phys_3sem_lection_all (823856), страница 21

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 21)

Это позволяет передавать световой потокпрактически без потерь.Интерференция волнИнтерференция волн – взаимное усиление или ослабление когерентных волн при их наложении друг на друга (суперпозиции волн при одновременном распространении в пространстве), что приводит к перераспределению энергии колебаний, устойчивому во времени.Наиболее выраженная интерференционная картина наблюдается в случае наложенияволн одного направления. Применительно к электромагнитным волнам это означает, что плоскости поляризации волн должны быть одинаковыми.Рассмотрим две такие плоские электромагнитные волны, распространяющиеся в разныхнаправлениях, у которых плоскости поляризации параллельны оси Z.1) Пусть амплитуды волн одинаковые.

Вдоль лучей уравнения волн будут иметь видE1 = E0 cos ( ω1t − k1l1 + ϕ1 ) , E2 = E0 cos ( ω2t − k2l2 + ϕ2 ) .По принципу суперпозиции волновых полейEΣ = E1 + E2 = E0 cos ( ω1t − k1l1 + ϕ1 ) + E0 cos ( ω2t − k2l2 + ϕ2 ) , ( ω − ω2 ) k1l1 − k2l2 ϕ1 − ϕ2  ( ω1 + ω2 ) k1l1 + k2l2 ϕ1 + ϕ2 EΣ = 2 E0 cos  1t−+t−+ cos .222 222 5Семестр 3. Лекции 12-13Если амплитуду результирующей волны записать в виде ( ω − ω2 ) k1l1 − k2l2 ϕ1 − ϕ2 AΣ = 2 E0 cos  1t−+,222 то суперпозиция волн описывается уравнением ( ω + ω2 ) k1l1 + k2l2 ϕ1 + ϕ2EΣ = AΣ cos  1t−++ θ222где ( ω − ω2 ) k1l1 − k2l2 ϕ1 − ϕ2 t−θ=0 при cos  1+≥ 0,222  ( ω − ω2 ) k1l1 − k2l2 ϕ1 − ϕ2 θ=π при cos  1t−+< 0.222  ( ω − ω2 ) k1l1 − k2l2 ϕ1 − ϕ2 Амплитуда результирующей волны AΣ = 2 E0 cos  1t−+ , не будет за222 висеть от времени в случае, если частоты волн совпадают ω1=ω2 и величина ϕ1 − ϕ2 не зависитот времени.Замечание.

В естественном излучении содержатся волны, испущенные атомами веществапри спонтанных и вынужденных процессах излучения. При этом доля спонтанного излучениязначительно больше доли вынужденного. Но при спонтанном излучении, даже в случае равенства частот, начальные фазы волн, испускаемых атомами, никак не согласованы друг с другом.Время процесса излучения каждого атома очень мало и, поэтому при длительном наблюдениисуперпозиции волн величина ϕ1 − ϕ2 , вообще говоря, будет меняться во времени хаотическимобразом.Когерентными называются волны, разность фаз которых не зависит от времени.Всякая реальная световая волна представляет собой суперпозицию волн, длины которых заключены в некотором интервале ∆λ. Световая волна (волновой пакет), для которой ∆λ<<λ, называется квазимонохроматической.Для монохроматичных волн условие когерентности равносильно равенству частот этихволн ω1=ω2, но в общем случае необходимо еще и равенство начальных фаз.Предположим, что волны являются когерентными, а начальные фазы равны нулю.

В этом k l −k l случае величина результирующей амплитуды AΣ = 2 E0 cos  2 2 1 1  зависит от величины2k2l2 − k1l1.26Семестр 3. Лекции 12-13В случаях, когда k2l2 − k1l1 = ±π или k2l2 − k1l1 = ±3π и т.д, т.е при k2l2 − k1l1 = ±π ( 2m + 1) ,(т.к для любого натурального m число (2m+1) всегда нечётное) суммарная амплитуда равна нулю AΣ = 0 .Но в случаях, когда k2l2 − k1l1 = 0 или k2l2 − k1l1 = ±2π и.т.д, т.е при k2l2 − k1l1 = ±2πm , суммарная амплитуда максимальная AΣ = 2 E0 .Так как интенсивность волны пропорциональна квадрату амплитуды I ∼ A2 , то в точкахпространства, где амплитуда равна нулю, результирующая интенсивность тоже равна нулю, апри максимальной амплитуде результирующей волны интенсивность тоже будет максимальной.Рассмотрим подробнее величину kl =телем преломления вещества v =ношением ω =ωl .

Фазовая скорость волны определяется показаvc, а циклическая частота колебаний связана с периодом соотn2πω2π, поэтому kl = l =nl . Однако, длина электромагнитной волны в вакуумеTvcTравна λ = cT , а величина L = nl является оптической длиной хода лучей, следовательноkl =2πL.λВ случае равенства частот двух волн ω1=ω2 их длины волн в вакууме тоже одинаковыеλ1 = λ 2 . Поэтому можно переписать условия минимумов и максимумов результирующей ам-плитуды (или интенсивности). Условие минимума примет видk2l2 − k1l1 =2π2π2πλn2l2 −n1l1 =( L2 − L1 ) = π ( 2m + 1) , откуда L2 − L1 = ( 2m + 1) .λ2λ1λ2Соответственно, для максимумовk2l2 − k1l1 = ±2πm , откуда L2 − L1 = mλ .Будем в дальнейшем называть разность оптических длин хода лучей просто оптической разностью хода лучей (или волн).Условие минимума.

Если оптическая разность хода лучей до точки наблюдения равнанечётному числу длин полуволн (в вакууме), то в точке наблюдается минимум интерференциλонной картины L2 − L1 = ( 2m + 1) .2Условие максимума. Если оптическая разность хода лучей до точки наблюдения равнацелому числу длин волн (в вакууме), то в точке наблюдается максимум интерференционнойкартины L2 − L1 = mλ .7Семестр 3. Лекции 12-132) Пусть в пространстве перекрываются два волновых поля с разными амплитудамиE1 = E01 cos ( ω1t − k1l1 + ϕ1 ) , E2 = E02 cos ( ω2t − k2l2 + ϕ2 )Рассмотрим соответствующую амплитудно-векторную диаграмму. По теореме косинусовAΣ2 = E012 + E222 − 2 E01 E02 cos ( π − δ )Учтем, что cos ( π − δ ) = − cos δ , гдеYδ = α 2 − α1 = ( ω2 − ω1 ) t − ( k2l2 − k1l1 ) + ϕ2 − ϕ1 , тогдаy∑AΣ2 = E012 + E222 + 2 E01 E02 cos δ .y2y1α2OE02ϕ∑А∑δXE01x1α1x2Для когерентных волн разность фаз волн должнаx∑быть постоянной во времени (в частности ω2 = ω1 ),поэтому результирующая амплитуда не зависит отвремениAΣ2 = E012 + E022 + 2 E01 E02 cos ( k2l2 − k1l1 − ( ϕ2 − ϕ1 ) ) .Для интенсивностей волн справедливы зависимости I1 ∼ E012 , I 2 ∼ E022 , I Σ ∼ AΣ2 с одинаковымикоэффициентами пропорциональности, поэтомуI Σ = I1 + I 2 + 2 I1 I 2 cos ( k2l2 − k1l1 − ( ϕ2 − ϕ1 ) ) .В тех точках пространства, гдеcos ( k2l2 − k1l1 − ( ϕ2 − ϕ1 ) ) = −1 наблюдается минимум интерференционной картины,cos ( k2l2 − k1l1 − ( ϕ2 − ϕ1 ) ) = 1 - максимум.Пример.

Рассмотрим эффект Вавилова-Черенкова.Пусть заряженная частица движется по прямой ли-Общая касательнаянии в веществе с постоянной скоростью, величина кото-плоскостьрой больше фазовой скорости света в веществе v >kсвоём движении частица непрерывно излучает электро-B1θθA1A2c. Приnмагнитные волны, которые можно рассматривать как сфе-B2vрические. Когда, например, частица находилась в точкахА1 и А2 она излучила две сферические волны. Скоростьволны меньше скорости частицы, поэтому в направлениидвижения частицы вторая волна «обгонит» первую.

Но вэтом случае к этим двум сферическим поверхностям в какой-то момент времени можно построить общую касательную плоскость. Обозначим точки касания В1 и В2. Лучи А1В1 и А2В2 параллельны друг другу и перпендикулярны этой плоскости.8Семестр 3. Лекции 12-13При дальнейшем движении фазовых поверхностей выбранных двух сферических волнкасательная плоскость будет также двигаться в направлении лучей А1В1 и А2В2 со скоростьюравной фазовой скорости света.

Можно рассматривать эту плоскость как фазовую поверхностьнекоторой плоской волны (с волновым вектором k ). Но тогда фазы плоской волны (на этойплоскости), первой сферической и второй сферической волн в точках касания В1 и В2 должныбыть одинаковыми. Следовательно, разность фаз сферических волн в направлении, задаваемомуглом θ постоянна и равна 0. Волны являются когерентными в данном направлении и при интерференции усиливают друг друга.Из равенства промежутков времениA1 B1 = A1 A2 cos θ + A2 B2 следуетA1 B1(c n)=A1 A2A1 A2 cos θ + A2 B2(c n)v=+(c n)A1 A2vA2 B2+(см.

рисунок) иA2 B2(c n).Откудаcos θ =c.nvКасательных плоскостей, соответствующих другим значениям углов не существует, поэтому разность фаз волн в этих направлениях не будет постоянной, следовательно, волны небудут когерентными. Если же скорость частицы меньше фазовой скорости света, то указаннуюкасательную плоскость построить невозможно.Интерференция двух цилиндрических волн.(двулучевая интерференция).Рассмотрим интерференцию от двух очень узких щелевых источников монохроматического света. В непрозрачной перегородке (D) есть две узкие щели (S1 и S2), являющиеся источниками света.

Интерференционную картину наблюдают на экране (Э). Расстояние между щелями много меньше расстояния между экраном и перегородкой d<<l. Показатель преломлениясреды принимаем равным единице n = 1 .Интерференционная картина на экране представляет собой череду параллельных тёмныхи светлых полос. Будем предполагать, что начальные фазы колебаний от источников равны. Тогда центральная полоса (О), расположенная симметрично относительно источников будет всегда светлой. Вдоль экрана направим ось Х, чтобы координата x=0 соответствовала точке О.Оптическая разность хода лучей от источников до некоторой полосы (Р) равнаL2 − L1 = l2 − l1 =l22 − l12l2 + l19Семестр 3. Лекции 12-13XDPl1S1xl2IdOS2ЭlТ.к.

d<<l, то при небольших значениях x можно предполагать, что l2 + l1 ≈ 2l . Учитывая, что22ddl12 = l 2 +  x −  и l22 = l 2 +  x +  , получаем, что2222ddl +  x +  − l2 −  x − xd22L2 − L1 ≈=.2ll2Светлые полосы соответствуют максимуму интенсивности. В этом случае оптическая разностьхода равна целому числу длин волнxdl= mλ , откуда координаты максимумов xmMAX = m λ .ldДва соседних максимума с номерами m и m+1 находятся на расстоянии, величина которого называется шириной интерференционной полосы ∆x =lλ.dТёмные полосы соответствуют минимуму интенсивности. В этом случае оптическая разность хода равна нечётному числу длин полуволнмов xmMIN = ( 2m + 1)xdλ= ( 2m + 1) , откуда координаты минимуl2l λ.d 2Два соседних минимума с номерами m и m+1 находятся на расстоянии ∆x =lλ .

Т.е. расdстоянии между соседними максимумами и соседними минимумами одинаковые. Из формулыдля ширины интерференционной ∆x полосы можно найти угловое расстояние между источниλd  dками γ – угол, под которым видны из точки О источники S1 и S2 γ = 2arctg   ≈ =. 2l  l ∆xТеперь предположим, что свет квазимонохроматический и содержит две волны с длинами λ и λ+∆λ. Тогда на экране общая интерференционная картина является результатом наложения двух картин: для длин волн λ и λ+∆λ. Координаты максимумов и минимумов для этих волн10Семестр 3. Лекции 12-13разные. Поэтому может произойти совпадения максимумов для одной длины волны с минимумами другой.

Найдём номер первого совпадения из условия xmMIN ( λ ) = xmMAX ( λ + ∆λ ) :( 2m + 1)Откуда m =l λl= m ( λ + ∆λ )d 2dλ. Следовательно, можно ожидать, что будут видны максимумы с номерами2∆λменьшими m. Т.к. нумерация начинается с номера m=0, отвечающему центральному максимуму, то общее число (первых) различимых полос будет равно N = 2 ( m − 1) + 1 = 2m − 1 =Величинаλ− 1.∆λλназывается степенью монохроматичности света.∆λСледовательно, число видимых полос прямо пропорционально степени монохроматичности света. Чем больше степень монохроматичности, тем больше интерференционных полосвидно – можно сказать, что в этом случае свет «ближе» к монохроматичному.На границе видимой интерференционной картины оптическая разность ходаxГРАН d m∆xdλ l dλ2L2 − L1 ≈==λ =ll2∆λ d l 2∆λзависит только от параметров волны.Вся интерференционная картина будет заключена в области, размер которойLint erf = 2m ⋅ ∆x = 2Учитывая, что величина γ ≈λ lλ2 l.λ=2∆λ d∆λ ddопределяет угловой размер источника, получаем соотношение,lне зависящее от геометрических размеров установки для наблюдения интерференции:λ2= Lint erf γ .∆λТеперь рассмотрим эту модель по-другому.

Найдём суперпозицию волны с длиной λ отисточника S1 c волной длины λ+∆λ от источника S2.2π 2πc 2π  2πcEΣ = E0 cos t − l1  + E0 cos t−l1 λ  λ λ + ∆λ λ + ∆λ  1  2πc2πc  1  2πl12πl2   1  2πc2πc  1  2πl12πl2  EΣ = 2 E0 cos  −−++t −   cos  t − λ + ∆λ  2  λλ + ∆λ  λ + ∆λ  2  λλ + ∆λ  2 λ2 λ11Семестр 3.

Характеристики

Список файлов лекций