phys_3sem_lection_all (823856), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

Лекция 10.Чтобы его обосновать, введем вектор d = b −(a×b)d( a,b ) a , который об( a,a )bладает следующими свойствами:a1) вектор d ортогонален вектору a : d ,a = b ,a −( ) ( )a×(a×b)( a,b ) ( a,a ) = 0 ;( a,a )2) при замене вектора b на d векторное произведение не меняется(( )( ) a,b  a,ba × d =  a ×b −a  = a ×b −(a × a ) = a × b , a,a )  a,a )(( )()()()( (поэтому вектор d перпендикулярен также и вектору a × b . Т.к. вектор a × a × b() ) тоже пер-)пендикулярен векторам a и a × b , то он должен быть пропорциональным вектору d , т.е.( a × ( a × b )) = λ ⋅ d (где λ - число). Но так как он направлен противоположно вектору d , то λ < 0 .Теперь воспользуемся векторным равенством ( a × ( a × b ) ) = ( a × ( a × d ) ) (вытекающим из второгосвойства вектора d ):( a × ( a × b )) = ( a × ( a × d )) = a ⋅ ( a × d ) = a ⋅ a ⋅ d = ( a,a ) ⋅ d .( (С другой стороны, a × a × b) ) = λ ⋅ d , откуда ( a,a ) ⋅ d = λ ⋅ dили λ = ( a,a ) .С учётом знака λ = − ( a,a ) .

Окончательно,( (a × a ×b( a,b ) ) ) = λ ⋅ d = − ( a,a )  b − ( a,a ) a  = ( a,b ) a − ( a,a ) b .Следовательно, для непрерывно-дифференцируемого векторного поля v (с учётом правилприменения оператора «набла»)( (rot ( rot ( v ) ) = ∇ × ∇ × v) ) = ∇ ( ∇ ,v ) − ( ∇ ,∇ ) v = grad ( div ( v ) ) − ∆v .♣Уравнения Максвелла, записанные с помощью оператора «набла» примут вид (в дифференциальной форме)( ∇ ,D ) = ρ , ( ∇ × E ) = − ∂∂Bt , ( ∇ ,B ) = 0 , ( ∇ × H ) = j + ∂∂Dt .8Семестр 3. Лекция 11Лекция 11. Электромагнитные волны.Волновое уравнение для электромагнитного поля, его общее решение. Распространения электромагнитных волн. Энергия и импульс электромагнитного поля.

Вектор Пойнтинга. ТеоремаПойнтинга.Рассмотрим уравнения Максвелла в вакууме, в условиях отсутствия зарядов и токов.При ρ=0, j = 0 , ε=1, µ=1 уравнения в дифференциальной форме примут видdivD = 0 , rotE = −∂B∂D, divB = 0 , rotH =.∂t∂tУчитываем материальные уравнения D = ε0 E , B = µ 0 H и получаем систему уравнений( )(1)div E = 0rotE = −µ 0∂H∂t(2)( )div H = 0(3)∂E∂t(4)rotH = ε 0∂∂2HНачинаем преобразования уравнений (2) и (4):rotE = −µ 0 2 , откуда∂t∂t() ∂E ∂2 Hrot =−µ0∂t 2 ∂t Т.к.

из (4) следует, что(5)1∂2H∂E 1= rotH , то равенство (5) примет вид rot  rotH  = −µ 0 2 или∂t ε 0∂t ε0()rot rotH = −ε0µ 0∂2 H∂t 2(6)( ( )) = grad ( div ( H )) − ∆H , поэтому с учётомНо, как известно из предыдущей лекции rot rot H(3), уравнение (6) равносильно уравнению1∂2H∆H = 2ε 0µ 0∂t(7)Аналогичные преобразования можно провести для вектора E : из (2) следуетиз (4) следует ε0∂H1= − rotE ,∂tµ0( ( )) = rot  ∂∂Ht  = rot  − µ1 rotE  = − µ1 rot ( rotE ) ,∂2E ∂rot H=∂t 2 ∂t001Семестр 3.

Лекция 11( ( )) = grad ( div ( E )) − ∆E = −∆E , поэтомуУчитывая (1), получаем rot rot E1∂2 E∆E = 2ε 0µ 0∂t(8)Полученные уравнения (7) и (8) имеют вид волнового уравнения – они описывают распространение плоских электромагнитных волн. Сразу можно сказать, что фазовая скорость1≈ 3 ⋅108 м/с и совпадает со значением скоε 0µ 0электромагнитной волны в вакууме равна c =рости света в вакууме.

При распространении электромагнитных волн в среде с постоянными1cc== , где веε 0 εµ 0µεµ nзначениями ε и µ, выражение для фазовой скорости примет вид v =личина n = εµ называется показателем преломления среды.Замечание. Предположение о постоянстве значений ε и µ приводит к расхождению с опытнымизначениями показателя преломления. Например, для воды ε≈81 и µ≈1, что даёт расчётное значение n≈9. Однако, экспериментально определено значение n≈1,5. Расхождение объясняетсявозможной зависимостью ε и µ от частоты и других параметров волны.Волновое уравнение является линейным, в том смысле, что любая линейная комбинациярешений тоже является решением.

Отсюда, как известно из предыдущего семестра, следуетпринцип суперпозиции для волновых полей – наложение волновых полей является волновым полем. Поэтому выделяют «простейшие» волновые поля – поля (или волны), соответствующиеопределённым частотам. Такие «простейшие» волны, определенная частота которых постоянная, называются монохроматическими.Пример.

Электромагнитная волна, частоты колебаний векторов в которой равны 1000 Гц и 2000Гц является суперпозицией двух монохроматических волн с частотами 1000 Гц и 2000 Гц.♣В декартовых координатах волновые уравнения (7) и (8) имеют вид 2  ∂ 2 H X ∂ 2 H X ∂ 2 H X  ∂ 2 H X  2  ∂ 2 EX ∂ 2 EX ∂ 2 EX  ∂ 2 EX++=++=v v 222 2222 ∂∂∂∂xyzt∂x∂y∂z∂t 2  ∂ 2 H  ∂ 2 E∂ 2 HY ∂ 2 HY  ∂ 2 HY∂ 2 EY ∂ 2 EY  ∂ 2 EY22YY++, v  2 ++v ==2∂y 2∂z 2 ∂t 2∂y 2∂z 2  ∂t 2  ∂x  ∂x  ∂2 H∂ 2 H Z ∂ 2 H Z  ∂ 2 H Z  2  ∂ 2 EZ ∂ 2 EZ ∂ 2 EZ  ∂ 2 EZZv 2 ++v ++==∂y 2∂z 2 ∂t 2∂y 2∂z 2  ∂t 2  ∂x 2  ∂x 2Эти уравнения описывают распространение плоских волн.

Пример записи решения для первыхуравнений каждой из систем(())(()H X = H 0 X sin ωH t ∓ k H ,r + α H , E X = E0 X sin ωE t ∓ k E ,r + β H2)Семестр 3. Лекция 11(индекс «Е» соответствует параметрам напряженности электрического поля, а «Н» - магнитного). В соответствующей волне:( k ,r ) = k x + k y + k z ,xyzr = ( x, y,z ) - радиус-вектор точки, а для координат волнового вектора k = ( k x ,k y ,k z ) справедливо соотношениеk = k = k x2 + k y2 + k z2 =ω.vЗнак «−» соответствует «убегающей» волне, а знак «+» - «набегающей».Обратим внимание на тот факт, что волновые уравнения для каждой из координат векторов E и H независимы друг от друга, поэтому общее решение можно рассматривать как суперпозицию решений для координат векторов. При этом решения волновых уравнений согласованы.

Т.е. определённому решению одного из волновых уравнений для какой-то координатывектора напряжённости электрического поля соответствует определённое решение одного изволновых уравнений для координат вектора напряжённости магнитного поля, и наоборот.Например, нужно найти решения, соответствующие, вектору E = ( E X ,EY ,EZ ) .

Но согласно принципу суперпозиции волновых полей, решение, соответствующее векторуE = ( E X ,EY ,EZ ) можно найти как суперпозицию решений, соответствующих векторамE1 = ( E X , 0 , 0 ) , E2 = ( 0 ,EY , 0 ) , E3 = ( 0 , 0 ,EZ ) . Аналогично, можно искать решения по вектору на-пряжённости магнитного поля H = ( H X ,H Y ,H Z ) .Пример. Найдем решения для случая, когда волна движется вдоль оси z, а вектор напряжённости электрического поля имеет координаты E = ( Е X , 0 , ЕZ ) , зависящие только от z.

Волна вэтом случае является суперпозицией волновых полей векторов E1 = ( E X , 0 , 0 ) и E3 = ( 0 , 0 ,EZ ) .Система волновых уравнений в декартовых координатах примет вид 2vv 2∂ 2 EX ∂ 2 EX=∂z 2∂t 2∂ 2 E Z ∂ 2 EZ=∂z 2∂t 2Так как ищем решения в виде волны, то предполагаем, что в рассматриваемой областинет постоянных во времени электрического и магнитного полей. Т.е. если при решении получается постоянное значение какой-то координаты векторов E или H , то это значение можно считать равным нулю.3Семестр 3. Лекция 11( )Уравнение (1) div E = 0 примет вид∂EZ= 0 , откуда EZ не зависит от координат, но,∂zвозможно, зависит от времени. Но эта координата должна также удовлетворять волновому∂ 2 E Z ∂ 2 EZуравнению v== 0 . Откуда EZ = A1t + A2 - линейная функция времени, но так как∂z 2∂t 22ищем решения в виде волны, то A1 = 0 , поэтому EZ = const - т.е.

поле постоянное, откудаEZ = 0 .Из уравнения (2) rotE = −µ 0eX∂∂xEXОстаются равенстваeY∂∂y0∂H, с учётом EZ = 0 следует∂teZ∂∂H Y∂H Z  ∂H X= −µ 0 eX +eY +eZ  .∂z∂t∂t ∂t0∂H X∂E X∂H Y∂E X∂H Z= 0,= −µ 0,= −µ 0.∂t∂z∂t∂y∂tКоордината H X не зависит от времени, но, так как она должна являться решением волнового ∂2 H X ∂2 H X ∂2 H X  ∂2 H Xуравнения v , то H X = const , поэтому H X = 0 .++=2∂y 2∂z 2 ∂t 2 ∂x2Искомые координаты векторов E и H зависят только от z, следовательно, должно быть∂E X∂H Z= 0 , поэтому из третьего равенства следует= 0 и, по аналогии, H Z = 0∂y∂t( )Уравнение (3) div H = 0 примет видeX∂∂x0eY∂∂yHY∂H Y∂E= 0 .

Уравнение (4) rotH = ε 0∂y∂teZ∂∂E= ε0 X eX∂z∂t0∂H Y ∂E X= −µ 0∂H∂E ∂z∂tдаёт соотношение − Y = ε 0 X . Получаем систему ,∂z∂t− ∂H Y = ε ∂E X0 ∂z∂tоткуда можно опять получить волновые уравнения v 22∂ 2 HY ∂ 2 HY∂ 2 EX2 ∂ EX=иv=.∂z 2∂t 2∂z 2∂t 2Следовательно, вектору напряжённости электрического поля E1 = ( E X , 0 , 0 ) соответствует вектор напряженности магнитного поля H 2 = ( 0 ,H Y , 0 ) . Поэтому вектору E2 = ( 0 ,EY , 0 ) будет4Семестр 3. Лекция 11соответствовать вектор H1 = ( H X , 0 , 0 ) . Но векторам E3 = ( 0 , 0 ,EZ ) и H 3 = ( 0 , 0 ,H Z ) не соответствует никакая плоская электромагнитная волна, распространяющая вдоль оси Z.Заключение по результатам примера.1) Плоская электромагнитная волна является поперечной.Действительно, из примера следует, что продольные составляющие (вдоль направлениядвижения волны - оси Z) векторов напряжённостей электрического и магнитного полей равнынулю ЕZ = 0 и H Z = 0 .Векторы E = ( Е X , 0 , 0 ) и H = ( 0 ,H Y , 0 ) направлены перпендикулярно друг другу и перпендикулярно направлению движения волны.

Если направление движения волны вдоль оси Z()задать волновым вектором k = ( 0 , 0 ,k ) , то можно сказать что тройка векторов E,H ,k является правой.2) Колебания напряженностей электрического и магнитного полей в любой точке плоской волны происходят с одинаковой фазой.Действительно, пусть решения волновых уравнений имеют видE X = E0 sin ( ωE t ∓ k E z + β E ) , H Y = H 0 sin ( ωH t ∓ k H z + α H ) .Тогда, например, из равенства∂E X∂H Y= −µ 0следует, что∂z∂t∓ k E E0 cos ( ωE t ∓ k E z + β E ) = −µ 0 ωH H 0 cos ( ωH t ∓ k H z + α H ) .EXkYHZЭто равенство возможно, только если фазы волн равны с точностью до π. Откуда ωE = ωH , т.е.колебания происходят с одинаковой частотой, и, так как фазовые скорости одинаковые, то равны и волновые числа k E = k H .5Семестр 3.

Характеристики

Список файлов лекций