Fizika_Lect_Borisov_5_2000 (811246), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Они определяют интенсивностисоответствующих спектральных линий, т.е. мощность излученияWn′n на частоте ω n′n . Заметим, что величина τ n′n = 1 / wn′n имеет смыслсреднего времени жизни электрона на уровне E n относительно перехода n → n ′ , или временного интервала, в течение которого испускается фотон с энергией hω n′n . ПоэтомуWn′n = hω n′n wn′n .Согласно квантовой электродинамике в главном (дипольном) приближении (малым параметром является отношение размера атома кдлине волны испускаемого фотона) вероятность перехода выражается через матричные элементы rn′n оператора координаты электрона:4ω n3′n2rn′n .wn′n =33hcЗдесь матричный элемент представляет собой интеграл, содержащийквадратичные комбинации волновых функций:rn′n = (ψ n′ , rψ n ) = ∫ d 3 xψ n∗′ rψ n .Для атома водорода индекс состояния n обозначает набор трехквантовых чисел (см.
выше): n ≡ (n, l, m ) .Для некоторых переходов матричный элемент, а вместе с ним иинтенсивность соответствующей спектральной линии, могут обращаться в нуль. Условия, при которых rn′n ≠ 0 , называются правиламиотбора. Можно показать, что для атома водорода (и водородоподобных атомов) они имеют вид:∆l = l ′ − l = ±1, ∆m = m ′ − m = 0, ± 1 ,причем ∆n = n′ − n произвольно (1, 2,K ).
Правила отбора выражаютзакон сохранения момента импульса при испускании фотона (спинего равен h ) электроном.Рассмотрим основное состояние атома водорода ψ 100 (r ) :n = 1, l = 0, m = 0 . Угловая часть волновой функции Y00 = 1 / 4π .74Для радиальной части R10 = e − ρ v10 имеем nr = n − l − 1 = 0 , т.е. v10 –полином нулевой степени. Учитывая связь ρ = κ 1 r , κ 1 = 1 / a B , получаем полную функцию:ψ 100 (r ) = Ce − r / aB .Нормируем ее:C2∞∫ dΩ ∫ dr r02 − 2 r / aBe∞= 4π C (a B / 2 ) ∫ dx x 2 e − x = 1 .230Итак, нормированная волновая функция основного состояния имеетвид:ψ 100 (r ) = (π a B3 )−1 / 2e − r / aB .Плотность вероятности обнаружить электрон на расстоянии r отядра равна2w(r ) = ∫ dΩ r 2 ψ = 4a B−3 r 2 e −2 r / aB .Максимум вероятности достигается на расстоянии r = rm , определяемом из условияdw= 0.drПолучаем в результатеrm = a B .Следовательно, радиус первой боровской орбиты – расстояние отядра, на котором вероятность обнаружить электрон максимальна.Поскольку при r >> a B плотность w(r ) экспоненциально мала, томожно сказать, что эффективный размер атома водорода порядкаa B ~ 10 −8 см.Мы видим, что в основном состоянии распределение по координатам сферически симметрично.
Это не так в возбужденных состояниях при l ≠ 0 :w(θ , ϕ ) ~ Ylm2~ (Plm (cos θ )) .2Замечание. Угловое распределение вероятности универсально,т.е. одинаково для всех сферически-симметричных потенциалов (см.явный вид некоторых сферических функций Ylm в п. 7). Что же касается вырождения уровней энергии по орбитальному числу l , то онохарактерно только для двух типов потенциалов U (r ) : кулоновского( U ~ 1 / r ) и потенциала трехмерного осциллятора ( U ~ r 2 ). В.А. Фок(1935) показал, что «случайное» вырождение по l в кулоновскомполе объясняется наличием более широкой, чем SO(3) , группы симметрии SO(4) .
Это приводит к дополнительному интегралу движения75()€ = r + 1 L€ × p€ − p€ × L€ ,Ar 2mα€ , L€2 ] ≠ 0 .причем [ A€ – аналог известного в классической механикеНаблюдаемая Aвектора Рунге–Ленца, или вектора эксцентриситета: он направлен отфокуса эллиптической орбиты по большой оси к наиболее удаленной точке траектории, а его модуль равен эксцентриситету эллипса.10.2. Учет движения ядраУчтем теперь конечность массы M ядра атома. Тогда получаемгамильтониан системы двух частиц – электрона и ядра:p€12p€22€H=++ U ( r1 − r2 ) .2 me 2 MВведем новые координаты – относительные и центра масс:m r + Mr2r = r1 − r2 , R = e 1.me + MСоответствующие операторы импульсов имеют вид:p€ = −ih∇ r , P€ = -ih∇ R .С учетом соотношения∂∂r∂R=⋅ ∇r +⋅ ∇R∂ xk ∂ xk∂ xkполучим гамильтониан в новых переменных:p€2P€ 2H€ =++ U (r ) .2µ 2M 0ЗдесьmM⎛ m ⎞≅ m e ⎜1 − e ⎟µ= eme + MM⎠⎝– приведенная масса,M 0 = me + M– полная масса атома.В силу [ H€, P€] = 0собственная функция гамильтониана Ψ представляется в виде произведения функции, отвечающей движениюцентра масс с заданным импульсом P , и волновой функции относительного движения ψ :⎛i⎞Ψ (r, R ) = exp⎜ P ⋅ R ⎟ψ (r ) .⎝h⎠В системе центра масс ( P = 0 ) для ψ получаем уравнение76⎡ p€2⎤()+Ur⎢ 2µ⎥ψ (r ) = Eψ (r ) .⎣⎦В результате мы пришли к уже исследованной задаче: движение частицы массы µ в центральном поле U (r ) (в нашем случае – неподвижного кулоновского центра U (r ) = −α / r ).
Таким образом, как и вклассической механике, задача двух тел сводится к задаче одноготела.Спектр энергии определяется известной формулой с заменой таммассы электрона me на приведенную массу µ , т.е. следующей заменой постоянной Ридберга, отвечающей бесконечной массе ядра:me e 4µ e4⎛ m ⎞R ≡ R∞ =R→=≅ R∞ ⎜1 − e ⎟ .M332h2h⎝ M⎠Уточненный спектр излучения водородоподобного атома принимаетвид:1 ⎞⎛ m ⎞⎛ 1ω n′n = Z 2 R∞ ⎜1 − e ⎟⎜ 2 − 2 ⎟ .n ⎠⎝ M ⎠⎝ n′Учет движения ядра позволил объяснить некоторые эффекты.Рассмотрим серии Бальмера ( n ′ = 2 ) обычного водорода H =11 H = (p )и его изотопов дейтерия D= 21 H = (pn ) и трития T = 31 H = (pnn ) , где вскобках указан протон-нейтронный состав ядер:1 ⎞⎛ 1ω 2(in) = R∞ (1 − δ i )⎜ 2 − 2 ⎟ , i = H, D, T;n ⎠⎝2111δH =, δD =, δT =.184036805520Мы видим, что поправки к спектру на конечность массы ядра δ iразличны для разных изотопов.
Следовательно, изотопы могут бытьобнаружены спектроскопическими методами, так как их соответствующие спектральные линии немного сдвинуты относительно другдруга. Это и было сделано фактически. Оказалось, что в естественной смеси изотопов, природной воде, относительная концентрацияизотопов водорода такова: D/H ≈ 1 / 6800 , T/H ≈ 10 −18 .Другое важное приложение теории – объяснение обнаруженной вспектре излучения Солнца спектральной серии Пикеринга. Она приближенно описывается формулой, похожей на формулу Бальмерадля атома водорода:⎛ 11 ⎞ω 2(Hn1) = RH ⎜⎜ 2 − 2 ⎟⎟ ,n1 ⎠⎝277но содержит «лишние» линии, так как квантовое число n1 принимает не только целые, но и полуцелые значения:n1 = 5 / 2, 3, 7 / 2, 4, 9 / 2,K ,которые запрещены для водорода.
Правильная интерпретация этойсерии была дана, когда более точные спектроскопические измеренияпоказали, что линии несколько сдвинуты по сравнению с водородными линиями так, что в указанной формуле следует сделать замену1 ⎞1 ⎞⎛⎛RH = R∞ ⎜1 −⎟ → RHe = R∞ ⎜1 −⎟.⎝ 1840 ⎠⎝ 7360 ⎠Полагая там же n1 = n / 2 , получим формулу, не содержащую полуцелых квантовых чисел:1 ⎞⎛ 1)ω 4(He= 2 2 RHe ⎜ 2 − 2 ⎟ , n = 5, 6, 7,K .nn ⎠⎝4Она описывает спектральную серию однократно ионизованногоатома гелия 42 He + = (ppnn ) , т.е. водородоподобного иона с Z = 2 .11.
ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ЧАСТИЦЫ11.1. Системы многих частицПространство состояний одной бесспиновой частицыH = L2 (R 3 ), частицы со спином 1 / 2 (в единицах h ) –H = L2 (R 3 ) ⊗ C 2 . Для системы N частиц имеем соответственноH = L2 (R 3 N ) = L2 (R 3 ) ⊗ L ⊗ L2 (R 3 )иH = L2 (R 3 N ) ⊗ C 2 N = (L2 (R 3 ) ⊗ C 2 ) ⊗ L ⊗ (L2 (R 3 ) ⊗ C 2 ).Эксперимент показывает, что эта структура пространствасостояний H справедлива только для систем различных частиц.Волновая функция системыψ = ψ (ξ1 , ξ 2 ,K , ξ N ) ,гдеξ n = (rn , ζ n )– набор пространственных координат rn и дискретной спиновойпеременной ζ n n -ой частицы.Скалярное произведение в этом пространстве(ψ ,ϕ ) = ∫ dξ1 L dξ N ψ ∗ (ξ )ϕ (ξ ), ∫ dξ n ≡ ∫ d 3 xn ∑ .ζn78В квантовой механике одинаковые частицы принципиально неразличимы. Постулаты теории, сформулированные в п.
4, дополняются новым – принципом тождественности (неразличимости одинаковых частиц).Принцип тождественности: пространством состояний системыN одинаковых (тождественных) частиц является пространство H Sсимметричных функций или пространство H A антисимметричныхфункций.Определим соответствующие функции ψ S и ψ A . Для этого рассмотрим группу перестановок N элементов PN . Ее элементы – перестановки⎛ 1, 2, K , N ⎞⎟⎟ , k i = 1, N ; k i ≠ k j ,P = ⎜⎜⎝ k1 , k 2 , K , k N ⎠причем единичный элемент – тождественная перестановка⎛1, 2, K, N ⎞⎟⎟ ,I = ⎜⎜1,2,,NK⎝⎠а произведение перестановок P2P1 – результат двух последовательных перестановок P1 и P2 .
В пространстве волновых функций Hперестановке P отвечает оператор P€ , действующий так:P€ψ (ξ , ξ ,K , ξ ) = ψ (ξ , ξ ,K , ξ ).12Nk1k2kNОчевидно, что P€ – унитарный оператор и отображение P → P€ естьпредставление группы PN в пространстве H .В H выделяются два инвариантных относительно операторов P€подпространства симметричных и антисимметричных функций:H S = {ψ S }, H A = {ψ A } .Эти функции – собственные функции операторов перестановки:P€ψ S (ξ1 , ξ 2 ,K, ξ N ) = ψ S (ξ1 , ξ 2 ,K, ξ N ),P€ψ (ξ , ξ ,K, ξ ) = δ ψ (ξ , ξ ,K, ξ ).A12NPA12NЗдесь введена четность перестановки δ P = (− 1) = +1(− 1) для четного (нечетного) числа nP последовательных перестановок двух частиц, к которым сводится данная перестановка P .Очевидно, что H A ⊥H S .
В случае N = 2 имеемH = H A ⊕H S .Действительно,11ψ (ξ1 , ξ 2 ) = [ψ (ξ1 , ξ 2 ) + ψ (ξ 2 , ξ1 )] + [ψ (ξ1 , ξ 2 ) − ψ (ξ 2 , ξ1 )] = ψ S + ψ A .22nP79При N ≥ 3 имеются и другие, более сложные, чем H A и H S , инвариантные подпространства, но они не имеют физических приложений.Частицы, описываемые функциями ψ S (ψ A ), называются бозонами (фермионами) и подчиняются статистике Бозе–Эйнштейна (Ферми–Дирака).В квантовой механике постулируется следующая связь спина истатистики: частицы с целым спином ( s = 0, 1, 2,K ) являются бозонами, частицы с полуцелым спином ( s = 1 / 2, 3 / 2, 5 / 2,K ) – фермионами.Замечание.
В квантовой теории поля указанная связь спина и статистики представляет собой теорему, доказанную В. Паули(W. Pauli, 1940) на основе принципа причинности и лоренц-инвариантности.Статистика составных тождественных частиц (например, атомных ядер) определяется четностью числа входящих в их состав фермионов. Например, дейтрон ( ядро атома дейтерия D= 21 H = (pn ) ), состоящее из двух частиц со спином 1 / 2 , протона и нейтрона, является бозоном.Гамильтониан системы N тождественных попарно взаимодействующих частиц массы m во внешнем поле V (r ) имеет вид:Nh2 2 N€H = −∑ ∇ n + ∑ V (rn ) + ∑ U (rn − rn′ ) ,n =1 2 mn =1n < n′где U – потенциал парного взаимодействия.
В силу одинаковостимасс частиц и независимости потенциалов V и U от номеров частицоператор перестановки P€ – интеграл движения:[ H€, P€] = 0 .Следовательно, в процессе эволюции системы согласно уравнениюШрёдингера∂ψih= H€ψ∂tчетность волновой функции не изменяется. Иначе говоря, связь спина и статистики не разрушается динамикой, как и должно быть внепротиворечивой теории.Рассмотрим важный частный случай системы невзаимодействующих частиц ( U = 0 ) во внешнем поле. Гамильтониан такой системы представляется в виде суммы гамильтонианов отдельных частиц:Nh2 2H€ = ∑ H€n , H€n = −∇ n + V (rn ) .2mn =180()Решение стационарного уравнения Шрёдингера, H€ − E ψ = 0 , можно искать в виде произведения одночастичных волновых функций:Nψ Π (ξ 1 ,K, ξ N ) = ∏ψ n (ξ n ),n =1()NH€n − ε n ψ n = 0, E = ∑ ε n .n =1Функция ψ Π не удовлетворяет принципу тождественности, хотя иявляется решением УШ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
