phys_3sem_lection_all (823856), страница 25

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 25)

Применяя формулудля радиуса зон Френеля при дифракции Фраунгофера rm = ml λ , и учитывая, что b ∼ rm , найдём число зон Френеля, которые видно из точки наблюдения. В этом случае m =b2<< 1 , т.е.lλвидно только малую часть первой зоны.Оставшийся случайlλ∼ 1 соответствует дифракции Френеля. Это можно пояснить, исb2пользуя формулу для радиусов зон Френеля rm = mстия b ∼ rm , получаем b 2 = mal λ. Принимая оценку величины отвер(a + l )al λ( a + l ) ∼ 1 . Это выlλlλ=, откуда из 2 ∼ 1 следуетbma(a + l )al λ m (a + l ) ражение означает, что расстояния от источника света соизмеримо с расстоянием от перегородкидо экрана. Поэтому волна является сферической и наблюдается дифракция Френеля, при которой из точки наблюдения видно небольшое число зон Френеля.Замечание.

Формулу для первого минимума b sin ϕ = λ можно трактовать следующим образом:параллельные лучи света после прохождения отверстия шириной b отклоняются на угол ϕ, величина которого зависит от отношенияλ. Это отклонение приводит к расхождению лучей –bлюбой пучок параллельных лучей света после дифракции претерпевает «расхождение» на угловую величину, пропорциональнуюλ.bТ.к. sin ϕ ≤ ϕ (в радианах), то закон расхождения лучей при дифракции можно записать ввиде sin ϕ =λb≤ ϕ или ϕ ≥ 1 .bλСледовательно, пучков света, состоящих из абсолютно параллельных лучей, быть неможет в принципе.

Это «запрещено» волновой природой света. Любое устройство, формирующее параллельные лучи, неизбежно будет приводить к явлению дифракции и, соответственно, к расхождению лучей.Дифракционная решёткаИнтерференционная картина, образующаяся при наложении нескольких когерентныхволн называется многолучевой интерференцией.Будем исследовать интерференционную картину, получающуюся при дифракции светана системе параллельных одинаковых щелей, расположенных в одной плоскости.

Такая системаСеместр 3. Лекции 14-1512реализуется в оптическом приборе – прозрачной дифракционной решётке. Обозначения: ширина щели b, расстояние между серединамиbсоседних щелей d – эта величина называется периодом дифракционной решётки.dЭкран, на котором формируется картина, расположен параллельно решётке и находится в фокальной плоскости собирающейлинзы. Свет падает на решётку нормально (т.е. перпендикулярно плоскости, в которой лежатщели).bxϕd⋅sinϕ∆ϕПроведём рассуждения при поиске результирующей амплитуды для системы щелей аналогично рассуждениям для одной щели из предыдущей лекции.

Только теперь будем учитыватьсумму лучей от N щелей. Во всех щелях выделим луч на расстоянии x от левого края щели. Оптическая разность хода таких лучей в соседних щелях равна d sin ϕ . Поэтому результирующаяамплитуда определяется вкладом лучей от всех щелейδAP = Ka0 cos ( ωt − k ( x sin ϕ ) ) + Ka0 cos ( ωt − k ( x sin ϕ + d sin ϕ ) ) +(+ Ka0 cos ( ωt − k ( x sin ϕ + 2d sin ϕ ) ) + ...

+ Ka0 cos ωt − k ( x sin ϕ + ( N − 1) d sin ϕ ))Для дальнейших вычислений можно воспользоваться формулой Эйлераeiα = cos ( α ) + i ⋅ sin ( α ) .где i 2 = −1 . (Эта формула является основной в теории комплексного анализа, и часто применяется в теоретических расчётах).Отсюда, в частности, следует, что cos ( α ) =Поэтому можно записатьeiα + e− iαe iα − e − iαи sin ( α ) =.22iСеместр 3. Лекции 14-15(13))(δAP = Ka0 cos ( ωt − k ( x sin ϕ ) ) + ... + cos ωt − k ( x sin ϕ + ( N − 1) d sin ϕ ) =i ( ωt − k ( x sin ϕ+ ( N −1) d sin ϕ ) )− i ( ωt − k ( x sin ϕ+ ( N −1) d sin ϕ ) )  ei( ωt − k ( x sin ϕ)) + e − i( ωt − k ( x sin ϕ) )e+e== Ka0 + ...

+22Ka0 i( ωt − k ( x sin ϕ) )i ( ωt − k ( x sin ϕ+ ( N −1) d sin ϕ ) )− i ( ωt − k ( x sin ϕ+ ( N −1) d sin ϕ ) )− i ωt − k ( x sin ϕ ) )=e+ ... + e+e (+ ... + e2()или, после перегруппировки:δAP =(()(A0 i( ωt − k ( x sin ϕ))i − k ( N −1) d sin ϕ )− i ωt − k ( x sin ϕ ) )i − kd sin ϕ )ik N −1 d sin ϕe1+ e (+ ... + e (+e (1 + eikd sin ϕ + ... + e ( )2b)) .Используя формулы для частичной суммы геометрической прогрессии1 + q + q 2 + ... + q N −1 =получаем равенство 1 + ei ( − kd sin ϕ )+ ... + ei ( − k ( N −1) d sin ϕ )1− qN,1− q1 − ei( − Nkd sin ϕ)=.1 − ei( − kd sin ϕ)Затем проводим преобразования1 − ei( − Nkd sin ϕ)i − kd sin ϕ )1− e ( i Nkd sin ϕ i ( − Nkd sin ϕ)  − i Nkd sin ϕ  i Nkd sin ϕ i ( − Nkd sin ϕ) 222 e 2 − e e e 2 − e 2i ( N −1) kd sin ϕ−i2==e. i kd sin ϕ i ( − kd sin ϕ)  −i kd sin ϕ i kd sin ϕ i ( − kd sin ϕ)  e 2 − e 2  e 2 e 2 − e 2  2iСледовательно i Nkd sin ϕ i ( − Nkd sin ϕ) 2 e 2 − e 2i ( N −1) kd sin ϕ sin  Nkd sin ϕ  ( N −1) kd sin ϕ−i2i − k ( N −1) d sin ϕ ) e−i22=  kd sin ϕe=1 + ei( − kd sin ϕ) + ...

+ e (( − kd sin ϕ)  i kd sin ϕ isin  e 2 − e 2  2i 2 Аналогично1 + eikd sin ϕ + ... + eik ( N −1) d sin ϕ Nkd sin ϕ sin  i ( N −1) kd sin ϕ22=e. kd sin ϕ sin 2 Тогда Nkd sin ϕ  Nkd sin ϕ sin sin ( N −1)kd sin ϕ( N −1)kd sin ϕ Ka0 i( ωt − k ( x sin ϕ) )22− i ωt − k ( x sin ϕ ) ) e −i ei22e,δAP =+e (ϕϕkdsinkdsin2 sin sin 2 2 Семестр 3. Лекции 14-1514 Nkd sin ϕ   i ωt − k ( x sin ϕ) − ( N −1)kd sin ϕ  − i ωt − k ( x sin ϕ) − ( N −1) kd sin ϕ  sin 22  e  +e 2δAP = Ka0,2 kd sin ϕ  sin 2   Nkd sin ϕ sin 2 cos  ωt − k x sin ϕ − ( N − 1) kd sin ϕ  .δAP = Ka0()2 kd sin ϕ sin 2 Учитывая, что Ka0 =A0dx , получаемb Nkd sin ϕ sin 2 cos  ωt − k x sin ϕ − ( N − 1) kd sin ϕ  dx =()2 kd sin ϕ sin 2  Nkd sin ϕ bsin N − 1) kd sin ϕ (A02=−sin  ωt − k ( x sin ϕ ) − =bk sin ϕ2 kd sin ϕ 0sin 2  Nkd sin ϕ sin A02  sin  ωt − kb sin ϕ − ( N − 1) kd sin ϕ  − sin  ωt − ( N − 1) kd sin ϕ  =−  bk sin ϕ22 kd sin ϕ   sin 2 bAAP = ∫ 0b0Т.к.ππβ−α πβ+αβ−α β+αsin α − sin β = cos  α −  + cos  β +  = 2 cos +  cos  = −2 sin  cos 222 2 2  2  2 то Nkd sin ϕ sin A02 sin  kb sin ϕ  cos  ωt − kb sin ϕ − ( N − 1) kd sin ϕ AP = 22 22bk sin ϕ kd sin ϕ sin 2 С учетом k =2πполучаем выражение для амплитуды колебаний в точке наблюденияλ kb sin ϕ  Nkd sin ϕ ππsin sin  b sin ϕ  sin  Nd sin ϕ  sin 2 2  =AλλAN = 2 A00kb sin ϕ kd sin ϕ ππsin   b sin ϕ sin  d sin ϕ 2 λλСеместр 3.

Лекции 14-1515πsin  b sin ϕ λ , то амплитуда от NТак как амплитуда колебаний от одной щели равна A1 = A0π  b sin ϕλπsin  Nd sin ϕ λ.щелей AN = A1πsin  d sin ϕ λПоэтому интенсивность света в дифракционной картине2I N ,ϕгде I1,ϕ2πππ sin  λ b sin ϕ  sin  λ Nd sin ϕ   sin  λ Nd sin ϕ   = I = I0 ,1,ϕ  π  b sin ϕ sin  π d sin ϕ   sin  π d sin ϕ     λλ λ   πsin 2  b sin ϕ λ - интенсивность от одной щели.= I02π b sin ϕ λIN,ϕ /I0N=416b/λ=114d/λ=5IN,ϕ /I012N2⋅I1,ϕ /I0108642-1,4-1-0,6-0,2 0ϕ0,20,611,4Из этих формул следует, что интенсивность центрального максимума (ϕ=0) для системыСеместр 3.

Лекции 14-1516из N щелей больше интенсивности центрального максимума от одной щели в N2 разI N ,0 = I1,0 N 2Максимумы и минимумы дифракционной картины можно подразделить на главные ивторичные.Главные максимумы выделяются условием I N ,ϕπsin  Nd sin ϕ λ = ±N .= I1,ϕ N 2 , т.е.πsin  d sin ϕ λПусть α = m ⋅ π + β (m – целое число) и N - целое число, тогда при β → 0 справедливо:sin ( N ( m ⋅ π + β ) )sin ( m ⋅ π + β )= ( −1)( N −1) msin ( N β )sin ( β )Поэтому главные максимумы определяются условием≈ N ⋅ ( −1)( N −1)m.πd sin ϕ = mπ , т.е.λd sin ϕ = mλ .Целое число m называется номером главного максимума или порядком спектра.Главные минимумы соответствуют условию минимума интенсивности от одной щелиI1,ϕ = 0 , т.е.

b sin ϕ = k λ , где k – целое число.Между главными максимумами находятся вторичные максимумы и минимумы. Вторичπsin  Nd sin ϕ λ = 0 . Т.к. они находятся между соседным минимумам соответствуют условияπsin  d sin ϕ λними главными максимума с номерами m и m+1, то их положение можно определить из соотλλπношения sin  Nd sin ϕ  = 0 при условии m < sin ϕ < ( m + 1) . Это выполняется, еслиddλn λsin ϕ =  m +  и 1 < n < N − 1 . Целое число n называется номером вторичного минимума.N dСледовательно, количество вторичных минимумов между любыми двумя главными максимумами на единицу меньше числа щелей N.Интенсивность вторичных максимумов значительно меньше интенсивности главныхмаксимумов.Положение главных максимумов и минимумов определяется длиной волны падающегосвета.

Поэтому решетка способна разлагать излучение в спектр, то есть она является спектральным прибором. Если свет немонохроматический, то в спектре будут наблюдаться главныеСеместр 3. Лекции 14-1517максимумы разных длин волн. Но центральный максимум будет содержать все длины волн. Поэтому он наиболее яркий.При разложении белого света для первого максимума меньший угол у фиолетового цвета, а больший – у красного. В этом смысле дифракционная решётка как спектральный приборпротивоположна стеклянной призме в опыте Ньютона, в которой наибольшее отклонение испытывали лучи фиолетового цвета.Замечание. Интенсивность главных максимумов убывает с ростом номера m. Как правило, на практике количество достаточно различимых максимумов не превышает 3.Замечание.

Если свет падает на дифракционную решетку под углом θ, то положениеглавных максимумов определяется соотношениемd ( sin ϕ − sin θ ) = mλ .Спектральные характеристики дифракционных решёток.Угловая дисперсия Dϕ =δϕ, где δϕ - угловое расстояние между двумя главными максимумамиδλодного порядка, соответствующим волнам, длины которых отличаются на величину δλ. Изформулы d sin ϕ = mλ получаем d cos ϕ⋅ δϕ = m ⋅ δλ , откуда Dϕ =δϕm=.δλ d cos ϕДисперсионная область. Если спектры соседних порядков перекрываются, то спектральныйприбор становится непригодным для исследования соответствующих участков спектра.

Максимальная ширина спектрального интервала ∆λ, при которой еще не происходит перекрытияспектров, называется дисперсионной областью спектрального прибора. Для решетки из условиясовпадения максимумов соседних порядков для разных длин волнm ( λ + ∆λ ) = ( m + 1) λ , получаем, что должно быть ∆λ <λ.mКак правило, m≤3. Поэтому решетки пригодны для исследования широких участков спектра.Разрешающая сила Разрешающей способностью спектрального прибора называется величинаR=Iλ, где δλ - минимальная разность длин двух волн, при котоδλрой они воспринимаются раздельно друг от друга.λλ+δλКритерий разрешения Рэлея.

Спектральные линии с близкими значениями λ и λ+δλ считаются разрешенными (т.е. визуальновоспринимаются разделёнными), если главный максимум для одной длины волны совпадает по своему положению с первым минимумом для другой длины волны.Если главный максимум порядка m для длины волны λ+δλСеместр 3. Лекции 14-15181накладывается на первый вторичный минимум того же порядка, то m ( λ + δλ ) =  m +  λ . ОтNкуда mδλ =муле R =λ, поэтому разрешающая сила дифракционной решётки определяется по форNλ= mN .δλДифракционные решётки бывают прозрачные и отражающие.

Характеристики

Список файлов лекций