Fizika_Lect_Borisov_5_2000 (811246), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Нетрудно показать, чтоволновая функция преобразуется при вращениях по закону:⎞⎛ iψ ′(r ) = exp⎜ − ϕ n ⋅ L€ ⎟ψ (r ) ,⎠⎝ hгде ϕ - угол поворота вокруг оси, направление которой задано единичным вектором n ;35L€ = r€ × p€ = −ihr × ∇– оператор момента импульса, или угловой момент. Следовательно,оператор момента – генератор группы вращений. Можно показать(см. ниже п. 9), что для частицы, движущейся в центральносимметричном поле U ( r ), момент – интеграл движения:[H€, L€] = 0,p€2H€ =+ U ( r ).2m5.5. Соотношение неопределенностей «время – энергия»В общей формуле СН(∆A)2 (∆B )212C , [ A€, B€] = iC€ ,4≥∂H€∂A€= 0,= 0.∂t∂tС учетом соотношенияH€, A€ = −ih A€&положим B€ = H€,[ ]получаем2h2 ⎛ d A ⎞⎟ .(∆A) (∆E ) ≥ ⎜⎜4 ⎝ dt ⎟⎠Введем характерное время изменения наблюдаемой A :22∆t A =(∆A)21/ 2d A.dtТогда получим∆E ⋅ ∆t A ≥где ∆E ≡ (∆E )2 1/ 2h,2.
Следовательно, множество значений ∆t A длявсевозможных наблюдаемых ограничено снизу. Определим время, закоторое в процессе эволюции системы заметно изменяется распределение хотя бы одной из наблюдаемых:∆t = inf ∆t A .AТогда получаем, что для любого состояния ψ справедливо соотношение, называемое соотношением неопределенностей «время –энергия»:36h.2Подчеркнем, что здесь ∆E – неопределенность энергии в состоянииψ , которая от времени не зависит (в силу ∂H€ / ∂t = 0 ).Качественно СН «время – энергия» может быть получено из анализа эволюции волнового пакета, рассмотренного выше в п.
2: разброс частот в пакете и характерное время его расплывания связаныусловием ∆ω ⋅ ∆t ~> 1 . Учитывая, что ∆E = h∆ω , получим ∆E ⋅ ∆t ~> h.∆E ⋅ ∆t ≥6. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР6.1. Осциллятор в классической механикеГармоническим осциллятором (ГО) в классической механике называется система, описываемая гамильтонианом (см. выше п. 1)1 2 mω 2 2H=px +x .2m2Уравнение движения&x& + ω 2 x = 0имеет общее решениеx(t ) = A cos(ω t + θ ) ,где A и θ – произвольные постоянные. Оно описывает гармонические колебания частицы около положения равновесия x = 0 . Энергияосциллятора – интеграл движения1E = mω 2 A 2 = const ,2она принимает произвольные неотрицательные значения.К ГО сводится задача о движении частицы в потенциальном полеU (q ) при условии, что потенциал имеет локальный минимум в точкеq = q 0 , и в ее малой окрестности справедливо разложение:12U (q ) = U (q0 ) + U ′′(q0 )(q − q0 ) + L .2Введя новую координату x = q − q0 и обозначив U ′′(q 0 ) = mω 2 > 0 ,получим потенциал ГО при условии, что энергия частицы E близкак U (q 0 ) , так что можно пренебречь высшими членами разложенияпо x .
При этом всегда можно положить U (q 0 ) = 0 ввиду произволавыбора начала отсчета энергии.Заметим, что ГО – простая модель, описывающая приближенноколебания атомов в молекулах, в твердых телах (вблизи узлов кри37сталлической решетки), колебания поверхности атомных ядер и др.Однако для таких задач классическая теория неприменима.6.2. Стационарные состояния осциллятораВ квантовой механике ГО отвечает оператор Гамильтона1 2 1H€ =p€x + mω 2 x€2 , [x€, p€x ] = ih .22mРассмотрим стационарные состояния ГО, используя координатноепредставление ( x€ = x, p€x = −ih∂ / ∂ x ):⎛ i ⎞ψ (t , x ) = exp⎜ − Et ⎟ ϕ ( x ) .⎝ h ⎠Стационарное уравнение Шрёдингера H€ − E ϕ = 0 принимает вид:()d 2ϕ 2 m ⎛m 2 2⎞+−Eω x ⎟ϕ = 0 .⎜2dx 2 h 2 ⎝⎠Удобно ввести безразмерные координату и параметр:x2E,ξ= , λ=x0hωгде характерная длинаh.x0 =mωТогда получим уравнениеϕ ′′ + (λ − ξ 2 )ϕ = 0.Найдем сначала асимптотику решения ϕ ∞ при ξ → ∞ :22ϕ ′′ − ξ 2ϕ ≅ 0, ϕ ≅ ϕ ∞ = C1e −ξ / 2 + C 2 eξ / 2 .Потребуем выполнения условия ϕ < ∞ , что соответствует финитному движению в классической механике.
Тогда решение УШдолжно иметь вид:2ϕ = e −ξ / 2v(ξ ) ,где v – полином конечного порядка по ξ . Для v(ξ ) получаем уравнениеv′′ − 2ξ v′ + (λ − 1)v = 0 .Ищем его решение в виде степенного ряда:∞v = ∑ ck ξ k .k =0Подставив ряд в уравнение и сделав очевидные замены индексасуммирования, находим:38∞∑ξ [(k + 2)(k + 1)ck =0kk +2+ (λ − 1 − 2k )ck ] = 0 .Отсюда следует рекуррентное соотношение для коэффициентов ряда:2k + 1 − λck + 2 =c .(k + 1)(k + 2) kРяд превращается в полином только приλ = 2n + 1, n = 0, 1, 2,K .Следовательно, энергия осциллятора E = λhω / 2 должна быть квантованной:1⎞⎛E n = hω ⎜ n + ⎟ .2⎠⎝Заметим, что1E n ≥ E0 = hω > 0 .2В классической же теории E min = 0 .
Напомним (см. п. 1), что согласно первоначальному постулату квантования Планка E n = nhω .Рассмотрим собственные функции ϕ n ( x ) . Полученное выше рекуррентное соотношение связывает коэффициенты при степенях ξодинаковой четности. Это не случайно: гамильтониан ГО – четнаяфункция x , H€ (− x ) = H€ ( x ). Поэтому ϕ n ( x ) и ϕ n (− x ) принадлежатодному и тому же собственному значению E n .
Но в одномерномслучае вырождение, как известно, отсутствует, т.е. ϕ n (− x ) = Cϕ n ( x ) ,C = const . Учитывая, что произвольная функция всегда может бытьпредставлена в виде суммы четной и нечетной функций:1ϕ ( x ) = ϕ + ( x ) + ϕ − ( x ), ϕ ± ( x ) = [ϕ ( x ) ± ϕ (− x )] = ±ϕ ± (− x ) ,2получаем, что собственные функции должны быть определеннойчетности. Формально это означает существование оператора четности P€ :P€ϕ ( x ) = ϕ (− x ), P€2 = I€,коммутирующего с гамильтонианом: [ H€, P€] = 0 .
Его собственнымифункциями являются ϕ ± ( x ):P€ϕ ± ( x ) = ±ϕ ± ( x ).В рассматриваемом случае ГО из рекуррентных соотношенийследует, что четность ϕ n ( x ) совпадает с четностью n :ϕ n (− x ) = (− 1)n ϕ n ( x ) .39Полагая c0 ≠ 0, c1 = 0 , получим четные собственные функции, а приc0 = 0, c1 ≠ 0 – нечетные.Нормированные волновые функции стационарных состояний ГОимеют вид (их вывод мы дадим ниже простым алгебраическим методом):ϕ n ( x ) = ( π 2 n n! x0 )−1 / 2H n (ξ )e −ξ2/2.Здесь введены полиномы Эрмита:H n (ξ ) = (− 1) enξ2d n −ξ 2e .dξ nВ частности,H 0 = 1, H 1 = 2ξ , H 2 = 4ξ 2 − 2, H 3 = 8ξ 3 − 12ξ .Покажем теперь, что ненулевое минимальное собственное значение энергии осциллятора E 0 прямо следует из соотношения неопределенностей. В стационарных состояниях x = 0, p x = 0 в силуопределенной четности волновых функций, и СН принимает видh222.x px ≥4Поэтому для энергии в таких состояниях имеем:1h211222€E= H =p x + mω x ≥+ mω 2 x 2 ≡ f x 2 .222m28m x( )Условие минимума функции f дает:f′=−h28m x2 21+ mω 2 = 0 ,2x2min=1h= x02 .2mω 2В результате1E min ≡ E 0 = hω ,2как и должно быть.Как уже отмечалось, ГО моделирует колебания атомов в кристаллической решетке.
Фундаментальный вывод квантовой механики отом, что в основном состоянии осциллятора энергия E 0 ≠ 0 , былподтвержден в экспериментах по рассеянию рентгеновского излучения в кристаллах при низких температурах (R.W. James, E.M. Firth,1927). В отсутствие колебаний решетки (как это следует из классической теории в пределе нулевой температуры) рассеяния быть недолжно, но эксперимент его обнаружил. При этом экстраполяциярезультатов к нулевой температуре показала, что интенсивностьрассеяния имеет конечный предел.406.3.
Алгебра гармонического осциллятора. Метод факторизацииПокажем, что спектр и собственные векторы гамильтониана ГОможно найти, используя только алгебру наблюдаемых и общиесвойства гильбертова пространства состояний.Запишем гамильтониан в виде22hω € € ⎛ p€x ⎞ ⎛ x€ ⎞H€ =h, h = ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ ,2⎝ p 0 ⎠ ⎝ x0 ⎠где, как и выше, x0 = h / mω , а p 0 = h / x0 = hmω . Нормированный (безразмерный) гамильтониан h€ представим в факторизованномвиде:⎛ x€p€ ⎞⎛ x€p€ ⎞ ⎡ x€ p€ ⎤h€ = ⎜⎜ − i x ⎟⎟⎜⎜ + i x ⎟⎟ − i ⎢ , x ⎥ .p 0 ⎠⎝ x0p 0 ⎠ ⎣ x0 p 0 ⎦⎝ x0Введем эрмитово сопряженные друг другу операторыp€ ⎞p€ ⎞1 ⎛ x€1 ⎛ x€⎜⎜ − i x ⎟⎟, a€, a€+ = 1 ,⎜⎜ + i x ⎟⎟, a€+ =a€ =p0 ⎠p0 ⎠2 ⎝ x02 ⎝ x0где учтен фундаментальный коммутатор [x€, p€x ] = ih и равенствоx0 p0 = h .В результате получаем факторизованное представление гамильтониана ГО:1⎞⎛H€ = hω ⎜ a€+ a€ + ⎟ .2⎠⎝Задача свелась к нахождению спектра {λ} и нормированных собственных векторов (СВ) ϕ λ эрмитова оператораN€ = a€+ a€ .Итак,N€ϕ λ = λϕ λ , ϕ λ = 1 .Отсюда получаем:2λ = ϕ λ , N€ϕ λ = (a€ϕ λ , a€ϕ λ ) = a€ϕ λ ≥ 0, a€ϕ λ = λ .Следовательно, спектр энергии ГО ограничен снизу:1⎞ 1⎛E λ = hω ⎜ λ + ⎟ ≥ hω .2⎠ 2⎝Итак, λ ≥ 0 , причем наименьшему собственному значению λ = 0 отвечает вектор ϕ 0 , удовлетворяющий уравнениюa€ϕ 0 = 0 .Далее заметим, что[(])41()a€N€ = a€a€+ a€ = (1 + a€+ a€)a€ = 1 + N€ a€ ,или[a€, N€] = a€ .Используя этот коммутатор, получаемa€N€ϕ λ = λ a€ϕ λ = 1 + N€ a€ϕ λ ,откудаN€(a€ϕ λ ) = (λ − 1)a€ϕ λ .Следовательно,a€ϕ λ = Cλ(− )ϕ λ −1 , Cλ(− ) = a€ϕ λ = λ .()Фиксируем фазу вектора ϕ λ −1 так, чтобы C λ(− ) = C λ(− ) > 0 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
