phys_3sem_lection_all (823856), страница 24

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 24)

Т.к. излучаемые вторичные волны являются когерентными и расстояния от соседних границ до точки Р отличаются на половину длины волны, то разность фаз колебаний отвторичных источников на этих границах, приходящих в точку Р, равна π (как говорят, колебания приходят в противофазе). Аналогично, для любой точки какой-нибудь зоны обязательноb + n ⋅∆зона № 1b+3⋅∆b+2⋅∆b+∆A1.3A1.ΣA1.2OPзона № 1.1зона № 1.2зона № 1.3зона № 1.n и т.д.A1.1δδСеместр 3. Лекции 14-155найдётся точка в соседней зоне, колебания от которой приходят в Р в противофазе.

Величинаамплитуды волнового вектора пропорциональна величине площади зоны AP ∼ K ( θ ) Sm . Ноплощади зон одинаковые, а с ростом номера m возрастает угол θ, поэтому величина K ( θ ) убывает. Поэтому можно записать упорядоченную последовательность амплитудA1 > A2 > A3 > ...

> Am −1 > Am > Am +1 > ... . На амплитудно -векторной диаграмме с учётом разностифаз эта последовательность изображается противоположно направленными векторами, поэтомуAP = A1 − A2 + A3 − ... ± Am −1 ∓ Am ± Am +1 ∓ ...Разобьем первую зону на большое количество N внутренних зон таким же спосбом, как ивыше, но теперь расстояния от границ двух соседних внутренних зон до точки Р будут отличаться на малую величину ∆ =λ 2. Поэтому разность фаз волн, приходящих волн в точку РNбудет равна малой величине δ = k ∆L =2π∆ . На амплитудно-векторной диаграмме вектор амλплитуды от каждой из внутренних зон будет повернут на малый угол δ относительно предыдущего, поэтому амплитуде суммарного колебания от нескольких первых внутренних зон будетсоответствовать вектор A1.Σ соединяющий начало и конец ломаной линии. При увеличении номера внутренней зоны суммарная разность фаз будет нарастать и на границе первой зоны станет равной π.

Это означает, вектор амплитуды от последней внутренней зоны A1.N направленпротивоположно вектору амплитуды от первой внутренней зоны A1.1 . В пределе бесконечнобольшого числа внутренних зон эта ломаная линия перейдет в часть спирали.Амплитуде колебаний от первой зоны Френеля тогда будет соответстA1A3FA∞A2вовать вектор A1 , от двух зон - A2 ит.д. В случае, если между точкой Р иисточником света нет никаких пре-град, из точки наблюдения будет видно бесконечное число зон, поэтому спираль будет навиваться на точку фокуса F.

Следовательно, свободной волне с интенсивностью I0 соответствуетвектор амплитуды A∞ , направленный в точку F.Из рисунка видно, что для амплитуды от первой зоны можно получить оценку A1 = 2 A∞ ,поэтому интенсивность от первой зоны I1 = 4 I 0 - в 4 раза больше интенсивности падающейволны. Равенство A1 = 2 A∞ можно трактовать и по-другому. Если для бесконечного числа открытых зон суммарную амплитуду записать в видеСеместр 3.

Лекции 14-156A∞ =A1  A1A  AA A A+  − A2 + 3  +  3 − A4 + 5  + ... +  m −1 − Am + m +1  + ...2  22   22 2  2(m – четное число), то из A1 = 2 A∞ следует оценка Am ≈Am −1 + Am +1.2Замечание. Если каким-то образом изменить фазы колебаний в точке Р от чётных или нечётныхзон на π, или закрыть чётные или нечётные зоны, то суммарная амплитудаувеличится по сравнению с амплитудой открытой волны. Таким свойствомобладает зонная пластинка - плоскопараллельная стеклянная пластинка с выгравированными концентрическими окружностями, радиус которых совпадаетс радиусами зон Френеля. Зонная пластинка «выключает» чётные либо нечётные зоны Френеля, что приводит к увеличению интенсивности света в точке наблюдения.Дифракция на круглом отверстии.Рассуждения, приведённые выше, позволяют сделать вывод, что амплитуда колебания вточке Р зависит от числа зон Френеля.

Если дляточки наблюдения открыто нечётное число зонФренеля, то в этой точке будет максимум интенсивности. Если открыто чётное число зон –то минимум.Дифракционная картина от круглого отверстия имеет вид чередующихся светлых итёмных колец. При увеличении радиусаb+3 (λ/2)отверстия (и увеличения числа зон Фреb+2(λ/2)зона № 3зона № 2зона № 1неля) чередование тёмных и светлых ко-λb+(λ/2)лец будет наблюдаться только вблизиbосвещённость практически не будет ме-и т .д .границы геометрической тени, а внутриняться.Дифракция на малом диске.Рассмотрим схему опыта, в кото-LaOPром на пути световой волны расположеннепрозрачный круглый диск, радиус которого соизмерим с радиусами первыхзон Френеля.Для рассмотрения дифракционнойкартины помимо обычных зон построим дополнительные зоны от края диска.Семестр 3. Лекции 14-157Зоны Френеля от края диска будем строить по прежнему принципу - расстояния от границ двух соседних зон до точки наблюдения отличаются на половины длины волны.

Амплитудав точке наблюденияAP =A1  A1A  AA A A+  − A2 + 3  +  3 − A4 + 5  + ... +  m −1 − Am + m +1  + ... .2  22   22 2  2с учётом оценки Am ≈Am −1 + Am +1Aбудет равна AP = 1 . Следовательно, в точке22наблюдения - в центре геометрической тени всегда будет светлое пятно – максимум интенсивности. Это пятно называется пятном Пуассона.Замечание. Если диск закрывает только часть обычной первой зоны Френеля, то на экране небудет тени.Пример.

На непрозрачный диск диаметром D=0,5 см нормальнопадает плоская монохроматическая волна, длина которой λ=700нм. Найти диаметр отверстия в центре диска, при котором интен-A3,33сивность света в точке Р экрана (на оси системы) будет равна ну300Fлю. Расстояние между диском и экраном равно L=2,68 м.Решение. Найдём число обычных зон Френеля, которые закрытыAОТВдиском.

Номер зоны найдём из формулы для радиуса при дифрак1 Dции Фраунгофера m = Lλ  2 22 5 ⋅10−3 1m= ≈ 3,33 .2 , 68 ⋅ 7 ⋅10−7  2 Т.е. диск закрывает 3 целых зоны и еще одну треть. Построим спираль Френеля. Граничнойточке этой части в 3,33 зоны соответствует угол наклона к горизонтали, равный 300. Все остальные зоны открыты, поэтому вектор амплитуды A3 ,33 направлен от граничной точки зоныФренеля в точку F.

Чтобы в точке наблюдения Р интенсивность была равной нулю, надо, чтобывектор амплитуды света из отверстия AОТВ был равным по длине, но противоположным по направлению вектору A3 ,33 . Следовательно, он также должен быть наклонен к горизонтали подуглом в 300. В этом случае отверстие должно открывать 1,67 части зоны Френеля. Для m=1,67получаем радиус отверстияrОТВ = mλL = 1, 67 ⋅ 7 ⋅10−7 ⋅ 2 , 68 ≈ 1, 77 ⋅10 −3 м.♣Семестр 3.

Лекции 14-158Дифракция Фраунгофера от щели.Рассмотрим дифракционную картину от узкой длинной щели шириной b, на которуюнормально падает плоская волна. За щелью расположена собирающая линза, в фокальной плоскости которой находится экран для наблюдения дифракционной картины.Элементарные участки волнового фронта в форме узких длинных полосок, параллельных краям щели, становятся источниками вторичных цилиндрических волн. Разобьем волновую поверхность в щели на маленькие участки dx, каждый из которых в точке P создает колебаниеdA = Ka0 cos ( ωt − k ∆ )bГде ∆ = x sin ϕ - геометрическая разность хода лучей от краяxщели и от луча на расстоянии x от края. Здесь множителя1вrамплитуде нет, поскольку рассматриваются плоские волны.

Ка-∆ждая полоска шириной dx даёт одинаковый вклад амплитудыϕKa0 =A0dx , где А0 – амплитуда волны.bТогда для всей щелиbPAP = ∫0AP = −bA0A0cos ( ωt − k ( x sin ϕ ) ) dx = −sin ( ωt − k ( x sin ϕ ) )0bbk sin ϕ()A0sin ( ωt − k ( b sin ϕ ) ) − sin ( ωt ) =bk sin ϕ=−A0 ππ cos  ωt − k ( b sin ϕ ) −  + cos  ωt +   =bk sin ϕ 22 =−k ( b sin ϕ ) 2 A0 kb sin ϕ π cos +  cos  ωt −bk sin ϕ22 2AP =k ( b sin ϕ ) 2 A0 kb sin ϕ sin  cos  ωt −bk sin ϕ  2 2πsin  b sin ϕ 2πλ.С учетом k =получаем амплитуду колебания в точке Р AP 0 = A0λπ  b sin ϕλПри ϕ<<1 амплитуда в точке Р равна амплитуде падающей волны AP 0 = A0 , а при выполненииусловия b sin ϕ = mλ , где m – целое число, амплитуда равна нулю AP 0 = 0 . Поэтому для интенсивности волны в направлении задаваемом углом ϕСеместр 3.

Лекции 14-159πsin 2  b sin ϕ λ.Iϕ = I02π b sin ϕ λПри этом −I/I0При ϕ=0 находится центральный макси-b= 4.λ1мум I ϕ = I 0 , значительно превосходящий по ве-0,8личине остальные максимумы.0,6Условие минимумов b sin ϕ = mλ , где m –0,4целое число. Центральный максимум ограничен0,2-2 -1,5 -1ππ<ϕ< .22ϕ-0,500,511,5с двух сторон первыми минимумами, положение которых задаётся углом sin ϕ = ±λ.bДифракционная картина на экране в этомслучае будет иметь вид чередующихся тёмных и светлых полос, причем яркость светлых сильно убывает по направлению от центральной полосы. Можно сказать, что на экране не будетрезкого перехода от света к тени.Рассмотрим условие минимумов для интерференционλ/2ной картины от щели подробнее. Перепишем равенство2mb sin ϕ = mλ в виде b sin ϕ = 2mb⋅sinϕλλ. Выражение ∆L = 2m мож22но трактовать как сумму чётного числа 2m длин полуволн.

Т.е.в случае минимума интенсивности всю щель можно разбить начётное число одинаковых участков так, что разность хода волнϕот граничных точек двух любых соседних участков до точкинаблюдения равнаθλ. Но в этом случае, как известно, в точке на2блюдения будет минимум интенсивности.Если свет падает на щель не перпендикулярно, а под некоторым углом θ, то разность хода волн от краёв щели равна∆L = b sin θ − b sin ϕ = b ( sin θ − sin ϕ ) , поэтому, аналогично, условие минимумов будет иметь видϕ∆L = 2mλ= mλ или b ( sin θ − sin ϕ ) = mλ .2Семестр 3.

Лекции 14-1510Предельный переход от волновой оптики к геометрической.Рассмотрим положение первого минимума для дифракции на щелиI/I01b= 100 .λ0,8sin ϕ = ±можно записать в виде ϕ ≈0,60,4Но при0,2ϕ-0,5 0-1,5 -1λλ. В случае << 1 это выражениеbb0,511,5λ.bλ<< 1 относительные интенсивностиbвсех максимумов, кроме центрального, стремятся к нулю I I 0 → 0 . Поэтому на экранебудет видная резкая граница тени от краёв щели. Подобную же картину можно получить применением методов геометрической оптики. Однако в данном случае будет наблюдаться небольшое различие относительных размеров изображения щели наэкране.ϕПри построении методами геометрической оптики размерыbщели и изображения на (параллельно расположенном) экране будут одинаковыми независимо от расстояния l между экраном и перегородкой с щелью.Если строить изображение щели методом волновой оптики,lто граница тени соответствует первому минимуму, положениекоторого определяется углом ϕ ≈λ.

Поэтому относительный размер изображения равенbλb + 2 ⋅ l ⋅ tg ϕ b + 2 ⋅ l ⋅ ϕlλ≈= 1+ 2 b = 1+ 2 ⋅ 2 .bbbbl⋅Следовательно, если выполняетсяlλ<< 1 , то результаты построения методами волновой и геоb2метрической оптики практически совпадают.В обратном случае надо пользоваться методами волновой оптики. Но тогда следует различать ситуации, в которых либоlλlλ∼ 1 , либо 2 >> 1 .

Но дифракционные явления становятся2bbзаметными, когда размер щели (отверстия) или преграды соизмерим с длиной волны света b∼λ.Тогда условиеlλl>> 1 примет вид >> 1 . А это означает, что расстояние от перегородки до эк2bbрана много больше размера отверстия (преграды). Следовательно, лучи, падающие на экранСеместр 3. Лекции 14-1511можно считать параллельными друг другу – это дифракция Фраунгофера.

Характеристики

Список файлов лекций