2 − 2 R t 2 R LI 02Rdt = 0 ∫ e L d t =.2 02 L Т.о. энергия магнитного поля, создаваемая в катушке индуктивности L электрическимтоком силой I, определяется формулойWM =LI 2.♣2Пример. Найдем период электрических колебаний в идеальном колебательном контуре, состоящем из катушки индуктивности L и конденсатора емкости С.Сила тока в контуре равна скорости изменения заряда конденсатораLCI=dqdU=C.dtdtНапряжение на конденсаторе равно ЭДС самоиндукции на катушкеU = −LdId 2I.
В итоге из выражения I = −CL 2 , получаем уравнение для сиdtdtлы тока в контуреd 2I1+I = 0.2dtCLЭто уравнение описывает свободные незатухающие колебания с циклической частотойω=1. Период колебаний T = 2π LC (формула Томсона). В случае свободных незатухаюLCщих колебаний полная энергия в контуре сохраняется: W =CU 2 LI 2+= const .22(Сопротивление R в контуре отсутствует, поэтому нет тепловых потерь.)♣Объёмная плотность энергии магнитного поля.Пусть длина катушки равна l, радиус R, число витков N. Если по обмотке катушки протеLI 2кает ток силой I, то энергия магнитного поля равна WM =.
Индуктивность катушки2N2NL = µµ 0πR 2 . Индукция магнитного поля в катушке B = µµ 0 I , напряжённость магнитногоllполя H =BN= I , объём пространства внутри соленоида V = πR 2l . Поэтомуµµ 0 l1N21N N1WM = µµ 0πR 2 I 2 = ⋅ πR 2l ⋅ µµ 0 I ⋅ I = ⋅ V ⋅ B ⋅ H .2l2ll27Семестр 3. Лекция 9.Т.к. поле внутри соленоида можно рассматривать как однородное, тообъёмная плотность энергии w =I2Wмагнитного поля определяетсяVсоотношениемI1()B,Hµµ 0 H 2BHB2w====.22µµ 022Взаимная индуктивностьРассмотрим два контура (расположенных на не очень большом расстоянии друг от друга), по которым текут токи I1 и I2.
Каждый из контуров создаёт в окружающем пространствемагнитное поле и, соответственно, магнитный поток через другой контур. По аналогии с коэффициентом самоиндукции можно записать:магнитный поток, создаваемый во втором контуре током I1, протекающим в первом контуре Φ 2 = L21 I1 ;магнитный поток, создаваемый в первом контуре током I2, протекающим во втором контуре Φ1 = L12 I 2 .Коэффициенты L12, L21 называются коэффициентами взаимной индукции (или взаимнойиндуктивностью) контуров. Контуры при этом принято называть (магнитно) связанными.В отсутствие ферромагнетиков выполняется равенство L12=L21.
Очевидно, эти коэффициенты зависят от формы и относительно расположения контуров.Энергия магнитного поля, создаваемого парой таких контуров с токами, определяетсяформулой W = ∫∫∫ wdV = ∫∫∫V( B,H ) dV . Т.к. по принципу суперпозиции B = B + B12V2иH = H1 + H 2 , тоW = ∫∫∫V( B + B ,H1221+ H2) dV = ( B ,H ) dV + ( B ,H ) dV + ( B ,H ) dV + ( B ,H ) dV1∫∫∫12V2∫∫∫22V1∫∫∫2∫∫∫2VV212Энергия магнитного поля, создаваемая каждым контуром в отдельностиW1 = ∫∫∫( B ,H ) dV = L I12VЕсли в среде нет ферромагнетиков, то. ∫∫∫V21 11222( B ,H ) dV = L I222 222V2.( B ,H ) = µ µ ( H ,H ) = ( H ,B ) , поэтому122( B ,H ) dV = L1, W2 = ∫∫∫0121222()B2 ,H1IIL II= 21 1 2 = ∫∫∫dV .222V12 1 2Тогда энергия взаимодействия двух контуров может быть записана в виде W12 = L12 I1 I 2 .8Семестр 3.
Лекция 9.Силы в магнитном поле.Найдём силу взаимодействия F между витками (почти идеального) соленоида. Т.к. в каждом из витков токи текут в одинаковых направлениях, то витки взаимно притягиваются, поэтому силы взаимодействия стремятся сжать соленоид. Векторы этих сил направлены параллельно силовым линиям магнитного поля в соленоиде, поэтому их принято называть натяжениями в магнитном поле. Предположим, что при постоянной силе тока длина соленоида оченьмедленно увеличится на малую величину dl.
Тогда работа внешних сил равна изменению энергии соленоида δAВНЕШ = dWM . НоNδAВНЕШ = ∑ FВНЕШ δxi ,i =1где δxi - перемещение каждого из витков. Очевидно, чтоN∑ δxi =1i= dl . Очевидно, что внешняясила, растягивающая соленоид, равна по величине силе взаимодействия между виткамиFВНЕШ = F , поэтомуNNi =1i =1δAВНЕШ = ∑ FВНЕШ δxi = F ∑ δxiИзменение длины соленоида приведёт к изменению объёма магнитного поля внутри, следовательно, к изменению энергии dW = WK − WH = w ⋅ dV = w ⋅ S ⋅ dl . Здесь w – объёмная плотностьэнергии магнитного поля, S – площадь поперечного сечения соленоида.
Отсюда следует, чтосила взаимодействия между витками (натяжения в магнитном поле) F = wS , а величина напряжения натяжения (вдоль силовых линий) равна p =F= w - объёмной плотности энергии магSнитного поля.Теперь найдём силу F⊥ в направлении перпендикулярном силовым линиям магнитногополя внутри соленоида – эти силы «распирают» витки в радиальном направлении. Такие силыпринято называть давлениями в магнитном поле. Предположим, что при постоянной силе токарадиус соленоида увеличился на малую величину dR.
Объём соленоида увеличится – поэтомуувеличится и энергия магнитного поля dW = WK − WH = w ⋅ dV = w ⋅ S ВНУТР ⋅ dR . Здесь w – объёмная плотность энергии магнитного поля, SВНУТР – площадь внутренней поверхности соленоида.Так как работа силы F⊥ равна δA = F⊥ dR , то F⊥ = w ⋅ S ВНУТР , соответственно, напряжение давления равно p⊥ =F⊥S ВНУТР= w - объёмной плотности энергии магнитного поля.Определение. Силы, действующие на тела со стороны магнитного (или электрического) поля,называют пондемоторными.9Семестр 3. Лекция 10.Лекция 10. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля.Основные положения электромагнитной теории Максвелла.
Вихревое электрическое поле.Ток смещения. Закон полного тока. Уравнения Максвелла в интегральной и дифференциальнойформах.Закон электромагнитной индукции Фарадеяεi=−d∂BB,dS или rot ECT = −свиде∫∫dt S∂t()()тельствует о том, что изменение магнитного поля приводит к появлению сторонних сил впроводнике, действующие на носители тока. Как показывает пример с проводником, поступательно движущимся в магнитном поле, эти сторонние силы аналогичны силам,действующим на электрические заряды со стороны электрического поля. Поле этих сил являетсявихревым, поэтому его называют вихревым электрическим полем.Первая гипотеза Максвелла состоит в том, что появление вихревого электрического поляиз-за изменяющегося во времени магнитного поля в некоторой области пространства, не зависитот наличия в этой области проводника или носителей тока.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
