Fizika_Lect_Borisov_5_2000 (811246), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Uhlenbeck, S. Goudsmit, 1925),предложившие модель электрона в виде заряженного шарика, вращающегося вокруг своей оси. Хотя это полуклассическая модельобъясняет пропорциональность магнитного и механического моментов (см. выше выражение для магнитного момента вращающегосяшарика), но дает неправильное значение спинового гиромагнитногоотношения, равное орбитальному, а из эксперимента следует в двараза большее значение. Кроме того, эта модель противоречит теорииотносительности. Действительно, приравняем магнитный моментшарика магнетону Бора и найдем скорость точки на экваторе:ea 2eh5 D, v =ω a = c e ,ω=5c2me c2 aгде D e = h / me c = 3,86 ⋅ 10 −11 см - комптоновская длина волны электрона (см. п.
1). Следовательно, при a < D e имеем v > 2,5 c , т.е.больше скорости света в вакууме (!).Подчеркнем, что в квантовой механике электрон рассматриваетсякак точечная (бесструктурная) частица. Это подтверждается экспериментом и показывает, в частности, что спин не имеет классического аналога.658.4. Уравнение ПаулиСпин в аппарат квантовой механики был введен Паули. Он предложил (постулировал) для описания электрона уравнение, котороетеперь называется уравнением Паули (W. Pauli, 1927):21 ⎛∂ψe ⎞€€ih= H Pψ , H P =⎜ p€ − A ⎟ + eΦ − µ€ ⋅ B .2me ⎝∂tc ⎠Паулиевский гамильтониан H€ P отличается от шрёдингеровскогодобавлением слагаемого U€P = −µ€ ⋅ B , описывающего взаимодействие с магнитным полем B = ∇ × A спинового магнитного моментаэлектрона, представляемого операторомµ€ = g S S€ = − µ B σ .Этот оператор введен по аналогии с оператором орбитального маг€ = g L L€ .нитного момента MКак уже обсуждалось выше, волновая функция электрона ψ втеории Паули является двухкомпонентной:⎛ψ ⎞ψ = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ .⎝ψ 2 ⎠Она называется спинором и преобразуется при поворотах системыкоординат по двузначному представлению группы вращений (см.выше).
В частности, при повороте на 2π получим преобразованиеψ → ψ ′ = −ψ = e iπψ .Следовательно, для спинора этот поворот не эквивалентентождественному преобразованию, как это имеет место для скаляра ивектора.Рассмотрим “вывод” уравнения Паули, принадлежащийФейнману (R.P. Feynman). Из основного соотношения для матрицПаули (см. выше),σ k σ n = δ kn + iε knsσ s ,следует тождество(σ ⋅ a )(σ ⋅ b ) = a ⋅ b + iσ ⋅ (a × b ) ,где a, b – произвольные векторы. Учитывая его, запишем гамильтониан электрона в электрическом поле в эквивалентном шрёдингеровскому виде2(σ ⋅ p€)€H=+ eΦ .2 meВведем теперь взаимодействие с магнитным полем по известномуправилу (это, конечно, постулат):66ep€ → P€ = p€ − A .cТогда получим гамильтониан2σ ⋅ P€€HF =+ eΦ ,2 meкоторый эквивалентен гамильтониану Паули:H€ F ≡ H€ P .Действительно, имеем2σ ⋅ P€ = P€ 2 + iσ ⋅ P€ × P€ ,(())()где второе слагаемое отлично от нуля ввиду некоммутативностикомпонент оператора кинетического импульса P€ :eee[ P€n , P€k ] = [ p€n − An , p€k − Ak ] = ih (∂ n Ak − ∂ k An ) .cccСледовательно,1eP€ × P€ s = ε snk P€n P€k = ε snk [ P€n , P€k ] = ih ε snk ∂ n Ak ,2cилиeP€ × P€ = ih B , B = ∇ × A .cВ результате получаем:2σ ⋅ P€ehP€ 2=−σ⋅B,2 me2 m e 2 me cт.е.
приходим к паулиевскому взаимодействию спинового магнитного момента электрона с магнитным полем.()()9. ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМПОЛЕРассмотрим движение частицы в стационарном полеU = U (r ), r = r = x 2 + y 2 + z 2 .Такое поле называется центрально-симметричным, или, коротко,центральным. В этом случае гамильтонианp€2H€ =+ U (r )2m eкоммутирует с оператором орбитального момента:[ H€, L€] = 0 .67Покажем это подробнее, получив следующее представление оператора квадрата импульса:h 2 ∂ ⎛ 2 ∂ ⎞ L€222 2p€ = −h ∇ = − 2 ⎜ r⎟+ .r ∂r ⎝ ∂r ⎠ r 2Имеем:2L€2 = (r × p€) = −(p€ × r ) ⋅ (r × p€) = −p€ ⋅ (r × (r × p€)) = −p€ ⋅ (r (r ⋅ p€) − r 2 p€).Из фундаментального соотношения [ p€n , xm ] = −ihδ nm следуют коммутаторы[p€ ⋅ r, r ⋅ p€] = −3ih , [p€, r 2 ] = −2ihr ,используя которые, находим2L€2 = r 2 p€2 − (r ⋅ p€) + ihr ⋅ p€ .Далеe:2⎞∂∂22⎛2 ∂⎟.r ⋅ p€ = −ihr ⋅ ∇ = −ihr , (r ⋅ p€) = −h ⎜⎜ r+r2 ⎟rr∂r∂∂⎝⎠В итоге получаем приведенное выше выражение для p€2 , откуда сразу видно, что [L€, p€2 ] = 0 .()Стационарное уравнение Шрёдингера H€ − E ψ = 0 для частицыв центральном поле принимает вид:⎡⎤h2 ∂ ⎛ 2 ∂ ⎞L€2⎜⎜ r⎟⎟ ++ U (r )⎥ψ = Eψ .⎢−22⎣ 2me r ∂ r ⎝ ∂ r ⎠ 2me r⎦€ – интеграл движения, то любая собственнаяТак как момент Lфункция гамильтониана представляется в виде произведения радиальной функции, зависящей только от r , и сферической функции(см.
п. 7):ψ (r ,θ , ϕ ) = R(r )Ylm (θ , ϕ ),т.е. является собственной функцией полного набора наблюдаемых(спин мы не учитываем) H€ , L€2 , L€z .Для радиальной функции получаем уравнение⎡⎤h 2 d ⎛ 2 d ⎞ h 2 l(l + 1)()−++Urr⎜⎟⎢⎥ R = ER .22me r 2⎣ 2me r dr ⎝ dr ⎠⎦Удобно ввести новую функцию согласноχ (r )R(r ) =.rОна удовлетворяет радиальному уравнению Шрёдингера:⎡ h2 d 2⎤+ U l (r )⎥ χ = Eχ ,⎢−2⎣ 2me dr⎦68где введен эффективный потенциалh 2 l(l + 1)U l (r ) = U (r ) +.2me r 2Мы получили уравнение Шрёдингера для движения частицы на полупрямой (0 ≤ r < ∞ ) в потенциальном поле U l (r ) .Замечание. Даже для свободной частицы ( U = 0 ) в состоянии сзаданным моментом эффективный потенциал отличен от нуля приl ≠ 0 и совпадает с центробежным потенциалом h 2 l(l + 1) / 2me r 2 .Условие нормировки для χ (r ) совпадает с условием нормировкиодномерной волновой функции в силу ортонормированности сферических функций:∫d3xψ2∞∞= ∫ drr R = ∫ dr χ = 1 .20220Для физических приложений интерес представляют потенциалы,для которых выполняется условиеr 2U (r ) → 0 при r → 0 ,т.е.
не более сингулярные, чем 1 / r 2−ε , ε > 0 .Спектр радиального гамильтонианаh2 d 2h 2 l(l + 1)()++UrH€l = −2me dr 22 me r 2хорошо изучен для широкого класса потенциалов U (r ) .Выясним асимптотику радиальной функции χ (r ) при r → 0 . Оставляя наиболее сингулярный член в радиальном УШ, получаем:χ ′′ − l(l + 1)r −2 χ = 0 .Ищем решение в видеχ = Cr s .Получаем для степени s уравнениеs(s − 1) − l(l + 1) = 0 ,откуда s = −l , l + 1 , т.е.χ ~ r − l или χ ~ r l +1 .Учитывая, что полная волновая функция имеет видχ (r ) mψ=Yl (θ , ϕ ) ,rиз требования непрерывности ψ получаем граничное условиеχ (0 ) = 0 .Следовательно, правильное асимптотическое поведение χ таково:χ (r ) ≅ Cr l +1 при r → 0 .6910.
АТОМ ВОДОРОДА10.1. Электрон в поле кулоновского центраЗадача об атоме водорода – одна из фундаментальных проблемквантовой механики, успешное решение которой способствовалодальнейшему развитию теории.Атом водорода состоит из тяжелого ядра (протона массыm p ≈ 1840 me ) и движущегося в его кулоновском поле электрона.Сначала будем считать ядро бесконечно тяжелым, заменив его неподвижным кулоновским центром (конечность массы ядра учтемпозже). Тогда гамильтониан атома можно записать в виде гамильтониана электрона в центральном поле:h2 2 α€∇ − ,H =−2 merгде α = Ze 2 .
Здесь Z – заряд ядра в единицах заряда электрона, причем Z = 1 отвечает атому водорода H, а Z = 2, 3, K – водородопо-добным ионам He + , Li + + ,K .Используя результаты п. 9, запишем волновую функцию стационарного состояния электрона, которая является собственной дляполного набора наблюдаемых H€ , L€2 , L€z :ψ (r ) =χ (r )Ylm (θ , ϕ ) .rДля радиальной функции χ получаем уравнениеα h 2 l(l + 1) ⎞d 2 χ 2m ⎛⎜E + −⎟χ = 0 .+rdr 2 h 2 ⎜⎝2me r 2 ⎟⎠Нетрудно показать, что при E > 0 спектр гамильтониана непрерывен.
В этом случае χ < ∞ , но χ = ∞ , что отвечает инфинитномудвижению электрона, и атом водорода как связанная система электрона и ядра не существует. Мы ограничимся поэтому рассмотрением дискретного спектра: E < 0 .Обозначим2m Eκ 2 = − 2e > 0hи введем вместо r безразмерную переменнуюρ =κ r.Тогда уравнение на собственные значения примет вид:70d 2χ ⎡λ l(l + 1)⎤1χ = 0,+−+−ρρ 2 ⎥⎦dρ 2 ⎢⎣где введен параметр1/ 22meα ⎡ 2meα 2 ⎤λ = 2 = ⎢− 2 ⎥ .hκ⎣ h E ⎦Рассмотрим асимптотику ограниченного решения ( χ < ∞ ). Приρ → 0 имеем (см. п.
9)χ ≅ χ 0 = C0 ρ l+1 .При ρ → ∞ получаем приближенное уравнениеχ ∞′′ − χ ∞ = 0 ,откудаχ ≅ χ ∞ = C∞ e − ρ .Поэтому ищем решение в видеχ = ρ l+1e − ρ v( ρ ).Подставляя его в уравнение на СЗ, находим для функции vуравнение:⎛ l +1 ⎞1− 1⎟⎟v′ + [λ − 2(l + 1)]v = 0 .v′′ + 2⎜⎜ρ⎝ ρ⎠Решение ищем в виде ряда:∞v = ∑ ak ρ k ,k =0причем a 0 ≠ 0 , чтобы обеспечить правильную асимптотику χ приρ → 0 . Подставив ряд в уравнение, после очевидных замен индексасуммирования k получим:∞∑ ρ {a [k (k + 1) + 2(l + 1)(k + 1)] − a [2(k + l + 1) − λ ]} = 0 .k =0k −1k +1kОтсюда следует рекуррентное соотношение для коэффициентовряда:2(k + l + 1) − λa k +1 =a .(k + 1)[k + 2(l + 1)] kРяд сходится при всех ρ по признаку Даламбера:alim k +1 = 0 .k →∞ akЕго асимптотическое поведение при больших ρ определяется коэффициентами ak при k >> 1 :71a k +122k≅ak → ak ≅ C ,k +1k!откудаv ≅ Ce 2 ρ ,т.е. для произвольного положительного параметра λ имеем приρ → ∞ неприемлемую асимптотику радиальной функции:χ ≅ Cρ l +1e ρ .Однако существуют такие дискретные значения λ , при которыхфункция v( ρ ) становится полиномом:λ = 2(n r + l + 1), n r = 0, 1, 2, K .Тогда a nr ≠ 0, a k = 0 при k ≥ nr + 1.Вспомнив определение2m α 2λ2 = − 2e ,h Eприходим к дискретному спектру атома водорода и водородоподобных ионов:meα 2 1En = −⋅, n = 1, 2, K .2h 2 n 2Здесь введено главное квантовое число n , связанное с радиальнымnr и орбитальным l квантовыми числами соотношениемn = nr + l + 1 .При заданном n орбитальное число l может принимать n значений:l = 0, 1, K, n − 1 .Соответствующие волновые функции стационарных состояний имеют вид:ψ nlm (r ) = ρ l e − ρ vnl ( ρ )Ylm (θ ,ϕ ) ,где1/ 2mα 1⎡ 2 me ⎤ρ = κ n r , κ n = ⎢− 2 E n ⎥ = e2 ⋅ .nh⎣ h⎦Полином vnl ( ρ ) имеет степень nr = n − l − 1, равную числу его нулей(узлов).
Коэффициенты ak при k > 0 выражаются через a0 с помощью полученной выше рекуррентной формулы, а a0 определяется изусловия нормировки:κ−3n∞∫ dρρ2+ 2 l − 2 ρevn2l ( ρ ) = 1 .0Замечание. Можно показать, что vnl выражаются через обобщенные полиномы Лагерра72d k −x k +s(e x ) ,Q (x ) = e xdx kи нормированная волновая функция имеет вид:ψ nlm (r ) = 2[n(n − l − 1)!(n + l )!]−1 / 2 κ n3 / 2 (2 ρ )l e − ρ Qn2−ll+−11 (2 ρ ).Мы видим, что собственные значения энергии E n вырождены скратностьюskxn −1−sld n = ∑ ∑ (2l + 1) = n 2 .l =0 m= − lУчет спина (две возможные проекции спинового момента на заданное направление) дает кратность d n = 2n 2 , но спектр атома водорода в теории Паули не изменяется, так как отсутствует взаимодействие спинового магнитного момента с магнитным полем.
Учет ре-лятивистских эффектов (порядка (v / c ) ~ (e 2 / hc ) ≈ 5 ⋅ 10 −5 в атомеводорода) приводит к появлению тонкой структуры спектра. В частности, возникает спин-орбитальное взаимодействие ~ S€ ⋅ L€ , т.е.взаимодействие спинового магнитного момента с внутриатомныммагнитным полем, источником которого является орбитальное движение электрона.Рассмотрим подробнее атом водорода ( Z = 1 ). Мы имеем атомную единицу длины1h2aB === 0,529 ⋅ 10 −8 см2κ 1 me e– боровский радиус (в полуклассической теории это радиус первойборовской орбиты: см.
п. 1) и атомную единицу энергии – ридберг:m e4Ry = hR = e 2 = 2,18 ⋅ 10 −11 эрг = 13,6 эВ ,2hгде R – постоянная Ридберга, входящая в выражение для спектральных частот излучения.Энергия основного состояния атома водорода (главное квантовоечисло n = 1) равнаE1 = − Ry = −13,6 эВ .Величина I = E1 называется потенциалом ионизации. Он равенэнергии связи электрона в атоме, определяемой как работа, которуюнужно совершить, чтобы удалить электрон из атома.Квантовая электродинамика (теория, объединяющая квантовуюмеханику электрона и квантовую теорию электромагнитного поля наоснове теории относительности) подтверждает гипотезу Бора о частотах спектральных линий:hω n′n = E n − E n′ , E n > E n′ .2273Используя полученное выражение для E n , приходим к известнойформуле Бальмера (п.1):Ry ⎛ 11 ⎞ω n′n =⎜ 2 − 2 ⎟ , n′ < n .h ⎝ n′n ⎠Фиксируя n ′ и меняя n , получим различные спектральные серии.Укажем некоторые из них: n ′ = 1 – серия Лаймана (ультрафиолетовая часть спектра излучения); n ′ = 2 – серия Бальмера (первые 4 линии попадают в видимую часть спектра); n ′ = 3 – серия Пашена (инфракрасная часть спектра).Важные характеристики атома – вероятности переходов междустационарными состояниями wn′n .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
