Fizika_Lect_Borisov_5_2000 (811246), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Учитывая, что нормированный вектор состояния определен с точностью до фазового преобразования ψ → ψ ′ = e iαψ , мывсегда можем ограничиться преобразованиями U с единичным определителем (унимодулярными преобразованиями):det U = 1.Унитарные унимодулярные преобразования в двумерном про2странстве C образуют, как известно, группу SU (2) . Эта группа связана с группой вращений трехмерного евклидова пространства59SO(3) следующим образом. Рассмотрим множество эрмитовых бесследовых матриц вида:X = σ ⋅ r, X + = X , trX = 0 ,где r – действительный трехмерный вектор.
Представление группыSU (2) на множестве этих матриц задано так:X ′ = UXU + , или σ ⋅ r ′ = Uσ ⋅ rU + .Из перестановочных соотношений для матриц Паули σ k следует,что1tr (σ k σ n ) = δ kn .2Отсюда и из закона преобразования матриц X находим11tr (σ k σ n xn′ ) = xk′ = tr (σ kUσ l xlU + ) ≡ Rkl xl .22Мы получили преобразование в евклидовом пространстве:r′ = R r ,где 3 × 3 -матрица R имеет матричные элементы1Rkl = tr (σ kUσ lU + ).2Используя свойства матриц σ k и U , нетрудно показать, что R –действительная ортогональная унимодулярная матрица:R ∗ = R , R T R = I , det R = 1 ,т.е.
отвечает вращению евклидова пространства: R ∈ SO(3), r ′ = r .Матрица U ∈ SU (2 ) может быть при этом параметризована в виде:θθ⎛ i⎞U = exp⎜ − θ n ⋅ σ ⎟ = I cos − i(n ⋅ σ )sin ,22⎝ 2⎠где θ – угол поворота вокруг оси, заданной единичным вектором n .Здесь учтены легко проверяемые соотношения:(n ⋅ σ )2 k = I , (n ⋅ σ )2 k +1 = n ⋅ σ .Мы видим, что матрицы U осуществляют двузначное представление группы вращений SO(3) :±U → R.Волновая функция электрона в пространстве H S преобразуетсяпри вращении по закону:⎛ i⎞ψ ′(r ) = Uψ (R −1r ) = exp⎜ − θ n ⋅ J€⎟ψ (r ) ,⎝ h⎠где введен оператор полного момента импульсаhJ€ = L€ + S€ = −ihr × ∇ ⊗ I€+ I€⊗ σ .2608.2. Уравнение Шрёдингера для частицы во внешнем электромагнитном поле. Магнитный моментРассмотрим движение электрона во внешнем электромагнитномполе, заданном 4-потенциалом A µ = (Φ, A ) .
По принципу соответствия определим гамильтониан (нерелятивистского) электрона (массуего будем обозначать me , чтобы не путать с квантовым числомm для проекции момента) в виде:21 ⎛e ⎞€H=⎜ p€ − A ⎟ + eΦ .2me ⎝c ⎠ОператорeP€ = p€ − Acназывают кинетическим импульсом (в классической механике онвыражается через скорость частицы: P = me v ) в отличие от канонического импульса p€ .Пусть задано постоянное однородное магнитное поле B = ∇ × A ,калибровку потенциала которого выберем в виде1A = B × r, ∇ ⋅ A = 0 .2Тогда, преобразуя квадрат кинетического импульсаee2 222€P = p€ − (A ⋅ p€ + p€ ⋅ A ) + 2 Accс учетом1p€ ⋅ Aψ = ( A ⋅ p€)ψ − ih(∇ ⋅ A)ψ , A ⋅ p€ = B ⋅ (r × p€) ,2получим гамильтониан электрона в постоянном магнитном поле ипроизвольном электрическом поле E = −∇Φ :p€2ee2€€(B × r )2 .+ eΦ −B⋅L +H=22m e2m e c8me cТретье слагаемое в гамильтониане описывает взаимодействие орбитального магнитного момента M электрона с магнитным полем:€ ⋅ B, M€ = e L€ .U€L = −M2m e cКоэффициент пропорциональности между магнитным моментом имоментом импульса называется гиромагнитным отношениемe.gL =2 me c61Взаимодействие U€L имеет, очевидно, классический аналог, следующий из классической функции Гамильтона частицы.
В общемслучае протяженной заряженной системы, характеризуемой плотностью электрического тока j(t , r ), энергия ее взаимодействия с постоянным магнитным полем ( A = B × r/ 2 ) в рамках классической электродинамики имеет вид (см. первую часть курса):1U c = − ∫ d 3 x j ⋅ A = −M ⋅ B .cЗдесь магнитный момент системы1M = ∫ d 3xr × j.2cДля системы N точечных заряженных частиц имеем плотность токав видеNj(t , r ) = ∑ ea v a δ (r − ra ) ,a =1и магнитный моментeara × p a .a 2m a cВ случае, когда все частицы имеют одинаковое отношение заряда кмассе, ea / ma = e / me , получим пропорциональность магнитного иорбитального моментов:eM=L, L = ∑ ra × p a .2 me caВычислим магнитный момент µ равномерно заряженного пообъему шарика радиуса a , вращающегося с постоянной угловойскоростью ω = ω e z вокруг диаметра.
Имеем для плотности заряда итока3eρ=, j = ρ v, v = ω × r ,4πa 3где e – полный заряд шарика. Очевидно, что магнитный моментµ || ω . Тогда получаемM=∑ρρ2ππaea 2d x r × (ω × r ) =ω ∫ dϕ ∫ dθ sin θ ∫ drr (x + y ) =µ=ω.2c ∫2c 05c00При этом магнитный момент пропорционален собственному моменту импульса L s (в системе отсчета, где центр шарика массы me покоится):3meeµ=L s , L s = ρ m ∫ d 3 x r × v, ρ m =.2me c4π a 36232228.3.
Атом в магнитном полеДля электрона в атоме электростатическое взаимодействие значительно сильнее взаимодействия с магнитными полями, достижимыми в лабораторных условиях. Поэтому квадратичным по напряженности поля B слагаемым в гамильтониане можно пренебречь:p€2€€€€€ = g L L€ .H = H 0 − M ⋅ B, H 0 =+ eΦ, M2 meПусть магнитное поле направлено по оси z : B = Be z . Учтем сферическую симметрию электростатического потенциала, Φ = Φ( r ) ,рассматривая простую модель атома щелочного металла (вспомнимшкольную химию): один валентный электрон движется в некоторомцентральном поле, создаваемом кулоновским взаимодействием сядром и распределенным по объему атома зарядом остальных электронов.
Тогда операторы H€ , L€2 , L€z образуют полный набор коммутирующих операторов, т.е. имеют общую систему собственныхфункций ψ nlm :( H€ − E nlm )ψ nlm = 0 , [L€2 − h 2 l(l + 1)]ψ nlm = 0, ( L€z − hm)ψ nlm = 0 .Здесь собственные значения энергии имеет видehB, m = −l, − l + 1,K, l .E nlm = E n0l − m2me cОни связаны с СЗ E n0l гамильтониана H€0 (в отсутствие магнитногополя, B = 0 ), имеющим, очевидно, те же собственные функции,что и H€ :( H€0 − E n0l )ψ nlm = 0 .Мы видим, что возникла естественная единица измерения магнитного момента, называемая магнетоном Бора:ehµB =,2 me cгде заряд электрона e = − e < 0 .Ввиду сферической симметрии H€0 его СЗ E n0l вырождены скратностью 2l + 1 , равной числу возможных значений проекции момента на ось z .
Включение магнитного поля нарушает сферическуюсимметрию системы и приводит к снятию вырождения по квантовому числу m : уровни энергии E n0l расщепляются на 2l + 1 подуровней.63Замечание. Для чисто кулоновского потенциала в атоме водорода( Φ = −e / r ) имеется (случайное) вырождение уровней энергии по l ,которое объясняется дополнительной, кроме сферической, симметрией этого потенциала (см. ниже п. 10).Итак, теория Шрёдингера предсказывает, что в магнитном полеуровни энергии атома должны расщепляться на нечетное число подуровней, образующих мультиплет. Эксперимент частично подтверждает это предсказание (эффект Зеемана: P. Zeeman, 1896).Расщепление имеет более сложную структуру: оно зависит от типаатома и различно для разных мультиплетов одного и того же атома.В частности, наблюдаются как нечетные, так и четные мультиплеты, как если бы l было полуцелым.Более того, обнаруживается тонкая структура уровней даже вотсутствие внешнего магнитного поля.
Рассмотрим, например,уровень валентного электрона в щелочном атоме натрия, отвечающий n = 2, l = 1 (так называемый 2 p -терм). По теории Шрёдингераимеем трехкратное вырождение уровня энергии. Эксперимент жепоказывает, что этот уровень расщеплен на два близких подуровня(при B = 0 !).Особенно наглядно противоречие теории и экспериментапроявилось в опытах Штерна и Герлаха (O.
Stern, W. Gerlach, 1922).Они пропускали узкий пучок атомов водорода, находящихся в основном состоянии ( n = 1, l = 0 ), через область неоднородного магнитного поля и обнаружили, что пучок расщепляется на два пучка.Результаты опытов можно объяснить, предполагая, что атом водорода в основном состоянии обладает некоторым магнитным моментом.Тогда гамильтониан нейтрального атома, рассматриваемого какединая частица с нулевым электрическим зарядом и взаимодействующего с магнитным полем, записывается в виде (ср. выше):p€2€ ⋅B,€H=−M2m Hгде B = B(r ) – макроскопически неоднородное магнитное поле. Наоснове этого гамильтониана можно показать, что если z - компонента поля Bz значительно больше компонент B x и B y , то на атом, влетающий в область поля перпендикулярно оси z , начинает действовать средняя сила∂BF = M z z ez .∂zЭксперимент показал, что проекция магнитного момента атома восновном состоянии на заданное направление может приниматьтолько два значения:64M z = ±µB ,где µ B – введенный выше магнетон Бора.
Учтем, что в основномсостоянии орбитальный момент электрона равен нулю, а масса ядраатома водорода (протона) значительно больше массы электрона.Тогда естественно предположить, что электрон обладает собственным магнитным моментом µ , величина которого равна µ B (поопределению это максимальное значение проекции µ z ). При этоммагнитный момент электрона пропорционален его собственномумоменту импульса (спину) S :µ = gSS ,где коэффициент пропорциональности g S – спиновое гиромагнитноеотношение.Результаты эксперимента можно интерпретировать так:heM z = µ z = ±µ B = g S S z , S z = m , g S == 2g L ,me c2где учтено, что g S < 0 ( e < 0 ).Заметим, что гипотезу о существовании спина электронавыдвинули Уленбек и Гаудсмит (G.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
