Fizika_Lect_Borisov_5_2000 (811246), страница 5
Текст из файла (страница 5)
В частности, нельзя определить импульс в даннойточке пространства (как в классической механике): импульс харак28теризует состояние квантовой частицы в целом. Он может быть измерен, например, путем анализа дифракционной картины, образуемой при прохождении пучка частиц через периодическую структуру,с помощью дебройлевского соотношения между длиной волны иимпульсом: λ = 2πh / p .4.2. Постулаты квантовой механикиМы ввели основные понятия квантовой механики и можем теперьявно сформулировать, следуя Дж. фон Нейману (J. von Neumann), ееосновные постулаты:П1. Состояния системы описываются ненулевыми векторами ψкомплексного сепарабельного гильбертова пространства H , причемвекторы ψ и ψ ′ описывают одно и то же состояние тогда и толькотогда, когда ψ ′ = cψ , где c – произвольное комплексное число.
Каждой наблюдаемой A однозначно сопоставляется линейный эрмитовоператор A€ .П2. Наблюдаемые одновременно измеримы тогда и только тогда,когда соответствующие им эрмитовы операторы коммутируют.В результате измерения наблюдаемой, представляемой оператором A€ , может быть получено лишь одно из собственных значений λ оператора A€ . Вероятность wn получить значение λn при измерении в состоянии ψ равна2wn = cn ,где c n – коэффициент в разложении ψ по полной системе собственных функций ψ оператора A€ :nψ = ∑ c nψ n , c n = (ψ n ,ψ ) .nП3. Эволюция системы определяется уравнением Шрёдингера∂ψih= H€ψ ,∂tгде H€ – гамильтониан.П4. Каждому вектору ψ ≠ 0 из пространства H отвечает некоторое состояние системы, любой эрмитов оператор A€ соответствуетнекоторой наблюдаемой.Рассмотренный в п.
3 принцип суперпозиции, как легко проверить, следует из постулата П4.29Замечание 1. Выбор пространства H и закона соответствияA → A€ для конкретной физической системы определяется согласиемпредсказаний теории с результатами эксперимента. Этот выбор неможет быть формализован: можно построить бесконечно многоквантовых теорий, которые в пределе h → 0 переходят в одну и туже классическую теорию.Замечание 2. Существуют правила суперотбора, согласно которым пространство состояний H разбивается в прямую сумму ортогональных подпространств, причем сумма векторов из разных подпространств не может соответствовать физически реализуемому состоянию. Например, запрещена суперпозиция состояний с различными электрическими зарядами.5.
ИЗМЕНЕНИЕ НАБЛЮДАЕМЫХ СО ВРЕМЕНЕМ5.1. Эволюция средних значений наблюдаемыхПусть ψ – произвольное состояние, эволюционирующее во времени согласно уравнению Шрёдингера∂ψih= H€ψ .∂tПолучим уравнение для изменения среднего значения наблюдаемойA = ψ , A€ψ в этом состоянии. Имеемd A ⎛ ∂ψ € ⎞ ⎛ ∂A€ ⎞ ⎛ € ∂ψ ⎞1⎟⎟ = − H€ψ , A€ψ +, Aψ ⎟⎟ + ⎜⎜ψ , ψ ⎟⎟ + ⎜⎜ψ , A= ⎜⎜dt∂t ⎠ih⎝ ∂t⎠ ⎝ ∂t ⎠ ⎝⎛ ∂A€ ⎞ ⎛ ⎛ ∂A€ i € € ⎞ ⎞1€€+ H , A ⎟⎟ψ ⎟ .+ ψ , AHψ + ⎜⎜ψ , ψ ⎟⎟ = ⎜ψ , ⎜⎜⎟⎜ihtth∂∂⎠ ⎠⎠ ⎝ ⎝⎝Здесь учтена эрмитовость H€ : H€ψ , A€ψ = ψ , H€A€ψ .Итак,d A∂A€ i € €=+ H, A .∂t hdtЭто уравнение – квантовый аналог классического уравнения для динамической переменной A(q, p, t ) :dA ∂A+ {H , A},=dt ∂ tгде введена скобка Пуассона()(([ ])() ([30))]⎛∂ A ∂H ∂ A ⎞⎟.−∂ q k ∂ pk ⎟⎠k ⎝ ∂ pk ∂ qkТаким образом, при переходе к квантовой теории{H , A} → i H€, A€ .hЗаметим, что алгебраические свойства скобки Пуассона совпадаютсо свойствами коммутатора наблюдаемых.Определим оператор производной по времени:∂A€ i € €A&€ ≡+ H, A .∂t hТогдаd A= ψ , A&€ψ = A&€ .dtПусть наблюдаемая A€ явно не зависит от времени и коммутирует сгамильтонианом:∂A€= 0 и [ H€, A€] = 0 .∂tТогда в любом состоянии ψ среднее значение наблюдаемойA = const .
В этом случае A€ называется интегралом квантовых{H , A} = ∑ ⎜⎜ ∂H([][])уравнений движения.5.2. Стационарные состоянияРассмотрим важный частный случай независящего от временигамильтониана:∂H€=0.∂tВ этом случае существуют специальные решения уравнения Шрёдингера, которые легко получаются методом разделения переменных:⎛ i ⎞ψ E = exp⎜ − Et ⎟ϕ E ,⎝ h ⎠где ϕ E не зависят от времени и являются (как и ψ E ) собственнымивекторами гамильтониана:H€ϕ E = Eϕ E .Собственные значения E являются допустимыми значениями энергии системы, так как гамильтониан – оператор энергии, соответствующий классической функции Гамильтона.31Состояния ψ E называются стационарными состояниями. Их основные свойства таковы:1) плотность вероятности и поток вероятности в этих состоянияхне зависят от времени:∂ρ∂j= 0,= 0.∂t∂t2) Средние значения наблюдаемых не зависят от времени:∂A€A = ψ E , A€ψ E = ϕ E , A€ϕ E = const при= 0.∂t3) Вероятность обнаружить собственное значение λ наблюдаемой A€ не зависит от времени:2w(λ ) = (ψ λ ,ψ E ) = const .Произвольное (нестационарное) состояние может быть разложенопо стационарным состояниям – собственным векторам гамильтониана:⎞⎛ iψ (t , r ) = ∑ cnϕ n (r )exp⎜ − En t ⎟ .⎠⎝ hnВ нестационарном состоянии энергия не имеет определенного значения, но среднее значение ее от времени не зависит:() (())2E = ψ , H€ψ = ∑ c n E n = const ,nтак как H€ – интеграл движения:iH&€ = H€, H€ = 0 .h€Если наблюдаемая A не коммутирует с гамильтонианом, то ее среднее, как и должно быть, зависит от времени (даже при ∂A€ / ∂t = 0 ):[(])⎡i⎤A = ∑ cn∗ cn′ ϕ n , A€ϕ n′ exp ⎢ (E n − E n′ )t ⎥ .⎣h⎦n , n′Присутствие здесь недиагональных матричных элементов операторанаблюдаемой ϕ n , A€ϕ n′ отражает характерный квантовомеханический эффект интерференции различных стационарных состояний.Легко проверить, что в нестационарном состоянии ρ и j такжезависят от времени.(32)5.3.
Теоремы ЭренфестаРассмотрим подробнее случай одномерного движения частицы в поле U ( x ) . В этом случае гамильтонианp€x2€H=+ U ( x€) .2mУчитывая фундаментальный коммутатор [x€, p€x ] = ih , вычислим пообщему правилу (см. выше) оператор скорости:iix€& = H€, x€ =p€x2 , x€ ; p€x2 , x€ = p€x2 x€ − x€p€x2 + p€x x€p€x − p€x x€p€x =2mhh= p€x [ p€x , x€] + [ p€x , x€] p€x = −2ihp€x .В результатеp€x&€ = x .mДалее,iip€& x = H€, p€x = [U ( x€), p€x ].hhПоследний коммутатор проще всего вычислить в координатномпредставлении:[U (x€), p€x ] = −ih ⎡⎢U (x ), ∂ ⎤⎥ = ih ∂U .∂x∂ x⎦⎣В результате получим:∂U ( x€)p&€x = −.∂ x€Отсюда для средних значений следуют уравнения, впервые полученные Эренфестом (P.
Ehrenfest) в 1927 г.:d xp= x ,dtmd px∂U=−.∂xdtЭто, очевидно, квантовый аналог системы канонических уравненийГамильтона. Отсюда следует квантовое обобщение закона Ньютона:d2 x∂U.m=−∂xdt 2Эти уравнения выражают содержание теорем Эренфеста.Рассмотрим переход к классическим уравнениям движения.Пусть состояние ψ представляет собой волновой пакет, сосредоточенный в окрестности точки x = x . Разложив силу F ( x ) = −∂U / ∂ x[ ][] [][]33в ряд по ∆x = x − x и усреднив по пакету, получим с точностью дочленов второго порядка малости уравнение движенияd2 x12= F ( x ) + F ′′( x ) (∆x ) + L .m22dtЗдесь учтено, что ∆x ≡ 0 . При условии(∆x)2<< 2F( x )F ′′( x )движение центра волнового пакета описывается классическим уравнением Ньютона. Этого условия, однако, недостаточно.
Надо учестьсоотношение неопределенностейh222(∆x ) (∆p x ) ≥4и потребовать относительной малости флуктуаций импульса около222среднего значения p x : p x2 = p x + (∆p x ) ≅ p x приpx2>> (∆p x )2≥h24 (∆x )2.В этом приближении получаем классическую функцию Гамильтона:2pxH ( x€, p€x ) ≅ H ( x , p x ) =+ U ( x ),2mи можно говорить о движении центра пакета по траектории.Указанные два условия одновременно выполняются при движении частицы с относительно большим импульсом в плавно меняющемся внешнем поле.5.4.
Интегралы движения и симметрия в квантовой механикеВернемся к интегралам движения в квантовой механике и покажем, что их существование связано с симметрией системы. Ограничимся случаем ∂H€ / ∂t = 0 . Пусть спектр гамильтониана инвариантенотносительно некоторых преобразований векторов состояний:ψ → ψ ′ = D€ψ ,где D€ - линейный оператор. Инвариантность означает, что из уравненияH€ψ = Eψследует такое же уравнение для преобразованного вектора:H€ D€ψ = ED€ψ .Отсюда получаем условие инвариантности гамильтониана:( )34D€ −1 H€D€ = H€ , или [ H€, D€] = 0 .Естественно потребовать также сохранения нормы вектора:D€ψ , D€ψ = ψ , D€+ D€ψ = (ψ ,ψ ) .Следовательно, оператор преобразования должен быть унитарным:D€ + D€ = I€, или D€ −1 = D€ + .Для приложений представляют интерес унитарные операторы вида€D€ = e iαF ,где F€ – эрмитов оператор ( F€ = F€+ ), т.е.
некоторая наблюдаемая; α вещественный параметр. Условие инвариантности гамильтонианапринимает вид[ H€, F€] = 0 .Поэтому наблюдаемая F€ – интеграл движения (при ∂F€ / ∂t = 0 ).Пример. Пусть свойства системы инвариантны относительногруппы G линейных непрерывных преобразований g координат:r → r ′ = gr .Ввиду скалярности волновой функции ее закон преобразования имеет вид:ψ ′(r ′) = ψ (r ) , или ψ ′(r ) = ψ (g −1r ) = D€( g )ψ (r ) .Линейные операторы D€( g ) реализуют представление группы G .() ()Рассмотрим группу трансляций:r′ = r + a ,где a – постоянный вектор.Тогда1ψ ′(r ) = ψ (r − a ) = [1 − a ⋅ ∇ + (a ⋅ ∇ )2 + L]ψ (r ) = e −a⋅∇ψ (r ) ,2или⎞⎛ iψ ′(r ) = exp⎜ − a ⋅ p€⎟ψ (r ) ,⎠⎝ hгде p€ = −ih∇ – оператор импульса, который оказывается генератором группы трансляций в пространстве волновых функций. Для свободной частицы p€ коммутирует с гамильтонианом H€ = p€2 / 2m , т.е.является интегралом движения.Рассмотрим группу вращений SO(3) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
