phys_3sem_lection_all (823856), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Лекция 11Из равенства амплитуд k E E0 = µ 0 ωH H 0 следует соотношение H 0 =фазовая скорость волны (в вакууме) v = c =kEω 1E0 = EE0 . Ноµ0ωH µ 0 vεµε01, поэтому H 0 = 0 0 E0 =E0 .µ0µ0ε 0µ 0При распространении плоской электромагнитной волны в среде с постоянными значениями ε и µ, величины напряженностей магнитного и электрического полей связаны соотношениемH=εε 0E.µµ 0Отношение амплитуд напряжённостей электрического и магнитного полей называетсяволновым сопротивлением среды Z 0 =Для вакуума (ε=1, µ=1) Z 0 =E0µµ 0=. Единица измерения Ом.H0εε 0µ0≈ 4π ⋅10-7 ⋅ 36π ⋅109 = 120π ≈ 377 Ом.ε0Объёмная плотность энергии в плоской волне равна сумме объёмных плотностей энергии электрического и магнитного полейw = wЭ + wМ .Из соотношения амплитуд следует, что объёмные плотности энергии электрического имагнитного полей в плоской волне равны друг другу.
Действительно,2µµ 0 H 2 µµ 0 εε 0 εε 0 E 2wM ==E == wЭ .22 µµ 0 2Таким образом, энергия плоской волны равномерно распределена на электрическую имагнитную части. По аналогии с МКТ, иногда говорят, что плоская электромагнитная волна обладает двумя степенями свободы. Поэтому w = wЭ + wМ = µµ 0 H 2 = εε 0 E 2 . Илиεε 0 E02w = εε 0 E sin ( ωt ∓ kz + α ) =1 − cos ( 2 ( ωt ∓ kz + α ) ) ,220(2)объёмная плотность энергии в плоской электромагнитной волне тоже является плоской волной,но с удвоенной частотой. Фазовая скорость волны энергии равна vЭ =рости электромагнитной волны.ωЭ 2ω== v фазовой скоkЭ 2kСредняя плотность энергии, переносимая плоской электро-11магнитной волной < w >= µµ 0 H 02 = εε 0 E02 .22Вектор ПойнтингаИзменение объёмной плотности энергии электромагнитного поля в данной точке равно6Семестр 3.
Лекция 11 ∂E ∂H∂w= εε 0 E, + µµ 0 H ,∂t∂t ∂t .Воспользуемся уравнениями Максвелла∂B∂H∂D∂E= −µµ 0, rot H = j += j + εε 0.∂t∂t∂t∂t( )( )rot E = −Откудаµµ 0∂H∂E= − rot E , εε 0= rot H − j .∂t∂t( )( )Тогда( ( ( ) )) − ( H ,rot ( E ))∂w ∂E ∂H = E,εε0 + H ,µµ 0 = E, rot H − j∂t ∂t ∂t (( ) ) − ( H ,rot ( E ) ) − ( E , j ) .∂w= E ,rot H∂tИспользуем оператор «набла»:( E,rot ( H )) − ( H ,rot ( E )) = ( E,(∇ × H )) − ( H ,(∇ × E )) .Т.к. оператор «набла» - это оператор дифференцирования и для любого произведения∇ ( f ⋅ g ) = g ⋅ ∇ ( f ) + f ⋅∇ ( g ) ,( (то ∇ , E × H) ) = − ( E,( ∇ × H ) ) + ( H ,( ∇ × E ) ) ,т.е.( E,rot ( H )) − ( H ,rot ( E )) = −div ( E × H ) .Поэтому∂w= − div E × H − E, j .∂t() ()Проинтегрируем это выражение по объёму некоторой области V, в которой есть электромагнитное поле:− ∫∫∫V∂wdV = ∫∫∫ div E × H dV + ∫∫∫ E, j dV .∂tVVЕсли область не движется, то(∂w)d∫∫∫ ∂t dV = dt ∫∫∫ wdV =VV()dW, где W = ∫∫∫ wdV - энергияdtVэлектромагнитного поля в области V.
По закону Ома j = γE или E = ρj , где ρ =(1- удельноеγ)сопротивление среды. Поэтому выражение E, j = ( ρj , j ) = ρj 2 - это дифференциальная формазакона Джоуля-Ленца. Тогда7Семестр 3. Лекция 11ɶdQ∫∫∫ ( E, j ) dV = ∫∫∫ ρj dV = dt2VV- мощность выделения теплоты (по закону Джоуля-Ленца) в области V.По теореме Остроградского-Гаусса∫∫∫ div ( E × H ) dV = ∫∫ ( ( E × H ) ,dS ) ,VSгде S – ориентированная наружу поверхность, являющаяся границей области V.()Вектор Π = E × H (Π - буква «пи») называется вектором Пойнтинга (Джон ГенриПойнтинг - британский физик (1852 - 1914)). Окончательно получим равенство, называемоетеоремой Пойнтинга−dW=dt∫∫ ()Π ,dS +SdQɶ.dtСкорость изменения энергии электромагнитного поля в некоторой области равна, с обратнымзнаком, сумме мощности выделения теплоты (по закону Джоуля-Ленца) и потока вектораПойнтинга через границу области, ориентированную наружу.Если в области нет тепловыделенияdQɶ= 0 , то в случае, когда векторное поле Π на граdtнице S направлено внутрь области, поток отрицателен∫∫ ( Π ,dS ) < 0 , аSdW> 0 - энергия обласdtти увеличивается.
И наоборот, если поток вектора Пойнтинга направлен наружу из области V,т.е.∫∫ ( Π ,dS ) > 0 , тоSdW< 0 - энергия в области убывает.dtРассмотрим область, в которой распространяется плоская электромагнитная волна.Предположим, что в области нет выделения теплоты по законуS⊥EДжоуля-Ленца. Выделим в области малую площадку S⊥, перпендикулярную вектору Пойнтинга и найдём поток вектор ПойнтингаПчерез эту площадку за малое время dt. Так как скорость распроHстранения волны объёмной плотности энергии равна фазовой скоv⋅dtрости электромагнитной волны v, то количество энергии, прошедшей через площадку равно энергии в объёме прямого цилиндра сплощадью основания S⊥ и высотой vdt:∫∫ ( Π ,dS ) = −S ЦИЛ8dWwdVwS vdt=−=− ⊥= − wvS ⊥dtdtdtСеместр 3. Лекция 11Поверхность цилиндра ориентирована наружу, а вектор Пойнтинга направлен внутрь цилиндра,поэтому∫∫ ( Π ,dS ) = −ΠS⊥.
Тогда из равенства −Π S ⊥ = − wvS ⊥ следует Π = wv . В векторномS ЦИЛвиде можно записать равенствоΠ = wv .(Из этой формулы следует, что вектор Пойнтинга направлен по движению волны.)Следовательно, вектор Пойнтинга – это вектор Умова-Пойнтинга, соответствующийэлектромагнитной волне. Поэтому физический смысл вектора Пойнтинга состоит в том, что онуказывает направление потока энергии, а его величина равна плотности мощности потока энергии.Пример. Рассмотрим часть цилиндрического проводника длиной l и площадью поперечного сечения S⊥, по которой протекает постоянный электрический ток. Предположим, что величина плотности тока j постоянна в сечении проводника, поэтому сила тока равна I = jS ⊥ .
Позакону Ома j = γE =1E , где ρ - удельное сопротивление проводника. На поверхности проводρника вектор H направлен по касательной к силовой линииEГ, а его величина H =EjHГППHdSI, где r – радиус проводника.2πrНаправления H и j согласованы правилом буравчика, инаправлены перпендикулярно друг другу, но j E , поэтому H ⊥ E . Тогда на поверхности проводника векторПойнтинга Π = E × H направлен вглубь проводника, т.е. против вектора dS . Найдём поток вектора Пойнтинга через (боковую) поверхность проводника.∫∫ ( Π ,dS ) = − ∫∫S БОКОВS БОКОВΠ dS = −∫∫EHdS .S БОКОВЗдесь учтено, что Π = EH sin 900 = EH и что векторы dS и Π направлены противоположно.Т.к. E = jρ =Iρ , S БОКОВ = 2πrl , тоS⊥∫∫ ( Π ,dS ) = − EH ∫∫S БОКОВгде R = ρS БОКОВdS = −IIlρ2πrl = − I 2ρ= −I 2 R ,S ⊥ 2πrS⊥lэлектрическое сопротивление проводника.
Итак, поток вектора Пойнтинга черезS⊥боковую поверхность проводника равен по величине мощности тепловыделения в проводнике(по закону Джоуля-Ленца):9Семестр 3. Лекция 11ɶdQ∫∫ ( Π ,dS ) = − dt .S БОКОВСледовательно, −dW=dt∫∫ (S)Π ,dS +dQɶ= 0 - энергия электромагнитного поля в проводнике неdtменяется.♣Рассмотрим в некоторой инерциальной системе отсчёта плоскую электромагнитную волну, движущуюся вдоль оси Z. Следовательно, вектор Пойнтинга Π тоже направлен вдоль осиZ. Пусть SZ - малая площадка, перпендикулярная оси Z (и вектору Пойнтинга). Предположим,что волна полностью поглощается веществом этой площадки. Как известно, в электромагнитном поле на тела действуют силы, создающие давление, равное по величине объёмной плотности энергии p=w. Поэтому величина силы, действующей на площадку равна F=pSZ.
Вектор этойсилы направлен перпендикулярно площадке в направлении движения волны, т.е. вдоль оси Z,поэтому можно написать, что FZ=pSZ . За малый промежуток времени dt импульс этой силы будет равен FZ dt = pS Z dt =wS Z vdt dW=, где dW = wS Z vdt - величина энергии волны, поглощенvvной площадкой за время dt, а v – фазовая скорость волны. Импульс силы, действующей на площадку, равен изменению импульса этой площадки вдоль оси Z: dPZ =dW.vЕсли предположить, что импульс площадки до падения на неё электромагнитной волныбыл равен нулю, то, спустя некоторый промежуток времени, у площадки появится импульс, величина которого прямо пропорциональна величине энергии, поглощенной за этот промежутоквремени:P=W.vЕсли рассматривать систему волна-площадка как замкнутую, то в этой системе импульс сохраняется, следовательно, изменение импульса площадки равно изменению импульса волны.
Таким образом, электромагнитной волне следует приписать величину импульса P, величина которого связана с энергией W, переносимой волной с фазовой скоростью, соотношениемP=W.vТогда единице объёма волны можно приписать величину удельного импульсаPУД =10P W w==V vV vСеместр 3. Лекция 11Но из выражения Π = wv следует, что w =Πv. Поэтому единичный объём электромагнитнойволны обладает импульсом, величина которого PУД =PУД =Π.
Поэтому в векторном видеv2Π E×H=.v2v2Замечание. Из результатов, полученных в СТО, следует соотношение между энергией W, импульсом P и массой покоя m0 материальных телW 2 − P 2 c 2 = m02 c 4 .В вакууме скорость электромагнитной волны равна c, поэтому для импульса и энергии некоторого объёма волныP=W.cСледовательно, масса покоя электромагнитного поля в этом объёме волны равна нулю m0 = 0 .За малый промежуток времени dt изменение импульса ориентированной площадки SZ,полностью поглощающей электромагнитную волну, равно dPZ =dW. Но при отсутствии тепvловыделения (по закону Джоуля-Ленца) из теоремы Пойнтинга следует равенство−dW=dt∫∫ ( Π ,dS ) .SЗдесь S – это замкнутая поверхность, внутри которой находится рассматриваемая площадка SZ.В случае полного поглощения электромагнитной волны вектор Пойнтинга отличен от нулятолько на площадке SZ, поэтому∫∫ ( Π ,dS ) = ∫∫ ( Π ,dS ) .SSZПри этом вектор Пойнтинга перпендикулярен к площадке SZ, т.к.
по условию он направленвдоль оси Z: Π = ( 0 ,0,Π Z ) . Следовательно,∫∫ ( Π ,dS ) = ∫∫ ( Π ,dS ) = ∫∫ ΠSSZZ()cos Π ,dS dS .SZЕсли вектор Пойнтинга представить в виде сумме координатных векторовΠ = Π X + Π Y + Π Z , где Π X = ( Π X ,0,0 ) , Π Y = ( 0, ΠY ,0 ) , Π Z = ( 0,0,Π Z ) ,то будет справедливым соотношение∫∫ ( ΠSZ)()(),dS = ∫∫ Π Z ,dS = ∫∫ Π Z cos Π ,dS dS .SZSZ11Семестр 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
