Fizika_Lect_Borisov_5_2000 (811246), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Тогдаϕ λ −1 =1λa€ϕ λ .Подействовав k раз оператором a€ на вектор ϕ λ , получим нормированный СВϕ λ − k = [λ (λ − 1)L (λ − k + 1)]−1 / 2 a€k ϕ λ .Мы уже доказали, что λ ≥ 0 . Поэтому процедура должна оборватьсяпри достижении СВ ϕ 0 . Это возможно только приλ = n = 0, 1, 2 , K .В результате мы получили спектр энергии ГО:1⎞⎛E n = hω ⎜ n + ⎟ .2⎠⎝Покажем теперь, что все СВ могут быть построены по векторуϕ 0 . Воспользуемся коммутатором[N€, a€ ] = [a€, N€] = a€ .N€ a€ ϕ = a€ (N€ + 1)ϕ = (n + 1)a€ ϕ++Имеем+++nnЗначит,n.a€+ϕ n = C n(+ )ϕ n +1 .Далее,a€+ϕ n+2( () )= (ϕ n , a€a€+ϕ n ) = ϕ n , 1 + N€ ϕ n = n + 1,В итоге получим:ϕn(a€ ) ϕ=+ nn!0,C n(+ ) = n + 1 .ϕ n = 1;a€+ϕ n = n + 1ϕ n+1 , a€ϕ n = n ϕ n−1 ,a€ϕ 0 = 0.42Применим полученные формулы в координатном представлениидля вывода явных выражений для волновых функций ГО.
Имеем⎛ a€ ⎞ 1 ⎛ x€p€ ⎞ 1 ⎛∂ ⎞⎜⎜ + ⎟⎟ =⎜⎜ ± i x ⎟⎟ =⎜⎜ ξ ±⎟.p0 ⎠∂ξ ⎟⎠2 ⎝ x02⎝⎝ a€ ⎠Для определения волновой функции основного состояния получаемпростое уравнение⎛d ⎞⎟⎟ϕ 0 = 0 .⎜⎜ ξ +ξd⎠⎝Его решение2ϕ 0 = C0 e −ξ / 2 .Нормировочный коэффициент определяем из условияϕ02∞∞= ∫ dx ϕ 0 = C0 x0 ∫ dξ e −ξ = 1 ,22−∞2−∞откуда (выбирая соответствующий фазовый множитель)()−1 / 2C 0 = x0 π.Волновую функцию состояния с номером n > 0 находим по общейформуле:(a€ )=n+ n2C ⎛d ⎞ϕnϕ 0 = n0 ⎜⎜ ξ − ⎟⎟ e −ξ / 2 .dξ ⎠n!2 n! ⎝Далее воспользуемся легко проверяемым операторным тождеством:2dd −ξ 2 / 2ξ−= −e ξ / 2e,dξdξоткудаn2⎛d ⎞d n −ξ 2 / 2n⎜⎜ ξ −⎟⎟ = (− 1) eξ / 2e.dξ ⎠dξ n⎝В результате получим волновые функции осциллятора в окончательном виде:ϕ n = C n H n (ξ )e −ξH n (ξ ) = (− 1) eξn22/2(), C n = x0 π 2 n n!−1 / 2,d n −ξ 2e .dξ n436.4.
Когерентные состояния гармонического осциллятораСостояния, минимизирующие произведение неопределенностейкоординаты и импульса частицы, подчиняются, как показано в п. 4,уравнению⎛ h⎞⎜ 2 ( x€ − x0 ) + i( p€x − p0 )⎟ϕ = 0 .⎝ 2σ⎠Для осциллятора оно может быть, очевидно, записано в виде:a€φα = αφα ,где α – произвольное комплексное число. Итак, минимизирующие СНсостояния описываются собственными векторами оператора a€ .Комплексность собственных значений объясняется неэрмитовостью a€ .Найдем выражение для φα в базисе из СВ гамильтониана (энергетическое представление). Имеем∞∞∞n =0n =1n =0φα = ∑ c nϕ n , a€φα = ∑ cn nϕ n −1 = α ∑ cnϕ n ,откуда следует рекуррентное соотношение для коэффициентов:αcn+1 =αncn , и cn =c0 .n!n +1Коэффициент c 0 , полагая его действительным, находим из нормировочного условия:(φα ,φα ) = 1 = c02(α ) α (ϕ∑∗ n′n∞2n′ , ϕ n ) = c 0 ∑(α ) ,2 nc0 = e−α2/2,n!n′!n!n =0где учтено условие ортонормированности (ϕ n′ , ϕ n ) = δ n′n .Итак,∞2αn−α /2φα = eϕn .∑n!n =0Следовательно, вероятность обнаружить осциллятор в стационарномсостоянии с энергией E n равнаn , n′wn = (ϕ n ,φα ) =2α2ne−α2.n!Мы получили известное распределение Пуассона, так что физиче2ский смысл параметра α таков:∞α = n = ∑ nwn .2n =044До сих пор мы рассматривали состояние осциллятора φα в фиксированный момент времени t = 0 .
Состояние χ α при t > 0 получим очевидной заменой базисных векторов в разложении φα = ∑ cnϕ n :⎛ i⎞⎝ h⎠Учтя выражение для спектра E n / h = ω (n + 1 / 2 ) , получим закон эволюции во времени минимизирующего состояния:φα → χ α = e −iω t / 2φαt , α t ≡ α e −iω t .Отсюда следует, что χ α , как и φα , также собственный вектор оператора a€ :a€χ α = α t χ α .Вычислим среднее значение координаты осциллятора в состоянии χ α . Удобно использовать представлениеxx€ = 0 (a€ + a€+ ).2Тогда получимxxx = 0 (χ α , (a€ + a€+ )χ α ) = 0 (α t + α t∗ ) ,22− iθили, полагая α = α e ,ϕ n → ψ n = exp⎜ − En t ⎟ϕ n .x = A cos(ω t + θ ), A = 2 α x0 .Таким образом, среднее значение координаты в состоянии χ α изменяется по классическому закону.Найдем явный вид χ α , решая уравнение a€φα = αφα вкоординатном представлении:2⎤1 ⎛d ⎞⎡ 1⎜⎜ ξ +⎟⎟φα = αφα , φα = C exp⎢− ξ − 2α ⎥ .dξ ⎠2⎝⎦⎣ 2В результате получим нормированное решение−1 / 22⎤211⎡ iχ α = e − iω t / 2 φ α t = π x 0exp ⎢− ω t + (α t − α t∗ ) − ξ − 2α t ⎥ ,42⎣ 2⎦представляющее собой нерасплывающийся волновой пакет.
Впервыеон был построен Шрёдингером в 1926 г. Координаты в состоянииχ α распределены по нормальному закону:(())()⎡ 12⎤exp ⎢− 2 ( x − A cos (ω t + θ )) ⎥ .π x0⎣ x0⎦Центр пакета движется по классическому закону, ширина пакета независит от времени:ρ (x ) = χα =21451 2x0 .2Как уже было показано выше, энергия в пакете распределена позакону Пуассона:nn22− nw(E = E n ) = (ψ n , χ α ) = wn =e , n =α .n!Независимость распределения от времени обусловлена тем, что гамильтониан осциллятора – интеграл движения.Средняя энергия может быть выражена через амплитуду колебаний около центра пакета A = 2 α x0 :(x − x )2=1⎞ 1⎛E = hω ⎜ n + ⎟ = (mω 2 A 2 + hω ) .2⎠ 2⎝Эта формула отличается от классической добавлением в правой части энергии основного состояния осциллятора E 0 = hω / 2 (см.
выше),которой можно пренебречь только при n >> 1 (при этом распределение Пуассона переходит, как известно, в нормальное распределение Гаусса).Заметим, что теоремы Эренфеста для ГО дают классическиеуравнения движения для средних:d xpd px= x ,= −mω 2 x ,dtmdtоткудаd2 x+ ω 2 x = 0.2dtЭто объясняется квадратичной зависимостью потенциала ГО от координаты.Итак, мы построили нерасплывающиеся волновые пакеты χ α ,минимизирующие соотношение неопределенностей «координата –импульс». Они описывают состояния ГО, максимально близкие кклассическим. Эти состояния называют когерентными состояниями, так как они используются для описания когерентных свойствэлектромагнитного излучения в квантовой теории поля(R.
Glauber, 1963): можно показать, что свободное электромагнитноеполе эквивалентно бесконечному набору независимых гармонических осцилляторов.467. ОПЕРАТОР МОМЕНТА ИМПУЛЬСА7.1. Коммутационные соотношенияОператор момента импульса частицы определим, используяпринцип соответствия, в видеex ey ezL€ = r€× p€ = −ihr × ∇ = x€ y€ z€ .p€x p€y p€zНапомним (см. п.
5), что оператор момента естественноопределяется как генератор группы вращений в пространствеволновых функций.На основе коммутаторов (фундаментальных квантовых скобокПуассона) [x€k , p€n ] = ihδ kn получаем[ L€x , L€y ] = [ y€p€z − z€p€y , z€p€x − x€p€z ] = y€p€x [ p€z , z€] + p€y x€[ z€, p€z ] == ih ( x€p€y − y€p€x ) = ihL€z .Используя циклическую перестановку индексов, получим еще двасоотношения. В итоге:[ L€x , L€y ] = ihL€z , [ L€z , L€x ] = ihL€y , [ L€y , L€z ] = ihL€x .В тензорной форме:[ L€k , L€n ] = ihε kns L€s ,или символически:[L€ × L€] = ihL€ .Введем оператор квадрата моментаL€2 = L€2x + L€2y + L€2z .Вычислим его коммутатор с компонентами момента:[ L€k , L€2 ] = ∑ L€k L€2n − L€2n L€k + L€n L€k L€n − L€n L€k L€n =(n)()()= ∑ [ L€k , L€n ]L€n + L€n [ L€k , L€n ] = ihε kns L€s L€n + L€n L€s ≡ 0.nИтак, квадрат момента коммутирует со всеми компонентами:[ L€k , L€2 ] = 0 .Этого и следовало ожидать, так как скаляр при поворотах системыкоординат не изменяется.Рассмотрим теперь алгебру операторов момента в общем виде, нефиксируя ее представление.
Выбирая h в качестве естественнойединицы измерения момента и обозначая (безразмерные) компоненты J€k , получаем коммутационные соотношения в виде:47[ J€k , J€] = iε kns J€s , [ J€k , J€2 ] = 0 .Введем неэрмитовы сопряженные друг другу операторыJ€+ = J€x + iJ€y , J€− = J€x − iJ€y .Тогда получим коммутаторы:[ J€z , J€± ] = ± J€± , [ J€+ , J€− ] = 2 J€z , [J€2 , J€± ] = [ J€2 , J€z ] = 0.Квадрат момента удобно записать так:1J€2 = J€+ J€− + J€− J€+ + J€z2 .2€€€Отсюда с учетом J + J − − J − J€+ = 2 J€z находимJ€− J€+ = J€2 − J€z J€z + 1 , J€+ J€− = J€2 − J€z J€z − 1 .()()()7.2. Спектр операторов J€2 и J€zВ силу [ J€2 , J€z ] = 0 существует общая система собственныхвекторов этих операторов:J€2ψ λm = λψ λm , J€zψ λm = mψ λm .Покажем, что λ ≥ 0 . Имеем2λ = ψ λm , J€2ψ λm = ∑ ψ λm , J€k2ψ λm = ∑ J€kψ λm ≥ 0 ,()()kkгде учтена эрмитовость операторов J€k .Из полученных выше тождеств для произведений операторовJ€± J€m находим:J€m J€±ψ λm = [ J€ 2 − J€z J€z ± 1 ]ψ λm = [λ − m(m ± 1)]ψ λm .()Умножив слева скалярно на ψ λm обе части этих равенств, получим с( )учетом J€±+= J€m :ψ λm , J€m J€±ψ λm = J€±ψ λm , J€±ψ λm = [λ − m(m ± 1)](ψ λm ,ψ λm ) .Следовательно,22J€ ψ= [λ − m(m ± 1)] ψ.() (±)λmλmВ силу неотрицательности нормы вектора имеем:λ − m(m ± 1) ≥ 0 ,илиm 2 + m − λ ≤ 0,⎫⎬m 2 − m − λ ≤ 0.
⎭Отсюда48m1+ ≤ m ≤ m2+ ,⎫⎬m1− ≤ m ≤ m2− ,⎭где1111m1+, 2 = − m ∆ , m1−, 2 = m ∆ , ∆ = + λ ≥ .2244Получаем решение системы неравенств:11− ∆ ≤m≤− + ∆.22Обозначим1j = ∆ − ≥ 0.2Тогда находим:λ = j ( j + 1),− j ≤ m ≤ j.Далее собственные векторы будем обозначать ψ jm .Так как ψ = 0 ↔ ψ = 0 , то J€±ψ jm = 0 тогда и только тогда, когдаj ( j + 1) − m(m ± 1) ≡ ( j m m )( j ± m + 1) = 0 .С учетом ограничения m ≤ j приходим к выводу:J€ ψ = 0, J€ ψ= 0.+−jjj ,− jПусть m ≠ j .
Учитывая соотношенияJ€2 J€+ = J€+ J€2 , J€z J€+ = J€+ J€z + 1 ,находимJ€2 J€+ψ jm = j ( j + 1) J€+ψ jm ,()( )( )J€ (J€ ψ ) = (m + 1)(J€ ψ ).z+jm+jmСледовательно,J€+ψ jm = C +jmψ j ,m+1 .Аналогично найдем:J€−ψ jm = C −jmψ j ,m−1 .Выше было получено:J€±ψ jm = [ j ( j + 1) − m(m ± 1)]1 / 2 ψ jm .Рассмотрим последовательность векторовJ€+ψ jm , J€+2ψ jm ,K, J€+nψ jm ,K .Очевидно, чтоJ€+nψ jm ~ ψ j ,m+ n ,причем49m+ n ≤ j.Ясно, что существует целое неотрицательное число n+ такое, чтоJ€+ J€+n+ψ jm = 0 ,(т.е.
m + n+ = j .Итак,)0 ≤ j − m = n+ ,причем существует n+ собственных векторов операторов J€2 и J€z :J€+ψ jm ,K, J€+n+ψ jm ,отвечающих собственным значениям оператора J€z , равнымm + 1,K, m + n+ = j .Аналогично получаем для J€− последовательность векторовJ€−ψ jm ,K, J€−n−ψ jm ,принадлежащих СЗ J€z , равным соответственноm − 1,K , m − n− = − j .Из условийn + = j − m ≥ 0, n − = j + m ≥ 0следует, чтоn+ + n− = 2 j = 0, 1, 2,K .Итак, СЗ оператора J€2 равны j ( j + 1) , гдеj = 0, 1 / 2, 1, 3 / 2, 2K .СЗ оператора J€z таковы:m = 0, ± 1 / 2, ± 1, ± 3 / 2, ± 2, K .Для общего СВ ψ jm операторов J€2 и J€z возможны 2 j + 1 значенийm:m = − j, − j + 1, K, j .Вернемся к соотношениямJ€+ψ jm = C +jmψ j ,m+1 , J€±ψ jm = [ j ( j + 1) − m(m ± 1)]1 / 2 ψ j ,m±1 .Выберем ψ jm = 1 и фиксируем фазу вектора ψ j ,m+1 так, чтобы C +jmбыло действительным неотрицательным числом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
