Fizika_Lect_Borisov_5_2000 (811246), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Тогда получимJ€+ψ jm = [ j ( j + 1) − m(m + 1)]1 / 2ψ j ,m +1 .Отсюда с учетом уже полученного соотношенияJ€− J€+ψ jm = [ j ( j + 1) − m(m + 1)]ψ jmнаходим:J€−ψ j ,m+1 = [ j ( j + 1) − m(m + 1)]1 / 2ψ jm .50Подведем итоги. Исходя из существования одного вектора ψ jm ,мы построили всего 2 j + 1 ортонормированных векторов:ψ j , − j , ψ j , − j +1 , K,ψ jm , K,ψ j , j −1 , ψ jj ; (ψ jm′ ,ψ jm ) = δ m′m .Ониобразуютбазис(2 j + 1) -мерногопространстваH( j),инвариантного относительно действия операторов момента J€k .Соберем вместе основные полученные соотношения:J€2ψ jm = j ( j + 1)ψ jm , j = 0, 1 / 2, 1, 3 / 2, 2K;J€zψ jm = mψ jm , m = − j , − j + 1, K, j;J€±ψ jm = [ j ( j + 1) − m(m ± 1)]1 / 2ψ j ,m ±1 ;J€+ψ jj = J€−ψ j , − j = 0.Исследование свойств момента было основано только на коммутационных соотношениях и эрмитовости операторов момента, атакже на неотрицательности нормы векторов состояний.
Далее мырассмотрим конкретные представления алгебры момента.7.3. Орбитальный моментОператор орбитального момента частицы определен выше:L€ = r€× p€ ≡ h€l .В координатном представлении получаем:€l = −ir × ∇;⎛ ∂⎛ ∂⎛ ∂∂ ⎞ €∂ ⎞∂ ⎞⎟⎟, l y = −i⎜⎜ zl€x = −i⎜⎜ y−z− x ⎟⎟, l€z = −i⎜⎜ x− y ⎟⎟ .∂y⎠∂z⎠∂x⎠⎝ ∂z⎝ ∂x⎝ ∂yНайдем выражения для компонент момента в сферических координатах, связанных с декартовыми координатами соотношениями:x = r sin θ cos ϕ , y = r sin θ sin ϕ , z = r cosθ ;0 ≤ r < ∞, 0 ≤ θ ≤ π , 0 ≤ ϕ < 2π .Вычисляем производные волновой функции ψ ( x, y , z ) как сложнойфункции сферических координат:⎛ ∂ψ⎞ ∂ψ∂ψ∂ψ= r cosθ ⎜⎜cos ϕ +sin ϕ ⎟⎟ −r sin θ =∂θ∂y⎝ ∂x⎠ ∂z⎛ ∂ψ x ∂ψ y ⎞∂ψ⎟⎟ − ρ= z ⎜⎜+;ρρ∂x∂y∂z⎝⎠⎛ ∂ψ⎞∂ψ∂ψ∂ψ∂ψ= r sin θ ⎜⎜ −sin ϕ +cos ϕ ⎟⎟ = − y+x= il€zψ ,∂ϕ∂y∂x∂y⎝ ∂x⎠51где ρ = r sin θ = x 2 + y 2 .Умножим первое равенство на x / ρ (на − y / ρ ) , а второе на− yz / ρ 2 (на − x z / ρ 2 ) и сложим почленно.
Получим соответственно:∂ψ∂ψ x ∂ψ yz ∂ψz−x=− 2= il€yψ ,∂x∂ z ρ ∂θ ρ ∂ϕ∂ψ∂ψy ∂ψ xz ∂ψy−z=−− 2= il€xψ .∂z∂yρ ∂θ ρ ∂ϕВ результате находим искомые выражения:⎛∂ ⎞∂⎟⎟ ,+ cos ϕ ctgθl€x = i⎜⎜ sin ϕθϕ∂∂⎠⎝⎛∂∂ ⎞⎟⎟ ,+ sin ϕ ctgθl€y = i⎜⎜ − cos ϕθϕ∂∂⎠⎝∂.l€z = −i∂ϕКроме того,⎛ ∂∂ ⎞⎟.l€± = e ±iϕ ⎜⎜ ±+ ictgθ∂ϕ ⎟⎠⎝ ∂θИспользуя известное выражение для квадрата момента (см. выше)€l 2 = l€− l€+ + l€z l€z + 1 ,нетрудно отсюда получить для него представление в сферическихкоординатах:∂2 ⎤€l 2 = − ⎡ 1 ∂ ⎛⎜ sin θ ∂ ⎞⎟ + 1≡ −Λ ,⎢ sin θ ∂θ∂θ ⎠ sin 2 θ ∂ϕ 2 ⎥⎦⎝⎣где Λ – угловая часть оператора Лапласа.Найдем общие собственные функции операторов €l 2 , l€z :€l 2ψ = l(l + 1)ψ , l€ψ = mψ .(lmlm)zlmlmРешаем второе уравнение:⎛⎞∂⎜⎜ − i− m ⎟⎟ψ lm = 0, ψ lm (θ ,ϕ ) = f lm (θ )e imϕ .⎝ ∂ϕ⎠Потребуем однозначности функции:ψ (θ , ϕ ) = ψ (θ , ϕ + 2π ) .Тогда exp(2πmi ) = 1 , и собственные значенияm = 0, ± 1, ± 2, K .52Замечание.
Требование однозначности волновой функциислишком жесткое (достаточно однозначности модуля функции), иего можно снять (см. ниже).Из общей теории (см. выше) известно, что m = −l, − l + 1, K, l .Поэтому для орбитального момента имеем только целые значенияl = 0, 1, 2, K .Рассмотрим собственную функцию при m = l :ψ ll = f l (θ )e ilϕ .Она удовлетворяет уравнениюl€+ψ ll = 0 ,или⎛ ∂∂ ⎞⎟⎟ f l (θ )e ilϕ = 0 .+ ictgθe iϕ ⎜⎜∂ϕ ⎠⎝ ∂θДля функции f l после замены переменной x = sin θ получаем уравнение, которое легко решается:⎛ d l⎞l⎜ − ⎟ f l = 0, f l = cx .⎝ dx x ⎠Итак, для каждого целого l ≥ 0 и m = l существует единственнаясобственная функцияψ ll (θ ,ϕ ) = cl sin l θ e ilϕ .Следовательно, общий спектр операторов €l 2 , l€ в целом невырожzден.Нормируем ψ lm на единицу и фиксируем фазу.
Тогда получимортонормированную систему функций ψ lm ≡ Ylm (θ , ϕ ) :(Ym′l′2πml,Yπ) = ∫ dϕ ∫ dθ sin θ Y (θ ,ϕ )Y (θ ,ϕ ) = δ0m′ ∗l′mlm′mδ l′l .0Условие полноты системы:∞l∑ ∑ Y (θ , ϕ )Y (θ ′, ϕ ′) = δ (cosθ − cosθ ′)δ (ϕ − ϕ ′).l =0 m= − lm∗lmlДалее требуем выполнения условий (см. выше):1/ 2l€± Ylm = [l(l + 1) − m(m ± 1)] Ylm ±1 .Тем самым определены относительные фазы 2l + 1 функций,отвечающих заданному l . Фиксируем фазу одной из функций.
Мывыберем Yl0 (θ , ϕ ) так, чтобы Yl0 (0,0 ) было действительнымположительным числом.Произвольную функцию Ylm получаем из Yl± l многократнымдействием операторов l€ :±53⎡ (l + m )! ⎤Y =⎢⎥⎣ (2l )!(l − m )!⎦ml1/ 2⎡ (l − m )! ⎤ €l+ m −ll€−l −m Yll = ⎢⎥ l+ Yl .()()m+ll2!!⎣⎦1/ 2Далее используем явный вид l€± :cosθ ⎞⎛ dl€± e imϕ f (θ ) = e i (m±1)ϕ ⎜ ±−m⎟ f (θ ) =sin θ ⎠⎝ dθ= m e i (m±1)ϕ sin 1± m θdsin m m θ f (θ ) .d cosθОтсюдаnl€±n e imϕ f (θ ) = (m 1) e i ( m± n )ϕ sin n± m θdn(sin m m θ f (θ )).nd (cosθ )Имеем функцию (см. выше)Yll (θ , ϕ ) = cl sin l θ e ilϕ .Нормируя ее условием Yll = 1 , получимТеперь находим1 ⎡ (2l + 1)!⎤cl = l ⎢2 l! ⎣ 4π ⎥⎦1/ 2.⎡ (l + m )! ⎤d l−mimϕ−mY = cl ⎢e sin θsin 2 l θ .⎥l−md (cosθ )⎣ (2l )!(l − m )!⎦При m = −l отсюда следуетlYl−l = (− 1) cl e −ilϕ sin l θ .Тогда находим эквивалентное выражение для собственных функций:1/ 2⎡ (l − m )! ⎤d l+mmmimϕmYl = (− 1) cl ⎢e sin θsin 2 l θ .⎥l+md (cosθ )⎣ (2l )!(l + m )!⎦В частности, при m = 0 получаем:cldl(1 − cos 2 θ )l .Yl0 =l(2l )! d (cosθ )Введем полиномы Лежандра1 dl 2(x − 1)l , Pl (1) = 1.Pl ( x ) = ll2 l! dxОтсюда и из введенного выше условия фиксации фазы функции Yl0находим нормировочный коэффициентlcl = (− 1) cl .Определим функции Лежандра в виде:1/ 2ml54mlP(x ) = (1 − x )2 m/2l+ml1dm2 m/2 d2()()()11Pxx=−x−,l2 l l!dx mdx l + mгде m = 0, 1, 2, K, l .Тогда окончательно получим:(m+ m ) / 2 ⎡ 2l + 1Ylm (θ ,ϕ ) = (− 1)(l − m )!⎤⋅(l + m )!⎥⎦1/ 2Pl (cosθ )e imϕ .⎢⎣ 4πОтсюда находим соотношение между функциями Yl± m :mYl− m (θ , ϕ ) = (− 1) Ylm (θ , ϕ ) .В математической литературе Ylm (θ , ϕ ) называются сферическими функциями.Рассмотрим их преобразование при дискретном преобразованиикоординат – пространственной инверсии P€ , отвечающей переходуот правой системы координат к левой:r → r ′ = −r , или θ → π − θ , ϕ → ϕ + π .Из общего выражения для сферических функций сразу следуетзакон преобразования:lP€Ylm (θ , ϕ ) = Ylm (π − θ , ϕ + π ) = (− 1) Ylm (θ , ϕ ) .Следовательно, Ylm – собственные функции оператора четности P€ ,m∗принадлежащие собственному значению + 1 (−1) при четном (нечетном) l .Общая структура сферических функций такова:mmYlm = произведение функции e imϕ sin θ четности (−1) иполинома по cosθ степени l − m и четности (−1)Приведем несколько частных значений:133Y00 =; Y10 =cosθ , Y1±1 = msin θ e ±iϕ ;4π8π4πl− m.(2l )! ⎤2l + 1l ⎡ 2l + 1Y =Pl (cosθ ); Yll = (− 1) ⎢⋅ 2 l 2 ⎥ sin l θ e ilϕ .4π⎣ 4π 2 (l!) ⎦Замечание.
Сферические функции связаны с гармоническими полиномами степени l по x, y, z соотношением1/ 20lhlm (r ) = r lYlm (θ , ϕ ).При заданном l имеем 2l + 1 линейно независимых полиномов. Какизвестно, гармоническая функция по определению удовлетворяетуравнению Лапласа:∇ 2 hlm = 0 .55В нашем случае это легко проверяется с использованием выраженияоператора Лапласа, которое выводится ниже (см.
п. 9):€l 21 ∂22r− 2 .∇ =r ∂r 2rПример. Пусть l = 1. Тогда получаем три гармонических полинома h1m = rY1m , m = 0, ± 1 :33 x ± iyz, h1±1 = m.4π4π2Сферические функции Ylm реализуют неприводимое (2l + 1)мерное представление группы вращений SO(3) , образуя базис в пространстве функций, заданных на сфере единичного радиуса.Покажем теперь, что целочисленность l следует из более слабоготребования, чем однозначность волновой функции. В общей теориимомента фундаментальную роль играют соотношения (см.
выше)J€±ψ jm ~ ψ j ,m±1 ; J€+ψ jj = 0, J€−ψ j , − j = 0 .Отсюда следуетJ€−2 j +1ψ jj = 0.В рассматриваемом случае орбитального момента получаемl€−2 l +1Yll = 0 .Покажем, что это соотношение не выполняется, если 2l + 1 = 2n –четное целое число. Для этого удобно использовать декартовы координаты, в которых имеем:l€− = l€x − il€y = h −1[ y p€z − z p€y − i ( z p€x − x p€z )] = ( x − iy )∂ z − z (∂ x − i∂ y );h10 =Yll = cl (e iϕ sin θ ) =cl(x + iy )l .lrЗаметим, что для произвольной функции f (r ), r = x 2 + y 2 + z 2 ,имеем l€ f (r ) = 0 . Далее сделаем комплексную замену переменных:lku = x + iy , v = x − iy; l€− = v∂ z − 2 z∂ u .В результате приходим к соотношению(v∂ z − 2 z∂ u )2 n u n−1/ 2 = 0 .Оно должно выполняться тождественно, что невозможно при целом n = l + 1 / 2 .
Следовательно, l – целое число. Более подробноерассмотрение показывает, что для полуцелых l ( = 1 / 2, 3 / 2, K ) операторы момента l€ оказываются неэрмитовыми, т.е. не могут бытьkнаблюдаемыми.8. СПИН568.1. Оператор спинаЭксперимент показывает (см. ниже), что электрон, наряду с орбитальным моментом, имеет собственный момент импульса – спин (отангл. spin), не связанный с его движением в пространстве. Проекцияэтого момента на заданное направление может принимать толькодва значения ± h / 2 .
В общей теории момента (см. п. 7) этому отвечает квантовое число j = 1/ 2 .Таким образом, электрон обладает четырьмя степенями свободы,и его волновая функция ψ = ψ (r ,ζ ) , где дискретная переменная, отвечающая проекции спина на ось z (выбор ее, конечно, условен),ζ = ±1 / 2 . Иначе говоря, состояние частицы описывается упорядоченной парой функций:⎛ ψ (r ) ⎞ ⎛ ψ (r, ζ = +1/2 ) ⎞⎟⎟ .ψ = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ = ⎜⎜()()ψr=−ψr,ζ1/2⎠⎝ 2 ⎠ ⎝Формально это означает, что от пространства квадратично интегрируемых волновых функций H = L2 (R 3 ) мы переходим к прямомупроизведениюH S = L2 (R 3 ) ⊗ C 2 ,где C 2 – двумерное комплексное пространство.Наблюдаемой A€ в H отвечает в H S наблюдаемая A€ ⊗ I€, а S€ вC 2 соответствует I€ ⊗ S€ в H . В пространстве H существуют, коSSнечно, и наблюдаемые более общего вида, например, суммы и произведения указанных.
В дальнейшем единичные операторы I€, какправило, мы будем опускать.Скалярное произведение в H S определяется в виде(ψ , ϕ ) = ∫ d 3 x(ψ 1∗ϕ 1 + ψ 2∗ϕ 2 ).Введем векторный оператор спинаhS€ = σ, σ = (σ 1 , σ 2 , σ 3 ) .2Его компонентыhS€k = σ k2имеют только два собственных значения ± h / 2 и удовлетворяюткоммутационным соотношениям для операторов момента:[ S€k , S€n ] = ihε knl S€l .57Отсюда следует, что безразмерные эрмитовы 2 × 2 -матрицы σ kдолжны удовлетворять условиямσ k2 = I , [σ k , σ n ] ≡ σ k σ n − σ nσ k = 2iε knlσ l ,где I – единичная матрица.Еще одно условие мы получим из требования, чтобы проекция спинана любое направление, задаваемое единичным вектором n ,hS€n = n ⋅ σ ,2также имела только два СЗ, равных ± h / 2 .
Это значит, что(n ⋅ σ )2 = I = nk σ k nlσ l ≡ 1 nk nl (σ k σ l + σ lσ k ) .2В силу произвольности направления n матрицы σ k должны удовлетворять соотношению{σ k , σ n } ≡ σ k σ n + σ nσ k = 2δ kn .Указанные три условия эквиваленты одному:σ k σ n = δ kn I + iε knsσ s ,т.е. σ k2 = I , σ 1σ 2 = −σ 2σ 1 = iσ 3 и цикл. пер.Квадрат спинаS€2 = ∑ S€k2 = h 2 s(s + 1)I , s = 1 / 2 .kЭто и означает, что спин электрона равен h / 2 . Заметим, кстати, чтооператоры S€± = S€x ± iS€y удовлетворяют условиюS€2 = 0 ,±которое следует из антикоммутативности матриц σ k .Стандартный выбор матриц σ k таков:⎛1 0 ⎞⎛0 1⎞⎛0 − i⎞⎟⎟ .⎟⎟ , σ 2 = ⎜⎜⎟⎟ , σ 3 = ⎜⎜σ 1 = ⎜⎜⎝ 0 − 1⎠⎝1 0⎠⎝i 0 ⎠Они называются матрицами Паули (W.
Pauli).Явные выражения для операторов S€k = hσ k / 2 можно получитьиз общих формул для матричных элементов операторов момента(см. п. 7):(J ± )m′m ≡ ψ jm′ , J€± ψ jm = [ j ( j + 1) − m(m ± 1)]1/ 2 δ m′,m±1 ,((J 3 )m′m = mδ m′m .)Положив здесь J€k = S€k / h , j = 1 / 2 , m = ζ = ±1 / 2 , получим ужеизвестные 2 × 2 -матрицы (нумеруя соответствующим образом строки и столбцы).58Произвольная наблюдаемая в C 2 может быть представлена в виде разложения по 4 линейно независимым базисным эрмитовымматрицам I , σ .Общие собственные векторы операторовh3S€2 = h 2 I и S€z = σ 342– диагональных матриц – имеют вид⎛ 0 ⎞⎛ψ ⎞ψ ζ =1 / 2 = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ , ψ ζ = −1 / 2 = ⎜⎜ ⎟⎟ ,⎝0⎠⎝ψ 2 ⎠где ψ 1, 2 – произвольные функции из L2 (R 3 ) . Из разложения произвольного вектора состояния в H S ,⎛ ψ ⎞ ⎛ψ ⎞ ⎛ 0 ⎞ψ ≡ ⎜⎜ 1 ⎟⎟ = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ ,⎝ψ 2 ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝ψ 2 ⎠следует, что вероятность обнаружить при измерении в состоянии ψпроекцию спина S z = ± h / 2w(ζ = ±1 / 2 ) = (ψ ζ = ±1 / 2 ,ψ ) = ∫ d 3 x ψ 1, 2 .222В пространстве C волновая функция преобразуется по законуψ ′ = Uψ , или ψ k′ = U knψ n .Сохранение скалярного произведения,ψ ′ +ϕ ′ = ψ +U +Uϕ ,приводит к унитарности матриц преобразования:U +U = I .Следовательно,2det U + det U = det U = 1.Поэтому произвольную унитарную матрицу можно представить ввидеU = e iα V ,где V – унитарная матрица с det V = 1 , α – произвольное действительное число.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
