Fizika_Lect_Borisov_5_2000 (811246), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Отсюда получаем частоту рассеянного фотона:ω′ =ω,hω(1 − cosθ )1+mc 2где θ – угол между k и k ′ (угол рассеяния). Учитывая связь частотыи длины волны,λ = 2π c / ω ,находим изменение длины волны при рассеянии:∆λ = λ ′ − λ = 4π D e sin 2θ2.9Здесь введена комптоновская длина волны электронаhDe == 3,86 ⋅ 10 −11 см .mcДля рентгеновского излучения ( λ ~ 10 −9 см) получаемD∆λ≤ 4π e ~ 0,1 ,λλт.е. вполне заметный эффект. Для видимого света ( λ ~ 10 −5 см) эффект гораздо меньше ( ~ 10 −5 ). Найденная зависимость изменениядлины волны от угла рассеяния прекрасно согласуется с экспериментом.50. Волновые свойства электроновИтак, электромагнитное излучение обладает как волновыми, так икорпускулярными свойствами (корпускулярно-волновой дуализм).Этот дуализм неразрывно связан с существованием постояннойПланка h – кванта действия.
Квантование действия можно получить,обобщив планковское правило квантования энергии осциллятора.Запишем гамильтониан осциллятора – интеграл движения:p 2 mω 2 q 2H ( p, q ) =+= E,2m2где q и p – координата и импульс. Отсюда видно, что его фазоваятраектория – эллипс с полуосями a = 2mE и b = 2 E / mω 2 . Площадь эллипса π ab = 2π E / ω равна контурному интегралу по фазовой траектории (в классической механике он называется переменнойдействия):∫ pdq = 2π hn ,где учтен планковский постулат. Мы получили правило квантованияпроизвольной одномерной системы, совершающей периодическоедвижение. Оно впервые было выведено самим Планком.В 1913 г.
Бор (N. Bohr) применил это правило к атому водорода,рассмотрев частный случай движения электрона в кулоновском полеядра по круговой орбите. Выбрав в качестве координаты азимутальный угол ϕ , для соответствующего канонического импульса pϕ –интеграла движения – получаем условие квантования:2π∫ pϕ dϕ = 2π pϕ = 2π nh , илиpϕ = nh .0Для частицы массы m , движущейся со скоростью v по окружностирадиуса r (в плоскости ( x, y )), имеем pϕ = mvr , т.е. pϕ – z 10компонента момента импульса, или углового момента, L = mr × v .Таким образом, h – квант углового момента.Учтем уравнение движения электрона с зарядом − e в кулоновском поле ядра с зарядом e ,v2 e2m = 2,r rи квантование момента: mvr = nh . Отсюда находим квантованныезначения энергии электрона в атоме водорода:me 4 1En = − 2 ⋅ 2 , n = 1, 2, 3, K .2h nТак Бор пришел к выводу о существовании дискретного множества стационарных состояний атома с энергиями E n .Далее он предположил, что излучение атома возникает при егопереходе из одного стационарного состояние n в другое n′ (с меньшей энергией).
Частота соответствующей спектральной линии определяется правилом, следующим из закона сохранения энергии:1ω n′n = (En − En′ ) .hЭто и есть знаменитое правило частот Бора. В соответствии с гипотезой Эйнштейна при переходе излучается фотон с энергией hω n′n .Применив правило частот к атому водорода, Бор получил формулу Бальмера, найдя при этом выражение для постоянной Ридбергачерез фундаментальные физические постоянные:me 4R= 3 .2hВычисленное значение R прекрасно согласуется со значением, полученным из спектроскопических измерений.Дальнейшее развитие теории Бора потребовало найти методыквантования систем с несколькими степенями свободы.
Важныйкласс таких систем – квазипериодические системы с разделяющимися переменными. В этом случае правила квантования применяются ккаждой независимой паре канонических переменных ( pi , qi ) :∫ p dqii= 2π h ni , i = 1, f .Таким образом, число вводимых квантовых чисел ni равно числустепеней свободы f . Условия квантования квазипериодических систем были сформулированы независимо Вильсоном и Зоммерфельдом (W. Wilson, A. Sommerfeld) в 1915–16 г.
Применение этих условий к эллиптическим электронным орбитам в атоме водорода далоизвестный результат Бора для энергии стационарных состоянийвследствие специфики кулоновского потенциала (совпадение перио11дов изменения разделяющихся сферических координат r ,θ ,ϕ приводит к зависимости квантованных значений энергии только от суммы целых чисел n = nr + nθ + nϕ ).Теория Бора–Зоммерфельда оказалась не в состоянии объяснитьобнаруженную тонкую структуру атомных спектров и была непоследовательной: она использовала как классические представления,так и чуждые ей квантовые. В частности, электрон считался классической частицей, но из всего множества возможных траекторий отбирались лишь те, которые удовлетворяли условиям квантования.В 1923 г. Л.
де Бройль (L. de Broglie) выдвинул гипотезу, чтоэлектрон (и другие микрочастицы) не является классической корпускулой, но должен обладать также и волновыми свойствами. Темсамым де Бройль обобщил понятие эйнштейновского корпускулярно-волнового дуализма электромагнитного излучения. Согласно деБройлю, частице с энергией E и импульсом p отвечает некотораямонохроматическая волна, частота и волновой вектор которой связаны с характеристиками частицы соотношениямиEpω= , k= .hhОни в точности совпадают с соотношениями Эйнштейна для фотонаи световой волны. Следовательно, дебройлевская длина волны частицы2π hλ=.pПравило квантования для одномерной частицы получает нагляднуюволновую интерпретацию:dq∫ = n,λт.е.
на длине траектории должно укладываться целое число длинволн (ср. с известным из школьного курса условием образованиястоячих волн на струне с закрепленными концами).Гипотеза де Бройля вскоре получила блестящее экспериментальное подтверждение: в 1927 г. Дэвиссон и Джермер (C. Davisson,L. Germer) наблюдали дифракцию пучка электронов на монокристалле никеля (периодической атомной структуре – аналоге используемой в оптике дифракционной решетке). Для использованных иминерелятивистских электронов, получивших кинетическую энергиюпри прохождении разности потенциалов Φ , получаемmv 22π h= eΦ, λ =.mv2Отсюда, выражая Φ в вольтах, получим длину электронной волны121,2 ⋅ 10 −7см .ΦПри Φ = 100 В находим λ ≈ 10 −8 см, что отвечает длине волны мягкого рентгеновского излучения и среднему межатомному расстояниюв кристаллической решетке.
Поэтому при этих условиях дифракцияэлектронов должна быть аналогична открытой еще в 1912 г. дифракции рентгеновских лучей, что и наблюдалось в действительности.λ=1.2. Волновое уравнение ШрёдингераПолучим уравнение для волны, сопоставляемой электрону. Примем простейшую гипотезу, что волновое поле описывается скалярной функций времени t и координат r = ( x, y , z ) точки наблюдения.По традиции эта функция обозначается ψ (t , r ) и называется волновойфункцией.Рассмотрим сначала частный случай монохроматической волны:ψ = A exp[− i (ω t − k ⋅ r )].В нашем курсе мы ограничимся нерелятивистской теорией, в которой энергия E свободной частицы массы m связана с ее импульсомp соотношениемp2E=,2mчто дает следующую зависимость частоты дебройлевской волны ωот волнового вектора k (закон дисперсии):hk 2ω=.2mДля монохроматической волны имеем∂ψ= −iω t , ∇ψ = ikψ , ∇ 2ψ = −k 2ψ ,∂tи учет закона дисперсии приводит к дифференциальному уравнениюдля волновой функции∂ψh2 2ih=−∇ψ.∂t2mЭто и есть уравнение Шрёдингера (E.
Schrödinger) для свободнойчастицы, полученное им в 1926 г. Ввиду линейности этого уравнения (параболического типа) оно выполняется для произвольной суперпозиции монохроматических волн:d 3kψ (t , r ) = ∫C (k ) e −i (ω t −k⋅r ) ,3/ 2(2π )13представляющей собой общее решение.Возникает вопрос о связи уравнения Шрёдингера (УШ) и уравнений классической механики. Заметим, что фаза монохроматическойволны связана с решением S (t , r ) уравнения Гамильтона–Якоби(УГЯ) для свободной частицы∂S1(∇S )2 = 0+∂ t 2mочевидным соотношениемS = − Et + p ⋅ r = −h (ω t − k ⋅ r ) ,а сама волновая функция выражается через S в видеψ = eiS / h .Подставив это выражение в УШ, получим для S уравнение∂S1(∇S )2 − ih ∇ 2 S = 0 ,+∂ t 2m2mкоторое отличается от УГЯ дополнительным слагаемым, пропорциональным постоянной Планка h , и эквивалентно УШ. В частномслучае, когда S – линейная функция r , это слагаемое обращается внуль.
В общем же случае УШ для ψ переходит в УГЯ для S тольков (формальном) пределе h → 0 .Используем установленную связь УШ и УГЯ, чтобы найти УШдля частицы, движущейся в потенциальном силовом поле U (t , r ) .Запишем соответствующее классическое УГЯ:∂S 1(∇S )2 + U = 0 .+∂ t 2m⎛i ⎞Перейдем к новой функции ψ = exp⎜ S ⎟ . Для нее получаем:⎝h ⎠∂ψ i ∂Si1=ψ , ∇ψ = (∇S )ψ , ∇ 2ψ = − 2 [(∇S )2 − ih∇ 2 S ]ψ .∂t h ∂thhВ силу УГЯ для S функция ψ удовлетворяет нелинейному уравнению. Однако для объяснения явлений интерференции и дифракциинеобходимо выполнение принципа суперпозиции.
Поэтому уравнениедля ψ должно быть линейным. Оно следует из квантового обобщения уравнения Гамильтона–Якоби (КУГЯ)∂S 1(∇S )2 + U − ih ∇ 2 S = 0+∂ t 2m2mи имеет вид:∂ψh2 2€€ih= Hψ , H = −∇ + U (t , r ) .∂t2m14Это уравнение Шрёдингера для частицы в потенциальном поле.Введенный линейный оператор H€ называется оператором Гамильтона, или гамильтонианом.Линейное УШ эквивалентно нелинейному КУГЯ, причем в общем случае как ψ , так и S – комплекснозначные функции. КУГЯ переходит в классическое УГЯ при условии2h ∇ 2 S << (∇S ) .В этом приближении допустимо использовать классическое выражение для импульса p = ∇S . Тогда находимD ∇ph∇p<<1,или<< 1 ,pp2т.е.
относительное изменение импульса на дебройлевской длиневолны D = h / p должно быть малым.В одномерном случае получаем простое условиеdD<< 1 ,dxт.е. D должна слабо изменяться при изменении координаты x . При∂U / ∂t = 0 выполняется закон сохранения энергии:p2+ U (x ) = E .2mОтсюда находимp dpdU=−=F,m dxdxгде F – ньютоновская сила. Условие применимости классическогоуравнения Гамильтона–Якоби принимает в стационарном одномерном случае вид:DF<< 1,p2 / mт.е. работа силы на дебройлевской длине волны должна быть малапо сравнению с кинетической энергией частицы. Это условие заведомо нарушается в окрестности точки поворота x = x0 , гдеp( x0 ) = 0 , и, следовательно, D = ∞ .Более подробно условия применимости классической механикимы обсудим позже (см. п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
