Fizika_Lect_Borisov_5_2000 (811246)
Текст из файла
Московский государственный университетим. М. В. ЛомоносоваФизический факультетА.В. БорисовОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИУчебное пособие по курсу «Физика»для студентов отделения математикимеханико-математического факультетаИздательство физического факультета МГУМосква 1999УДК 530.145Борисов А. В. Основы квантовой механики. Учебное пособие.М.: Изд-во физического факультета МГУ, 1999. – 88 с.Изложены физические предпосылки создания квантовой механики.
Сформулированы основные постулаты теории. Рассмотреныфундаментальные задачи квантовой механики: гармонический осциллятор, момент импульса, атом водорода, системы тождественныхчастиц.Пособие предназначено для студентов отделения математики механико-математического факультета, изучающих годовой курс «Физика» (основы классической теории поля, квантовой механики и статистической физики).Рецензенты:профессор В.Ч. Жуковский,профессор В.Г.
Багров© Борисов А.В., 19992СОДЕРЖАНИЕПредисловие…………………………………………………………51. Уравнение Шрёдингера……………………………………………71.1. Физические предпосылки создания квантовой механики…...710. Атомные спектры излучения………………………………………..…720. Равновесие электромагнитного излучения и вещества…….………...730. Фотоэффект……………………………………………………………...840. Эффект Комптона…………………………………………………….…950. Волновые свойства электронов……………………………………….101.2.
Волновое уравнение Шрёдингера…………………………….132. Волновая функция………………………………………………...162.1. Волновой пакет и его эволюция………………………………162.2. Вероятностная интерпретация волновой функции…………..183. Наблюдаемые и операторы………………………………………203.1. Средние значения координаты и импульса. Наблюдаемые…203.2. Принцип суперпозиции………………………………………...223.3.
Условия одновременной измеримости наблюдаемых……….234. Соотношение неопределенностей Гейзенберга………………...264.1. Соотношение неопределенностей……………………………..264.2. Постулаты квантовой механики………….……………………295. Изменение наблюдаемых со временем………………………….305.1. Эволюция средних значений наблюдаемых…………………305.2. Стационарные состояния……………………………………...315.3. Теоремы Эренфеста…………………………………………....335.4. Интегралы движения и симметрия в квантовой механике…345.5.
Соотношение неопределенностей «время – энергия»………366. Гармонический осциллятор……………………………………...376.1. Осциллятор в классической механике………………………..376.2. Стационарные состояния осциллятора……………………….386.3. Алгебра гармонического осциллятора.Метод факторизации…………………………………………..416.4. Когерентные состояния гармонического осциллятора……...4437.
Оператор момента импульса…………………………………..477.1. Коммутационные соотношения……………………………..477.2. Спектр операторов J€2 и J€z ………………………………….487.3. Орбитальный момент………………………………………...518. Спин……………………………………………………………….578.1. Оператор спина……………………………………………….578.2. Уравнение Шрёдингера для частицы во внешнемэлектромагнитном поле. Магнитный момент…….………...618.3. Атом в магнитном поле………………………………………638.4. Уравнение Паули……………………………………………..669. Движение в центрально-симметричном поле………………..6710.
Атом водорода…………………………………………………….7010.1. Электрон в поле кулоновского центра……………………..7010.2. Учет движения ядра…………………………………………7611. Тождественные частицы………………………………………...7811.1. Системы многих частиц……………………………………..7811.2. Принцип Паули………………………………………………8111.3. Система двух электронов……………………………………8211.4.
Атом гелия……………………………………………………84Задачи………………………………………………………………864ПРЕДИСЛОВИЕУчебное пособие представляет собой расширенный конспектлекций по курсу «Физика», читаемому автором для студентов отделения математики механико-математического факультета Московского университета. Оно охватывает лишь часть курса, посвященную основам квантовой механики и читаемую в 9-м семестре (курсзаканчивается в том же семестре рассмотрением основ равновеснойстатистической механики). К этому времени студенты уже прослушали необходимые для построения математического аппарата квантовой механики курсы уравнений в частных производных, функционального анализа, теории групп, но не изучали общую физику.
Учитывая это, мы уделяем главное внимание физическому содержаниютеории, не останавливаясь на математических «тонкостях» и проблемах, хорошо изложенных в специальной литературе. Постулатыквантовой механики формулируются явно, при этом подчеркиваются их экспериментальные основания. Ввиду очень ограниченногообъема курса мы рассматриваем лишь несколько фундаментальныхточно решаемых задач квантовой механики: гармонический осциллятор, момент импульса (орбитальный и спиновый), атом водорода.Кратко излагаются принципы теории систем тождественных частиц.Литература по квантовой механике весьма обширна. Мы укажемлишь несколько книг (см. список ниже). Книги [1, 2] предназначеныдля студентов-физиков, но они полезны и для математиков, желающих ознакомиться с физическими основаниями, приближеннымиметодами расчетов и многочисленными приложениями квантовоймеханики.
На студентов-математиков рассчитаны небольшой курслекций [3] и фундаментальная монография [4], посвященнаястрогому изложению математического аппарата квантовоймеханики. При решении задач на семинарских занятиях можноиспользовать двухтомник [5]. В качестве «вечернего чтения» рекомендуется блестящая книга одного из создателей квантовой механики [6], в которой изложена история ее развития и дан обзор теории(без использования формул!).Рекомендуемая литература1.
Соколов А. А., Тернов И. М., Жуковский В. Ч. Квантоваямеханика. М.: Наука, 1979.2. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика.М.: Наука, 1989.53. Фаддеев Л. Д., Якубовский О. А. Лекции по квантовой механикедля студентов-математиков. Л.: Изд-во ЛГУ, 1980.4. Березин Ф. А., Шубин М.
А. Уравнение Шрёдингера.М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983.5. Флюгге З. Задачи по квантовой механике. Т. 1, 2. М.: Мир, 1974.6. де Бройль Л. Революция в физике. М.: Атомиздат, 1965.61. УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА1.1. Физические предпосылки создания квантовой механики10. Атомные спектры излученияСогласно экспериментальным данным, полученным к концу XIXвека, частоты спектральных линий данного атомаω n′n = T (n ) − T (n′ ) ,где T (n ) – функция целого числа (спектральный терм), n = 1, 2, 3,K .Это соотношение выражает комбинационный принцип Ритца(W.
Ritz). В частности, для спектра излучения атома водорода Бальмер (J. Balmer) в 1885 г. эмпирически нашел простую формулу1⎞⎛ 1ω n′n = R⎜ 2 − 2 ⎟ ,n ⎠⎝ n′где R – постоянная Ридберга (J. Rydberg).В классической теории для периодического движения заряженных частиц частоты излучения кратны основной частоте:2πω n = nω 0 , ω 0 =,ττ – период. Таким образом, эта теория не может объяснитькомбинационный принцип.20. Равновесие электромагнитного излучения и веществаРассмотрим замкнутый сосуд, нагретый до температуры T .Внутри него находится равновесное электромагнитное излучение:излучаемая и поглощаемая атомами вещества стенок сосуда вединицу времени энергии равны. Спектральная плотность энергииравновесного излучения – универсальная функция частоты итемпературы ρ (ω , T ) (не зависит от размеров и формы сосуда ивещества стенок).
Из классической теории следует закон Рэлея(J. Rayleigh):ρ ~ ω 2T ,т.е. полная плотность (энергия в единице объема)∞∫ dωρ (ω ,T ) = ∞ ,0что означает невозможность равновесия в противоречии с экспериментом.7В 1900 г. Планк (M. Planck), анализируя механизм установленияравновесия между веществом и излучением, выдвинул фундаментальную гипотезу квантования: вещество испускает энергию излучения конечными порциями (квантами), пропорциональными частоте излучения. Коэффициент пропорциональности – универсальнаяпостоянная h , имеющая размерность механического действия. Впростейшей модели вещества в виде атомных осцилляторов это означает, что энергия E осциллятора частоты ω квантуется по законуEn = nhω , n = 0, 1, 2 K .Здесь введена постоянная Планка h = h / 2π (сам Планк использовалвместо циклической частоты ω линейную частоту ν = ω / 2π , так чтоhν = hω ).Используя гипотезу квантования (противоречащую классическойфизике!), Планку удалось получить следующую формулу для спектральной плотности энергии равновесного излучения:hω 3,ρ (ω , T ) = 2 3 hω / kBTπ c (e− 1)где скорость света c и постоянная Больцмана k B (L.
Boltzmann)известны из классической физики. Формула Планка прекрасносогласуется с экспериментом, позволяющим определить постояннуюПланка (приводим современное значение):h = 1,05457266(63) ⋅ 10 −27 эрг ⋅ с .30. ФотоэффектПланк приписал квантовые свойства атомным осцилляторам, а неизлучению. В 1905 г. А. Эйнштейн (A.
Einstein), развивая гипотезуПланка, сделал второй шаг: само электромагнитное излучение состоит из отдельных квантов – частиц, названных позже фотонами.Энергия фотона, отвечающего излучению частоты ω , равнаε = hω .Гипотеза Эйнштейна возникла при анализе фотоэффекта, открытогоГерцем в 1887 г. (H. Hertz) и подробно исследованного А.Г. Столетовым в 1888–90 г. Эффект состоит в испускании веществом электронов под действием падающего на вещество излучения достаточновысокой частоты. Объяснение законов фотоэффекта следует из выведенного Эйнштейном уравнения:mv 2hω =+ A,2т.е. кинетическая энергия электрона – линейная функция частоты( A – работа выхода, характерная для данного вещества) и не зависит8от интенсивности излучения, что противоречит классической теории, но подтверждается экспериментом.40.
Эффект КомптонаВ 1922 г. Комптон (A. Compton) обнаружил увеличение длиныволны λ рентгеновского излучения вследствие его рассеяния электронами вещества. Согласно же классической теории длины волнпадающего и рассеянного излучения должны совпадать. Теория эффекта была построена Комптоном и независимо Дебаем (P. Debye)на основе фотонной гипотезы Эйнштейна. Взаимодействие излучения с электроном сводится к упругому столкновению фотона с покоящимся электроном. При этом импульс фотона определяетсяв видеp = hk .Здесь волновой векторk=ωn,cn – единичный вектор в направлении распространения монохроматической волны, соответствующей фотону. Это определение – следствие того, что величины⎛ω ⎞⎛E ⎞k µ = ⎜ ,k ⎟ и pµ = ⎜ ,p⎟⎝c ⎠⎝c ⎠образуют 4-векторы относительно преобразований Лоренца (см.первую часть курса физики).Запишем законы сохранения энергии и импульса для указанногопроцесса столкновения:hω + mc 2 = hω ′ + E ′,hk = hk ′ + p′,где E ′ = m 2 c 4 + c 2 p′ 2 – энергия электрона после столкновения.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
